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全国通用2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系教师用书文


选修 4-4

坐标系与参数方程 坐标系

第一节

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐 标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :?
? ?x′=λ ?y′=μ ?

x,λ >0, y,μ >0



作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图 1 所示,在平面内取一个定点 O(极点),自极点 O 引一条射线 Ox(极 轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.

图1 (2)极坐标: 平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来 刻画,这两个数组成的有序数对(ρ ,θ )称为点 M 的极坐标.其中 ρ 称为点 M 的极径,θ 称为点 M 的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x,y)
? ?x=ρ cos θ , ? ?y=ρ sin θ ?

极坐标(ρ ,θ )

互化公式 4.圆的极坐标方程 曲线

ρ =x +y tan θ = (x≠0)

2

2

2

y x

图形

极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π )

圆心在极点,半径为 r 的圆

1

ρ = 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π? ? π 2rcos_θ ?- ≤θ ≤ ? 2? ? 2 ρ =2rsin_θ (0≤0<π )

? π? 圆心为?r, ?,半径为 r 的圆 2? ?
5.直线的极坐标方程

(1)直线 l 过极点,且极轴到此直线的角为 α ,则直线 l 的极坐标方程是 θ =α (ρ ∈ R). (2) 直 线 l 过 点 M(a,0) 且 垂 直 于 极 轴 , 则 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ρ cos θ = π? ? π a?- <θ < ?.

?

2

2?

? π? (3)直线过 M?b, ?且平行于极轴, 则直线 l 的极坐标方程为 ρ sin_θ =b(0<θ <π ). 2? ?

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系.( ) )

π? ? (2)若点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的一个极坐标是?2,- ?.( 3? ? (3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( (4)极坐标方程 θ =π (ρ ≥0)表示的曲线是一条直线.( [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× ) )

2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 2 1 π B.ρ = ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 4 π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4 A [∵y=1-x(0≤x≤1), )

∴ρ sin θ =1-ρ cos θ (0≤ρ cos θ ≤1), ∴ρ = 1 ?0≤θ ≤π ?.] ? ? 2? sin θ +cos θ ?
2

3.(教材改编)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为________.

x2+y2-2y=0 [由 ρ =2sin θ ,得 ρ 2=2ρ sin θ .
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2y=0.] π? 7π ? ? ? 4.已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ sin?θ - ?= 2,点 A 的极坐标为 A?2 2, ?, 4? 4 ? ? ? 则点 A 到直线 l 的距离为________. 5 2 2 π? 2 ? 2 ? ? [由 2ρ sin?θ - ?= 2,得 2ρ ? sin θ - cos θ ?= 2, 4? ? 2 2 ? ?
2 2

∴y-x=1. 7π ? ? 由 A?2 2, ?,得点 A 的直角坐标为(2,-2). 4 ? ? ∴点 A 到直线 l 的距离 d= |2+2+1| 5 2 = .] 2 2

π? ? 2 5.(2015·江苏高考)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ sin?θ - ?-4=0, 求圆 C 4? ? 的半径. [解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直 角坐标系 xOy.2 分 圆 C 的极坐标方程可化为 ρ +2 2ρ ?
2 2

2 ? 2 ? sin θ - cos θ ?-4=0,4 分 2 2 ? ?

化简,得 ρ +2ρ sin θ -2ρ cos θ -4=0.6 分 则圆 C 的直角坐标方程为 x +y -2x+2y-4=0, 即(x-1) +(y+1) =6, 所以圆 C 的半径为 6.10 分
2 2 2 2

平面直角坐标系中的伸缩变换

将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线

C.
(1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. [解] (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C 上的点(x,y),依题意,得

3

?x=x1, ? ? ?y=2y1. ?
2

2分

由 x1+y1=1 得 x +? ? =1, ?2?
2 2

?y?2
2

故曲线 C 的方程为 x + =1.5 分 4

y2

y ? ?x2+ =1, 4 (2)由? ? ?2x+y-2=0,

2

解得?

?x=1, ? ? ?y=0

或?

?x=0, ? ? ?y=2.

