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圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的二个定义

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F ,F 的距离的和

等于常数 ,且此常数 一定要大于

,当常数等于

时,轨迹是线段 F F ,

当常数小于

时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F ,F 的距离的差的绝对值等于常数

,且此常数 一定要小于|F F |,定义中的“绝对值”与 <|F F |不可忽视。若

=|F F |,则轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,若 ﹥|F F |,则轨迹不存在。若去 掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

①已知定点

,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是

A.

B.

C.

D.

(答:C);

②方程

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线 距为分母”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点 2)

及抛物线

上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:

一、求焦点弦长
例 1 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A( x1,y1 )、B( x 2,y 2 ),若 x1 ? x 2 ? 6 ,求|AB|的长。
解:设 AB 的中点为 E,点 A、E、B 在抛物线准线 l: x ? ?1上的射影分别为 G、H、 M。由第二定义知:
| AB |?| AF | ? | BF |?| AG | ? | BM |? 2 | EH |? 2 x1 ? x 2 ? (?1) ? 8 。 2

二、求离心率

例2

设椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的右焦点为 F1 ,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴

的弦的长度等于 F1 到准线 l1 的距离,求椭圆的离心率。

解:如图,AB 是过 F1 垂直于 x 轴的弦,| F1C | 为 F1 到准线 l1 的距离,AD⊥l1 于 D,则

|AD|=|F1C|,由题意知

|

AF1

|?

1 2

|

AB|。

由椭圆的第二定义知:

1

1

e ? | AF1 | ? 2 | AB | ? 2 | AB | ? 1

| AD | | F1C | | AB | 2

三、求点的坐标

例3

双曲线 x 2

?

y2 3

? 1的右支上一点 P,到左焦点 F1 与到右焦点 F2 的距离之比为 2:

1,求点 P 的坐标。

解:设点

P(

x 0,y 0 )( x 0

?

0 ),双曲线的左准线为

l1:x

?

?

1 2

,右准线为

l2:x

?

1 2



则点

P



l1、l2 的距离分别为 d1

?

x0

?

1 2

,d

2

?

x0

?

1。 2

1

所以, PF1 PF2

? d1 d2

?

x0 x0

? 2 1
? 2

?

2 1

,解得

x0

?3。 2

将其代入原方程,得 y0 ? ?

15 2

。因此,点

P

的坐标为 ????

3 ,? 2

15 2

????



四、求焦半径

(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相

应准线的距离,即焦半径

,其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。比如:

1、点 P 在椭圆

上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐

标为_______(答: );

2、抛物线

上的两点 A、B 到焦点的距离和是5,则线段 AB 的中点到 轴的距离为

______(答:2);

3、椭圆

内有一点

,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使

之值最小,则点 M 的坐标为_______(答:

);

五、求离心率的范围

例4

已知椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) ,F1、F2 分别是左、右焦点,若椭圆上存在点 P,

使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

解:设点

P(

x 0,y 0

), 则 由 第

二定义得

|

PF1

|?

? e?? x 0 ?

?

a2 c

????

?

a

?

ex0



| PF2

|?

e????

a2 c

? x 0 ??? ? a ? ex0 。 ?

因为 ?PF1F2 为直角三角形,所以 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1F2 |2 。

即 (a ? ex 0 )2 ? (a ? ex 0 )2 ? (2c)2 ? 4c2

解得

x

2 0

?

2c 2 ? a 2 e2

,由椭圆方程中

x

的范围知

0

?

x

2 0

? a2。

?0 ? 2c2 ? a 2 ? a 2 ,解得 2 ? e ? 1。

e2

2

五、求最值
例 5 已知点 A( ? 2,3 ),设点 F 为椭圆 x 2 ? y2 ? 1的右焦点,点 M 为椭圆上一动 16 12
点,求| MA| ?2 | MF| 的最小值,并求此时点 M 的坐标。
解:如图,过点 A 作右准线 l 的垂线,垂足为 N,与椭圆交于点 M。

∵椭圆的离心率 e ? 1 2
∴由第二定义得 2 | MF|?| MN| ∴ | AM | ?2 | MF| 的最小值为|AN|的长,且 | AN |? 2 ? 8 ?10
∴ | AM | ?2 | MF| 的最小值为 10,此时点 M 的坐标为( 2 3 , 3 )