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江苏省南通第一中学2011-2012学年度第一学期第三阶段考试高三数学


江苏省南通第一中学 2011-2012 学年度第一学期第三阶段考试 高三数学试卷(文科)
(本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1.复数 z = i 2 (1 + i ) 的虚部为___ _▲_ __. 2.已知 α ∈ ( ?

π

3 , 0), sin α = ? , ,则 cos(π ? α ) =___▲___. 2 5

3.若曲线 f ( x) = x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3 x ? y = 0 ,则点 P 的坐标为 ▲ . 4.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白 部分都是以正方形的顶点为圆心, 半径为

a 的圆弧, 某人向此板投镖, 2

假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他 击中阴影部分的概率是__ ▲ ___.

5.设 f ( x) = ?

? x 2 ? 2 x ? 1, ?? 2 x + 6,

x≥0 ,若 f (t ) > 2 ,则实数 t 的取值范围是 ▲ . x<0

x2 y2 6.若椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别为 a b

F1 , F2 ,线段 F1 F2 被抛物线 y 2 = 2bx 的焦点 F 分成 5
﹕3 的两段,则此椭圆的离心率为 ▲ . 7.左面伪代码的输出结果为 ▲ .

8. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , S5 = 若 ▲ .

3 1 1 1 1 1 1 ,a3 = , 则 = + + + + 16 4 a1 a 2 a 3 a 4 a5

9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x + bx + c = 0 有实根的
2

概率为





10.已知函数 f ( x ) = f ′( ) sin x + cos x ,则 f ( ) =

π

π

2

4





11.将正奇数下表其中第 i 行第 j 个数表示 a ij (i ∈ N * , j ∈ N * ) ,例 如 a32 = 9,若 aij = 2009 ,则 i + j = ▲ .

12.已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC = 4, AB = 2 ,则

AO ? BC =

▲ .
an ?1 + n + 1 ( n ∈ N* , n ≥ 2 ),则这个数列的通项 n

13.数列 {an } 中, a1 = 6 ,且 an ? an ?1 = 公式 an = ▲ .学科网

14.设函数 f ( x) = x3 ? 2ex2 + mx ? ln x ,记 g ( x) = 实数 m 的取值范围是 ▲ .

f ( x) ,若函数 g ( x ) 至少存在一个零点,则 x

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分,第 1 问 7 分,第 2 问 7 分) 已知向量 a = (sin(

π
2

+ x), 3 cos x), b = (sin x, cos x), f ( x) = a ? b .

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间;

⑵如果 ?ABC 中,满足 f ( A) =

3 ,求角 A 的值. 2

16. 16.(本小题满分 14 分) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD = ∠ADC = 90 ,
AB = 2 AD = 2CD = 2 .

(Ⅰ)求证: AC ⊥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ) A1 B1 上是否存一点 P , 在 使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

17.(本题满分 15 分)

某网球中心欲建连成片的网球场数块,用 128 万元购买土地 10000 平方米,该中心每块 球场的建设面积为 1000 平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场 数有关,当该中心建球场 x 块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用 1 f ( x) = 800(1 + ln x) 来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设 5 费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?

18.(本题满分 15 分,第 1 问 5 分,第 2 问 5 分,第 3 问 5 分) 已知直线 l 的方程为 x = ?2 , 且直线 l 与 x 轴交于点 M , O : x 2 + y 2 = 1 与 x 轴交于 A, B 两 圆 点. (1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的

1 ,求直线 l1 的方程; 4

(2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (3)过 M 点作直线 l2 与圆相切于点 N ,设(2)中椭 圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,求三角形 ?NF1 F2 面积.

19.(本题满分 16 分,第 1 问 4 分,第 2 问 6 分,第 3 问 6 分) 已知数列 {a n } 中, a1 = 1, 且点 P (a n , a n +1 ) n ∈ N ? 在直线 x ? y + 1 = 0 上. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若函数 f (n) = 最小值; (3)设 bn =

(

)

1 1 1 1 + + +? + ( n ∈ N , 且n ≥ 2 ) ,求函数 f (n) 的 n + a1 n + a2 n + a3 n + an

1 , S n 表示数列 {bn }的前项和.问:是否存在关于 n 的整式 g (n ) ,使得 an

写出 S1 + S 2 + S 3 + ? + S n ?1 = (S n ? 1) ? g (n ) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,

g (n ) 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = ( x ? 3 x + 3) ? e 定义域为 [? 2, t ] ( t > ?2 ),设 f ( ?2) = m, f (t ) = n .
2 x

(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f (x ) 在 [? 2, t ] 上为单调函数; (Ⅱ)求证: n > m ; (Ⅲ)求证:对于任意的 t > ?2 ,总存在 x 0 ∈ ( ?2, t ) ,满足

f ' ( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x0 e 3

x0 的个数.