6分

1 ?1 ? 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ,1?,所求直线斜率为 k= ,8 2 ?2 ? 分 1? 1? 于是所求直线方程为 y-1= ?x- ?, 2? 2? 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3, 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ = .10 分 4sin θ -2cos θ [规律方法] 1.解答该类问题应明确两点: 一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式 的意义与作用;二是明确变换前的点 P(x,y)与变换后的点 P′(x′,y′)的坐标关系,利 用方程思想求解. 2. 求交点坐标, 得直线方程, 最后化为极坐标方程, 其实质是将 x=ρ cos θ , y=ρ sin θ 代入转化. [变式训练 1] 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ :?
?x′=3x, ? ? ?2y′=y.

【导学号:31222437】

?1 ? (1)求点 A? ,-2?经过 φ 变换所得点 A′的坐标; ?3 ?
(2)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程. [解] (1)设点 A′(x′,y′),由伸缩变换
?x′=3x, ? φ :? ?2y′=y, ?

x′=3x, ? ? 得? y y′= , ? 2 ?

2分

1 -2 ∴x′= ×3=1,y′= =-1.∴点 A′的坐标为(1,-1).5 分 3 2 (2)设 P′(x′,y′)是直线 l′上任意一点.

4

?x′=3x, ? 由伸缩变换 φ :? ?2y′=y, ?

x′ ? ?x= , 3 得? ? ?y=2y′,
=2x′,

8分

代入 y=6x,得 2y′=6·

x′
3

∴y′=x′为所求直线 l′的方程.10 分 极坐标与直角坐标的互化 (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面 4 积. [解] (1)因为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =-2,

C2 的极坐标方程为 ρ 2-2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0.4 分
π 2 (2)将 θ = 代入 ρ -2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0,得 4 ρ -3 2ρ +4=0,解得 ρ 1=2 2,ρ 2= 2.8 分 故 ρ 1-ρ 2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 .10 分 2 [迁移探究 1] 若本例条件不变,求直线 C1 与 C2 的交点的极坐标. ρ cos θ =-2, ? ? [解] 联立方程? π ?θ = 4 , ? π 解得 θ = 且 ρ =-2 2.6 分 4 π? ? 所以交点的极坐标为?-2 2, ?.10 分 4? ? [迁移探究 2] 本例条件不变,求圆 C2 关于极点的对称圆的方程. [解] 因为点(ρ ,θ )与点(-ρ ,θ )关于极点对称, 设点(ρ ,θ )为对称圆上任意一点,则(-ρ ,θ )在圆 C2 上, 所以(-ρ ) +2ρ cos θ +4ρ sin θ +4=0.6 分 故所求圆 C2 关于极点的对称圆的方程为 x +y +2x+4y+4=0.10 分 [规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式:x=
2 2 2 2

5

ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,ρ =x +y ,tan θ = (x≠0). 2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意 ρ ,θ 的取值范围及其影响;要善 于对方程进行合理变形, 并重视公式的逆向与变形使用; 要灵活运用代入法和平方法等方法. [变式训练 2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中,已知极坐标方程 C1:ρ cos θ - 3ρ sin θ -1=0,C2:ρ =2cos θ . (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程,并判断两曲线的形状; (2)若曲线 C1,C2 交于 A,B 两点,求两交点间的距离. [解] (1)由 C1:ρ cos θ - 3ρ sin θ -1=0, ∴x- 3y-1=0,表示一条直线.2 分 由 C2:ρ =2cos θ ,得 ρ =2ρ cos θ , ∴x +y =2x,则(x-1) +y =1. ∴C2 是圆心为(1,0),半径 r=1 的圆.4 分 (2)由(1)知点(1,0)在直线 x- 3y-1=0 上, 因此直线 C1 过圆 C2 的圆心.6 分 ∴两交点 A,B 的连线段是圆 C2 的直径. 因此两交点 A,B 间的距离|AB|=2r=2.10 分 直线与圆的极坐标方程的应用 (2016· 全 国 卷 Ⅰ ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
? ?x=acos t, ? ?y=1+asin t ?
2 2 2 2 2

