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2015届文科数学基础训练(三)

南安一中 2015 届数学(文)基础题训练(三)
姓名________________ 比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 公式; (Ⅱ) 设 bn ? 班级______________ 座号______________________ 1、等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a1 , a3 , a4 成等 2 、 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD??BC ,

AB ? 1, AD ? 3 , AB ? BC, CD ? BD ,
如图( 1 ) .把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得平面

1 求数列 {bn } 的 (n ? N * ) , n1 2 ( ?)an

前 n 项和 Sn .

A?BD ? 平面BCD ,如图(2) . (Ⅰ)求证: CD ? A?B ; (Ⅱ)求三棱锥 A? ? BDC 的体积; ( Ⅲ ) 在 线 段 BC 上 是 否 存 在 点 N , 使 得 BN A?N ? BD ?若存在,请求出 的值;若 BC
不存在,请说明理由.

3、某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指 标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次品.现从一批产品中随机抽取这两种 元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下:

4、阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②
由①+② 得

A B

7 6

7

7.5 8.5

9 8.5

9.5

sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? -----③ 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有

x

y

由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员 只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测数据的平 均值相等,方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件, 求 2 件都为正品的概率.

??

A? B A? B ,? ? 2 2
A? B A? B cos 2 2
|k.Com]

代入③得 sin A ? sin B ? 2sin

(Ⅰ)类比上述推证方法, 根据两角和与差的余弦公 式,证明:

A? B A? B sin ; 2 2 ( Ⅱ ) 若 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 满 足 c o sA2 ? co B? s 2 2 2 C s i判 n断 ?ABC 的 形 ,试 cos A ? cos B ? ?2sin
状.

南安一中 2015 届数学(文)基础题训练(三) 参考答案
1、(Ⅰ)解:由已知得 a3 ? a1 ? 4, a4 ? a1 ? 6 ,……………………………2 分 又 a1 , a3 , a4 成等比数列,所以 (a1 ? 4)2 ? a1 (a1 ? 6) ,………………………4 分 解得 a1 ? 8 , (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 bn ? ……………………5 分 所以 an ? 10 ? 2n . ……………………6 分

2 1 1 1 ,……………………………8 分 ? ? ? n(12 ? an ) n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 1 2 3 1 n 1 1 n ) ? 1? ? .………12 分 n ?1 n ?1 n ?1

所以 Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ?

2、解: (Ⅰ)∵ 平面 A?BD ? 平面BCD , 平面A?BD ? 平面BCD ? BD , CD ? BD ∴CD ? 平面A?BD , 又∵ AB ? 平面A?BD ,∴ CD ? A?B . (Ⅱ)如图(1)在 Rt ?ABD中, BD ? ……………………………2 分 ……………………………4 分

AB 2 ? AD2 ? 2 .

AD

BC, ??ADB ? DBC ? 30? .
2 3 . 3
……………………………6 分

DC ? BD tan 30? ? 在 Rt BDC中, 2 3 1 ∴ S ?BDC ? BD ? DC ? . 2 3

如图(2) ,在 Rt ?A?BD中,过点 A? 做 A?E ? BD 于 E ,∴ A?E ? 平面BCD .

A?E ? A?B A?D ? 3 , BD 2 1 1 2 3 ∴ VA?? BDC ? S ?BDC ? A?E ? 3 3 3

……………………………7 分

3 ?1 . 2 3

……………………………8 分

(Ⅲ)在线段 BC 上存在点 N,使得 A?N ? BD ,理由如下: 如图(2)在 Rt ?A?EB 中, BE ? ∴ BE ? 1 ,

A?B2 ? A?E 2 ? 1 , 2
[来源:学科网]

BD

4

………………………………………9 分

过点 E 做 EN // DC 交 BC 于点 N,则 BN ? BE ? 1 ,

BC

BD

4

∵ CD ? BD,? EN ? BD , 又 A?E ? BD , A?E

……………………………10 分

EN ? E ,? BD ? 平面A?EN ,

又 A?N ? 平面A?EN ,∴ A?N ? BD . ∴在线段 BC 上存在点 N,使得 A?N ? BD ,此时 BN ? 1 .…………………12 分

BC 4 1 1 =8 , xB = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) 3、解:(Ⅰ)因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5) , 5 5
由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 . ①
2

………………………………………2 分

1+1+0.25+1+2.25) =1.1 , sB = 因为 sA = (
2 由 s2 (x ? 8)+(y ? 8)=1 . A =sB ,得
2 2

2

1 5

1 2 2 ? 4+(x ? 8) ? +0.25+0.25+(y ? 8) ?, 5?
…………………………………………4 分



由①②解得 ? 因为 x ? y ,

? x ? 8, ? x ? 9, 或? ? y ? 9, ? y ? 8.

所以 x ? 8 , y ? 9 .

………………………………………6 分

(Ⅱ) 记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品, 从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下:

? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B1, B4 ? , ? B1, B5 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? ,? B2 , B5 ? ,? B3 , B4 ? ,? B3 , B5 ? ,? B4 , B5 ? , ………………………………………8 分
记“2 件都为正品”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件:
[来源:Z§xx§k.Com]

? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? .……………………………10 分
所以 P(C ) ?

6 3 3 ? ,即 2 件都为正品的概率为 . 10 5 5

………………………………………12 分 ① ②………………………2 分 ③……………3 分

4、解法一:(Ⅰ)因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,
①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? .

A? B A? B ,? ? , 2 2 A? B A? B sin 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin . …………………6 分 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 2sin C 可化为
2

1 ? 2sin 2 A ?1 ? 2sin 2 B ? 2sin 2 C ,……………………………8 分
即 sin A ? sin C ? sin B .……………………………………………9 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .…………………………………………11 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.…………………………12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 2sin C 可化为
2

?2sin ? A ? B? sin ? A ? B? ? 2sin2 C ,………………………8 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B? sin ? A ? B ? ? sin
2

? A ? B? .

又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .……………………………………………10 分 又因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,即 ?B ?

?
2

.

所以 ?ABC 为直角三角形. ……………………………………………12 分


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