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广东省深圳市高级中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文)

高级中学 2014-2015 学年第二学期期末测试

高一数学(文科)
命题人:余小玲 审题人:郑方兴 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-12 题,共 60 分,第Ⅱ卷为 13-22 题,共 90 分,满分 150 分.考试用时 l20 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=(

) D.{3}

A.{0,1,2,3,4}

B.{0,4}

C.{1,2} )

? ? ? ? 2.已知向量 a ? (1, ?2), b ? (3,1), ,那么 a ? b 的值为(
A.1 B.2 C.3

D.4 )

3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10 , a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A.1 C.3 D.4 3 4.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为 4 A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 5.在 △ABC 中, ?A ? A. B.2

(

)

?

C.4x+3y-14=0 ) D. )

D.4x-3y+14=0

? 3? 或 4 4

3

, BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ( B.

3? 4

C.

? 4

? 6

6.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(

A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

x+2y≤8, ? ? 7. 若变量 x,y 满足约束条件?0≤x≤4, 则 z=2x+y 的最大值等于( ? ?0≤y≤3,

)

A.7 B.8 C.10 D.11 8.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE:EB=CF:FB=1:2,则 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 ) B.相交 C.在平面内 D.不能确定

b, c 分别为角 A, B, C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是 9 .在 ?ABC 中, a,



) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

A.等腰直角三角形

10.将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示 的几何体,则该几何体的左视图为 ( )

11. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与曲线 C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 相切于 点 M ,则 PM 的最小值为( A. 2 B. 2 ) C. 2 2 D. 4

12.定义:若函数 f ( x) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f ( x) 的值域相同,则 称变换 T 是 f ( x) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f ( x) 的 同值变换的是 A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , T 将函数 f ( x) 的图像关于 y 轴对称 B. f ( x) ? 2 x?1 ? 1 , T 将函数 f ( x) 的图像关于 x 轴对称 C. f ( x) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f ( x) 的图像关于点 ? ?1,1? 对称 D. f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? , T 将函数 f ( x) 的图像关于点 ? ?1,0? 对称 3?

第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 , 则 a1a3 a5 =______ 2

14. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3, 则 a=________. 15.函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为______. 16.如图 3,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 MN 与 AC 所成角是 60 ;②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线;④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为______ (注:把你认为正确的结论的序号都填上).
?

图3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分)(1)已知 x>1,求 f(x)=x+ 2 2 (2)已知 0<x< ,求 y=2x-5x 的最大值. 5

1

x-1

的最小值;

18. (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c =1,△ABC 的面积为 2.求 cos A 与 a 的值.

19. (本小题满分 12 分)四面体 ABCD 及其三视图如图 4 所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB, BD,DC,CA 于点 E,F,G,H. (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形. 图4

20.(本小题满分 12 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直 平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 21. (本小题满分 12 分)如图 5,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分
?

CB 的中点,AC ? EF ? O . 别是边 CD , 沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF , 连接 PA,PB,PD ,
得到如图 6 的五棱锥 P ? ABFED , 且 PB ? 10 . (1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求四棱锥 P ? BFED 的体积.
A D E C

P

O

D E O B 图5 图 6 F

A
F B

图 54 图

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? 1 ,

nSn?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? * , n ?N . 2

(1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列? 若存在,求 k 的值; 若不存 在,请说明理由.

高一下期末数学(文)答案
一、选择题答卷(每题 5 分,12 题共 60 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

A

B

A

C

B

C

A

C

B

D

B

二、填空题答卷(每题 5 分,4 题共 20 分)

13.

1 ; 4

14. 0;

15.

3 ; 2

16. ①③④

三、解答题:本大题 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤
17. (本小题满分 10 分)(1)∵x>1,∴x-1>0, ∴f(x)=x+ 1 1 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1 ?x-1?·?

? 1 ?+1=2+1=3. ? ?x-1?