2

2

2

y x

(t 为参数, a>0). 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,

曲线 C2:ρ =4cos θ . (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ =α 0,其中 α 0 满足 tan α 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共 点都在 C3 上,求 a. [解] (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x +(y-1) =a ,则 C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.2 分 将 x=ρ cos θ , y=ρ sin θ 代入 C1 的普通方程中, 得到 C1 的极坐标方程为 ρ -2ρ sin θ +1-a =0.4 分 (2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
? ?ρ -2ρ sin θ +1-a =0, ? ? ?ρ =4cos θ .
2 2 2 2 2 2 2

若 ρ ≠0,由方程组得 16cos θ -8sin θ cos θ +1-a =0, 由已知 tan θ =2,得 16cos θ -8sin θ cos θ =0,8 分
6
2

2

2

从而 1-a =0,解得 a=-1(舍去)或 a=1. 当 a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,且在 C3 上. 所以 a=1.10 分 [规律方法] 1.第(1)问将曲线 C1 的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考 查学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进 而求解. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决, 可先转化为直角坐标方程,然后求解. [ 变 式 训 练 3] (2017· 太 原 市 质 检 ) 已 知 曲 线 C1 : x + 3 y = 3 和 C2 :

2

?x= 6cos φ , ? ?y= 2sin φ

(φ 为参数).以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,

且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程; (2)设 C1 与 x,y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1,C2 交于 P,Q 两点,求 P,Q 两点间的距离. [解] (1)曲线 C1 化为 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 3. π? 3 ? ∴ρ sin?θ + ?= .2 分 6? 2 ? 曲线 C2 化为 + =1.(*) 6 2 将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入(*)式 得 ρ ρ 2 2 2 2 2 cos θ + sin θ =1,即 ρ (cos θ +3sin θ )=6. 6 2
2 2

x2 y2

6 2 ∴曲线 C2 的极坐标方程为 ρ = .4 分 2 1+2sin θ (2)∵M( 3,0),N(0,1),∴P?

? 3 1? , ?, ? 2 2?

π ∴OP 的极坐标方程为 θ = ,6 分 6 π? π 3 ? ? π? 把 θ = 代入 ρ sin?θ + ?= 得 ρ 1=1,P?1, ?. 6? 2 6? 6 ? ? π 6 ? π? 2 把 θ = 代入 ρ = 得 ρ 2=2,Q?2, ?.8 分 2 6? 6 1+2sin θ ? ∴|PQ|=|ρ 2-ρ 1|=1,即 P,Q 两点间的距离为 1.10 分

7

[思想与方法] 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化:对于简单的可以直接代入公式 ρ cos θ =

x,ρ sin θ =y,ρ 2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边
同乘以 ρ 等. 2.确定极坐标方程的四要素: 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可. [易错与防范] 1.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.极坐 标与 P 点之间不是一一对应的,所以我们又规定 ρ ≥0,0≤θ <2π ,来使平面上的点与它 的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点: (1)注意 ρ ,θ 的取值范围及其影响. (2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 课时分层训练(六十七) 坐标系 π? ? π? ? 1.在极坐标系中,求点?2, ?到直线 ρ sin?θ - ?=1 的距离. 6? 6? ? ?

? π? [解] 点?2, ?化为直角坐标为( 3,1),3 分 6? ?
π? 1 ? 3 ? ? 直线 ρ sin?θ - ?=1 化为 ρ ? sin θ - cos θ ?=1, 6 ? ? 2 ?2 ? 得 3 1 y- x=1, 2 2
8

即直线的方程为 x- 3y+2=0,6 分 | 3- 3×1+2| 故点( 3,1)到直线 x- 3y+2=0 的距离 d= =1.10 分 2 2 1 +?- 3? π? 2 ? 2.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cos θ +sin θ 和直线 l:ρ sin?θ - ?= . 4? 2 ? 【导学号:31222438】 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆 O:ρ =cos θ +sin θ ,即 ρ =ρ cos θ +ρ sin θ ,2 分 圆 O 的直角坐标方程为 x +y =x+y, 即 x +y -x-y=0,4 分 π? 2 ? 直线 l:ρ sin?θ - ?= ,即 ρ sin θ -ρ cos θ =1, 4? 2 ? 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0.6 分
?x +y -x-y=0, ? (2)由? ?x-y+1=0, ?
2 2 2 2 2 2 2

得?