参考答案及评分标准 1. -1 2. ?

4 5

3. (1,0) 4.1 ?

π
4

5. (?∞,0) (3,+∞) ∪ 13. (n + 1)(n + 2)

6.

2 5 5

7.26 8.3

9.

19 36

10.0

11.60 12.6

1 14. ( ?∞, e2 + ] e

15.解:⑴f(x)= sinxcosx+

3 3 π 3 + cos2x = sin(2x+ )+ ---------------------3 分 2 2 3 2

T=π,2 kπ-

π
2

≤2x+

π
3

≤2 kπ+

π
2

,k∈Z,

最小正周期为 π,---------单调增区间[kπ-

---5 分

5π π ,kπ+ ],k∈Z.--------------------------------------------------7 分 12 12

⑵由 sin(2A+ 分 ∴2A+

π
3

)=0,

π
3

<2A+

π
3

<

7π ,-----------------------------------------------10 3

π
3

=π 或 2π,∴A=

π
3



5π ------------------------------------14 分 6

16.证明:(Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥平面 ABCD,∴ BB1⊥AC.

又∵ ∠BAD=∠ADC=90°, AB = 2 AD = 2CD = 2 , ∴ AC = 2 ,∠CAB=45°,∴ BC = 2 ,∴ BC⊥AC.………………5 分 又 BB1 ∩ BC = B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,∴ AC⊥平面 BB1C1C. …7 分 (Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. ………………………………………8 分 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖AB,且 PB1=
1 2 1 AB.…………………9 分 2

又∵DC‖AB,DC= AB,∴ DC ∥PB1,且 DC= PB1, ∴DC PB1 为平行四边形,从而 CB1∥DP.…………………………11 分 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,∴ DP‖面 ACB1.……………13 分 同理,DP‖面 BCB1.………………………………………………14 分

17.

1 π 2 18.解:(1)∵ PQ 为圆周的 ,∴∠POQ = . ∴ O 点到直线 l1 的距离为 . -------2 分 4 2 2

设 l1 的方程为 y = k ( x + 2),∴

| 2k | k +1
2

=

2 1 ,∴ k 2 = . 2 7

∴ l1 的方程为 y = ±

7 ( x + 2). -------------------------------------------------------------5 分 7

(2)设椭圆方程为

x2 y2 a2 + 2 = 1(a > b > 0) ,半焦距为 c,则 = 2. a2 b c

∵ 椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a = 1 或 b = 1. ------------------------------6 分

1 3 4 y2 = 1 ;-------------8 分 当 a = 1 时, c = , b 2 = a 2 ? c 2 = ,∴ 所求椭圆方程为 x 2 + 2 4 3

当 b = 1 时, b 2 + c 2 = 2c,∴ c = 1,∴ a 2 = b 2 + c 2 = 2.
x2 + y 2 = 1. ----------------------------------------------------------10 分 2

所求椭圆方程为

(3)设切点为 N,则由题意得,在 Rt ?MON 中, MO = 2, ON = 1 ,则 ∠NMO = 30 , l2 y l Q l1 N 1 3 N 点的坐标为 (? , ) ,------------------- 11 分 P

2 2

M A

O

B

x

若椭圆为

x2 + y 2 = 1. 其焦点 F1,F2 2

分别为点 A,B 故 S ?NF1F2 =

1 3 3 ×2× = ,-----------------------------------13 分 2 2 2

若椭圆为 x 2 +

1 1 4 y2 = 1 ,其焦点为 F1 ( ? ,0), F2 ( ,0) , 3 2 2 1 3 3 × 1× = 2 2 4

此时 S ?NF1F2 =

-------------------------------------------15 分

19.解:(1)由点 P (a n , a n +1 ) 在直线 x ? y + 1 = 0 上,

即 a n +1 ? a n = 1 ,------------------------------------------------------------------------2 分 且 a1 = 1 ,数列{ a n }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

a n = 1 + (n + 1) ? 1 = n(n ≥ 2) , a1 = 1 同样满足,所以 a n = n ---------------4 分
(2) f ( n) =

