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高二常见递推数列通项公式的求法


坚持积累方得远见

高二常见递推数列通项公式的求法 【典型例题】
[例 1] a n ?1 ? kan ? b 型。 (1) k ? 1 时, a n ?1 ? a n ? b ? {a n } 是等差数列, a n ? b ? n ? (a1 ? b) (2) k ? 1 时,设 a n ?1 ? m ? k (a n ? m) ∴ a n ?1 ? kan ? km ? m

比较系数: km ? m ? b



m?

b k ?1



{a n ?

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1 a n ? (a1 ? b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1



an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n?1 k ?1 k ?1



[例 2] a n ?1 ? kan ? f (n) 型。 (1) k ? 1 时, a n ?1 ? a n ? f (n) ,若 f (n) 可求和,则可用累加消项的方法。

例:已知 {a n } 满足 a1 ? 1 , 解:

a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1) 求 {a n } 的通项公式。

(2) k ? 1 时,当 f (n) ? an ? b 则可设 a n ?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (a n ? An ? B) ∴ a n ?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A

?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?( k ? 1) B ? A ? b

解得:

A?

b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,
1

坚持积累方得远见

∴ {a n ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列
n ?1 ∴ a n ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k n ?1 ? An ? B ∴ a n ? (a1 ? A ? B) ? k

将 A、B 代入即可

(3) f (n) ? q ( q ? 0,1)
n

a n ?1 k a n 1 ? ? ? q n?1 得 q n ?1 q q n q 等式两边同时除以 Cn ? an qn
C n ?1 ? k 1 Cn ? q q
∴ {C n } 可归为 a n ?1 ? kan ? b 型





[例 3] a n ?1 ? f (n) ? a n 型。 (1)若 f (n) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。

例:已知:

a1 ?

1 2n ? 1 an ? a n?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {a n } 的通项。

解:

a n ? a1 ?

3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

an ? k ?
[例 4]

m ? a n ?1 m ? a n ?1 型。

2

坚持积累方得远见

1 1 1 ? k( ? ) a n ?1 m 考虑函数倒数关系有 a n

1 1 k ?k? ? a n ?1 m ∴ an



Cn ?

1 an

则 {C n } 可归为 a n ?1 ? kan ? b 型。

练习: 1. 已知 {a n } 满足 a1 ? 3 , a n ?1 ? 2a n ? 1求通项公式。 解:

* 2. 已知 {a n } 的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? 2n ( n ? N )求通项公式。

解:

n {a n } 中, a n ?1 ? n ? 2 a n 且 a1 ? 2 求数列通项公式。 3. 已知
解:

4. 数列 {a n } 中, 解:

a n ?1 ?

2 n ?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {a n } 的通项。

5. 已知: a1 ? 1 , n ? 2 时, 解:

an ?

1 an ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {a n } 的通项公式。

3

坚持积累方得远见

【模拟考试试题】
n 1. 已知 {a n } 中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 a n 。

2. 已知 {a n } 中, a1 ? 1 , a n ? 3a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )求 a n 。

n 3. 已知 {a n } 中, a1 ? 1 , a n ? 2a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )求 a n 。

4. 已知 {a n } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n ?1 ( n ? 2 )求 a n 。

5. 已知 {a n } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 a n 满足

an ?

2 2S n 2S n ? 1 ( n ? 2 )

1 } (1)求证: S n 为等差数列 (2)求 {a n } 的通项公式 {

1 S n ? (a n ? 2) 2 8 6. 已知在正整数数列 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 1 bn ? 2 a n ? 30 求 {bn } 的前 n 项和的最小值 (2)若

(1)求证: {a n } 是等差数列

4

坚持积累方得远见

1. 解:
n n ?1 由 a n ?1 ? a n ? 2 ,得 a n ? a n ?1 ? 2 n ?1 ∴ a n ? a n ?1 ? 2

a n ?1 ? a n ? 2 ? 2 n ? 2 ……

? a 2 ? a1 ? 2
a n ? a1 ? 2(1 ? 2 n ?1 ) ? 2n ? 2 1? 2
n n ∴ a n ? 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 1



2. 解: 由 a n ? 3a n ?1 ? 2 得: a n ? 1 ? 3(a n ?1 ? 1)

an ? 1 ?3 ∴ a n ?1 ? 1

即 {a n ? 1} 是等比数列
n ?1 n ?1 ∴ a n ? (a1 ? 1) ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1

a n ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3 n ?1
3. 解:

a n a n?1 a an 1 ? n?1 ? 1 ? ? (n ? 1) { n} n 2 2 n 成 等 差 数 列 , 2n 2 由 a n ? 2a n ?1 ? 2 得 2 ∴
n



a n ? n ? 2 n ? 2 n?1
4. 解:

a n ?1 ? 2 ? 2 ?
1
∴ a n ?1 ? 2

4 2(a n ? 2) ? an an

1
∴ a n ?1 ? 2

?

an 1 1 ? ? 2(a n ? 2) 2 a n ? 2 ( n ? 1 )

?

1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1)设 an ? 2



bn?1 ? bn ?

1 (n ? 1) 2
1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2

∴ {bn } 是等差数列 5. 解:

an ?

2 ?2 n

5

坚持积累方得远见

(1)

S n ? S n ?1 ?

2 2S n 2S n ? 1

∴ S n ?1 ? S n ? 2S n S n ?1

1 1 ? ?2 S n S n ?1

{


1 } S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

1 ? 2n ? 1 Sn ∴

(2)

Sn ?

1 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 ? an ? (n ? 2) 2 1 4n ? 8n ? 3 2? ?1 2n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an ? ? ?2 ? 4 n 2 ? 8n ? 3 ? ∴ n ?1 ( n ? 2)

又 ∵ a1 ? 1 6. 解:

1 a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 8 (1)

∴ a1 ? 2

1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n?1 ? 2) 2 n ? 2 时, 8 8
整理得: (a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 4) ? 0 ∵ {a n } 是正整数数列 ∴ a n ? a n ?1 ? 0 ∴ a n ? a n?1 ? 4 ∴ a n ? 4n ? 2

∴ {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

(2)

bn ?

1 (4n ? 2) ? 30 ? 2n ? 31 2
2 ∴ S n ? n ? 30 n

∴ {bn } 为等差数列

∴ 当 n ? 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 ? 15 ? ?225
2

6


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