?x=0, ? ?y=1, ?

8分

? π? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为?1, ?.10 分 2? ?
π? ? 3.(2017·邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin?θ + ?=1, 4? ?

? π? 圆 C 的圆心的极坐标是 C?1, ?,圆的半径为 1. 【导学号:31222439】 4? ?
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. [解] (1)设 O 为极点,OD 为圆 C 的直径,A(ρ ,θ )为圆 C 上的一个动点,则∠AOD= π π -θ 或∠AOD=θ - ,2 分 4 4 π? ?π ? ? OA=ODcos? -θ ?或 OA=ODcos?θ - ?,

?4

?

?

4?

π? ? ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos?θ - ?.4 分 4? ? π? 2 ? (2)由 ρ sin?θ + ?=1,得 ρ (sin θ +cos θ )=1,6 分 4 2 ? ? ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y- 2=0, 又圆心 C 的直角坐标为? 2? ? 2 , ?,满足直线 l 的方程, 2 2 ? ?

9

∴直线 l 过圆 C 的圆心,8 分 故直线被圆所截得的弦长为直径 2.10 分

? π? 4.(2017·南京调研)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C?3, ?,半径 r=3. 3? ?
(1)求圆 C 的极坐标方程; → → (2)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且OQ=2QP,求动点 P 的轨迹方程. [解] (1)设 M(ρ ,θ )是圆 C 上任意一点. π? ? 在△OCM 中,∠COM=?θ - ?,由余弦定理得 3? ? π? ? 2 2 2 |CM| =|OM| +|OC| -2|OM|·|OC|cos?θ - ?, 3? ? π? ? 化简得 ρ =6cos ?θ - ?.4 分 3? ? (2)设点 Q(ρ 1,θ 1),P(ρ ,θ ), → → → 2→ 由OQ=2QP,得OQ= OP, 3 2 ∴ρ 1= ρ ,θ 1=θ ,8 分 3 π? 2 ? 代入圆 C 的方程,得 ρ =6cos?θ - ?, 3? 3 ? π? ? 即 ρ =9cos?θ - ?.10 分 3? ?
? 5. (2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1: ?x=tcos α , ? ? ?y=tsin α

(t 为参数, t≠0),

其中 0≤α <π .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =2sin θ ,C3: ρ =2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. [解] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y -2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x +y -2 3x=0,2 分
2 2 2 2

?x +y -2y=0, 联立? 2 ?x +y2-2 3x=0,
3 ? ?x= 2 , 或? 3 ? ?y=2.
10

2

2

?x=0, ? 解得? ? ?y=0

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和?

? 3 3? , ?.4 分 ? 2 2?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α <π . 因此 A 的极坐标为(2sin α ,α ),B 的极坐标为(2 3cos α ,α ).8 分 π ?? ? ? 所以|AB|=|2sin α -2 3cos α |=4?sin?α - ??. 3 ?? ? ? 5π 当 α = 时,|AB|取得最大值,最大值为 4.10 分 6 6. 从极点 O 作直线与另一直线 l: ρ cos θ =4 相交于点 M, 在 OM 上取一点 P, 使 OM·OP =12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,求|RP|的最小值. [解] (1)设动点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),M 的极坐标为(ρ 0,θ ),则 ρ ρ 0=12.2 分 ∵ρ 0cos θ =4, ∴ρ =3cos θ ,即为所求的轨迹方程.4 分 (2)将 ρ =3cos θ 化为直角坐标方程, 得 x +y =3x,
2 2

? 3?2 2 ?3?2 即?x- ? +y =? ? .8 分 ? 2? ?2?
3 ?3 ? 知点 P 的轨迹是以? ,0?为圆心,半径为 的圆. 2 ?2 ? 直线 l 的直角坐标方程是 x=4. 结合图形易得|RP|的最小值为 1.10 分

11


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