1 1 1 + +?+ n +1 n + 2 2n 1 1 1 1 1 + + ?+ + ---------------------6 分 n+2 n+3 n+4 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 1 + ? > ? =0 2 n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 2 2 n + 2 n + 1
7 -----------------------10 分 12

f (n + 1) =

f (n + 1) ? f (n) =

所以 f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是 f ( 2) =

(3) bn =

1 1 1 1 1 ,可得 S n = 1 + + + ? + , S n ? S n ?1 = ( n ≥ 2) -------12 分 n 2 3 n n

nS n ? (n ? 1) S n ?1 = S n ?1 + 1 , (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 = S n ? 2 + 1
……

S 2 ? S 1 = S1 + 1
nS n ? S1 = S1 + S 2 + S 3 + ? + S n?1 + n ? 1 S1 + S 2 + S 3 + ? + S n ?1 = nS n ? n = n( S n ? 1) ,n≥2------------------14 分 g ( n) = n
故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分
20.(Ⅰ)解:因为

f ′( x) = ( x 2 ? 3 x + 3) ? e x + (2 x ? 3) ? e x = x( x ? 1) ? e x …………………………………(2 分)

由 f ′( x) > 0 ? x > 1或x < 0 ;由 f ′( x) < 0 ? 0 < x < 1 ,所以 f ( x) 在 (?∞, 0), (1, +∞ ) 上递 增,在 (0,1) 上递减 …………………………………………………(4 分) 欲 f (x) 在 [? 2, t ] 上为单调函数, ?2 < t ≤ 0 …………………………… …………(5 分) (Ⅱ)证:因为 f ( x ) 在 (?∞, 0), (1, +∞ ) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x = 1 处取得 极小值 e , 又 f ( ?2) =

13 < e ,所以 f ( x) 在 [ ?2, +∞ ) 上的最小值为 f (?2) ………(9 分) e2

从而当 t > ?2 时, f ( ?2) < f (t ) ,即 m < n …………………………………………(10 分) (Ⅲ)证:因为

f ' ( x0 ) f '(x ) 2 2 = x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 = (t ? 1) 2 即为 x0 2 ? x0 = (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3 2 2 (t ? 1) 2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x) = x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 3 3

令 g ( x) = x 2 ? x ?

在 (?2, t ) 上有解,并讨论解的个数……………………………………………………(12 分) 因为

2 2 2 1 g (?2) = 6 ? (t ? 1) 2 = ? (t + 2)(t ? 4) , g (t ) = t (t ? 1) ? (t ? 1)2 = (t + 2)(t ? 1) ,所以 3 3 3 3
①当 t > 4或 ? 2 < t < 1 时, g (?2) ? g (t ) < 0 ,所以 g ( x) = 0 在 (?2, t ) 上有解,且只有一 解 ……(13 分) ②当 1 < t < 4 时, g (?2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = ? (t ? 1) 2 < 0 , 所以 g ( x) = 0 在 (?2, t ) 上有解,且有两解 …………………………………………(14 分) ③当 t = 1 时, g ( x) = x 2 ? x = 0 ? x = 0或x = 1 ,所以 g ( x) = 0 在 (?2, t ) 上有且只有一 解; 当 t = 4 时, g ( x) = x 2 ? x ? 6 = 0 ? x = ?2或x = 3 , 所以 g ( x) = 0 在 (?2, 4) 上也有且只有一解…………………………………………(15 分) 综上所述, 对于任意的 t > ?2 ,总存在 x0 ∈ (?2, t ) ,满足

2 3

f ' ( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 , e x0 3

且当 t ≥ 4或 ? 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 < t < 4 时,有两个 x0 适合题 意…………(16 分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令 ? ( x) = x 2 ? x , x ∈ ( ?2, t ) ,然后分情况证明 (t ? 1) 2 在其值域 内,并讨论直线 y =

2 3

2 (t ? 1)2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数) 3


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