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等差数列、等比数列知识点和练习


一、等差和等比数列比较:
等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
A?
a n ?1 ? a n ? d a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

前 n 项和 重要 性质

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N , m ? n ? p ? q )
*

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

二、等差数列的定义与性质
定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , 通项: an ? a1 ? ? n ?1? d

等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和: Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq; (2) 数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, 公差为 n d ; Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列, (3)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(4)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数,可能有 最大值或最小值) (5)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . an?1
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(6)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?





S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) , S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

三、等比数列的定义与性质
定义:
an ?1 ,通项: an ? a1qn?1 . ? q ( q 为常数, q ? 0 ) an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意 q ! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

四、数列求和的常用方法:
1 、裂项分组法:
1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )、 1 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 n ? ? ? 1 n ?1 n ?1

1 1 1 1 1 , 2 ,3 , 4 ,?的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 (+ 1 2+ 3+ 4+ ?)+ ( + + + ? ?) 3 9 27 81

2、 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
2 3 n-2 n-1 n 例:求: Sn =x ? 3x ? 5x ? ? ? (2n-5)x ? (2n-3)x ? (2n-1)x (x ? 1) 解: Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① 2 3 4 n-1 n n+1 xSn =x ? 3x ? 5x ? ? (2n-5)x ? (2n-3)x ? (2n-1)x (x ? 1) ② ① 减 ② 得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? 1? x ? ? 2n ? 1? x n+1

从而求出 S n 。 错位相减法的步骤: (1)将要求和的杂数列前后各写出三项, 列出①式; (2)将①式左右两边都乘以公比 q, 得到②式;(3)用① ? ②,错位相减;(4)化简计算。 3、倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法 例:等差数列求和:
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Sn =a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?2 ? a n ?1 ? a n Sn =a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 3 ? a 2 ? a1
两式相加可得:

2Sn = ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ?2 ? ? ? ? ? a 3 ? a n ?2 ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a1 ? a n ?
即 : 2Sn ? n ? a1 ? a n ?

所以

Sn ?

n ? a1 ? a n ? 2

针对练习 一、选择题 1.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 (A)380 (B)39 ( (C)35 ) (D)23 ) (D)55 (D)12 ) (D)300 )
3

2.在等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a4 ? a17 ? 8 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值为( (A)40 (B)45 (C)50

3、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 4、等差数列{an}中,a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450,求 a2+a8= ( (A)45 (B)75 (C)180

5.首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是( (A) d ? 8
3

(B) d ? 3

(C) 8 ≤ d ? 3
3

(D) 8 ? d ≤3

6.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( (A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9

) (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 )

7.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45

8.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C. 3 D. 2



9.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? ( A.4 B.2 C.-2 D.-4 ) D. 243



10.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( A. 81 B. 27 5 27 C.

3

11. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也是等比数列,则 Sn 等于(
第 3 页



(A) 2n?1 ? 2

(B)

3n

(C) 2n

(D) 3n ? 1 ) 1 9

12.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3 10 1 3

S3 1 S6 = ,则 = ( S6 3 S12
(C) 1 8

(A)

(B)

(D)

二、解答题 13 、 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 d 不 为 零 的 等 差 数 列 , 数 列 abn 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ,

? ?

b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求公比 q 及 bn 。

14、已知等差数列 ?an ? 的公差与等比数列 ?bn ? 的公比相等,且都等于 d (d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1 ,

a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn

15、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这 四个数。

16、已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

第 4 页

17、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b 1,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 成等比数 列,求 Tn

四、课堂小结。 1、古典概型和几何概型的计算; 2、数列的有关知识; 3、计算数列的通项公式。 五、作业布置。 复习等差数列和等比数列的公式及性质。

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