当且仅当 x-1=

1

x-1

,即 x=2 时,等号成立.∴f(x)的最小值为 3.…………5 分

1 2 (3)y=2x-5x =x(2-5x)= ·5x·(2-5x), 5 2 ?5x+2-5x?2=1, ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0,∴5x(2-5x)≤? ? 2 5 ? ? 1 1 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x,即 x= 时,ymax= . 5 5 5 18. (本小题满分 12 分) 1 2 2 解: 由三角形面积公式,得 ×3×1·sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin2A+cos2A=1,所以 cos A=± 1-sin2A=± 8 1 1- =± . 9 3 ……2 分 ……6 分 …………10 分

1 1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3× =8, 3 3 所以 a=2 2. …………9 分 1? 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×? ?-3?=12,所以 3 a=2 3. ……12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面 BDC, …………3 分 1 1 2 ∴四面体 ABCD 的体积 V= × ×2×2×1= . 3 2 3 …………6 分

(2)证明:∵BC∥平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面 ABC= EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. …………8 分 同理 EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. …………10 分 又∵AD⊥平面 BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形 EFGH 是矩形. …………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解 (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2), …………2 分 ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. …………4 分 (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0. ① …………6 分 又直径|CD|=4 10,∴r=|PA|=2 10, …………7 分 2 2 ∴(a+1) +b =40 ② …………8 分 由①②解得?
? ?a=-3 ?b=6 ?

或?

? ?a=5 ?b=-2 ?

…………10 分

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2), 2 2 2 2 ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40. …………12 分

21. (本小题满分 12 分) (1)证明:∵点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点,∴ BD ∥ EF . ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC . ∴ EF ? AC . …………………………2 分 ∴ EF ? AO , EF ? PO . ∵ AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ? PO ? O , ∴ EF ? 平面 POA . ∴ BD ? 平面 POA . …………………………4 分 …………………………5 分
?

P

D E H B F O

A

(2)解:设 AO ? BD ? H ,连接 BO ,∵ ?DAB ? 60 , ∴△ ABD 为等边三角形. ∴ BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 . 在 R t△ BHO 中, BO ?

BH 2 ? HO2 ? 7 ,

…………………………7 分

2 2 2 在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB ,

∴ PO ? BO .

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ∴ PO ? 平面 BFED . …………………………10 分

1 梯形 BFED 的面积为 S ? ? EF ? BD ? ? HO ? 3 3 ,………………………11 分 2 1 1 ∴四棱锥 P ? BFED 的体积 V ? S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 .………………12 分 3 3
22. (本小题满分 12 分) 解: (1)解:∵ a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? ∴ S2 ? 1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 3 . (2)解法 1: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? 1? 2 ?1. , ∴ S 2 ? 2 S1 ? 2 2
∴ a2 ? S2 ? a1 ? 2 . ………………2 分

n ? n ? 1? S S 1 , 得 n ?1 ? n ? . ……………………3 分 n ?1 n 2 2

∴ 数列 ? ∴

S1 1 ? Sn ? ? 是首项为 ? 1 , 公差为 的等差数列. 1 2 ?n?

Sn 1 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? . n 2 2

∴ Sn ?

n ? n ? 1? . 2

…………………………5 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

…………………………7 分

?

n ? n ? 1? ? n ? 1? n ? 2 2

? n.
而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n . 解法 2: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? …………………………9 分

n ? n ? 1? n ? n ? 1? , 得 n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? , 2 2
…………………………4 分

∴ nan ?1 ? Sn ?

n ? n ? 1? . ① 2 n ? n ? 1? ,② 2

当 n ? 2 时, ? n ? 1? an ? Sn ?1 ?

① ? ②得 nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? Sn ? Sn ?1 ? ? ∴ nan?1 ? nan ? n . ∴ an?1 ? an ? 1 .

n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? , 2 2
…………………………5 分 …………………………6分

∴ 数列 ?an ? 从第2项开始是以 a2 ? 2 为首项, 公差为 1 的等差数列. ………7分 ∴ an ? 2 ? ? n ? 2? ? n . 而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n . (3)解:由(2)知 an ? n , Sn ? …………………………9 分 …………………………8分

n ? n ? 1? . 2

假设存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列, 则 S2k ? ak ? a4k .
2

? 2k ? 2k ? 1? ? 即? ? ? k ? 4k . 2 ? ?
2

…………………………10 分

∵ k 为正整数, ∴ ? 2 k ? 1? ? 4 .
2

得 2k ? 1 ? 2 或 2k ? 1 ? ?2 , 解得 k ?

1 3 或 k ? ? , 与 k 为正整数矛盾. 2 2

…………………………11 分

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列. …………………………12 分


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