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用模式联想法解三角函数的最大值和最小值


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2 0 0 3年 第 9期 

数 学 教 学 研 究 

3 7   ∈[ 一4 ,一2 ] ,   z∈ [ 一2, 0] 、  

故 当  ∈ [ 一4,一2 ]时 

所 以 , (   ) 在[ 一 4 , 0 ] 上 的 解 析 式 为  

)=3 x+ 1 4 .  

) : f   H  M ,   L一 3z + 2
.  

用模 式联 想法 解 三 角函 数的最 大 值 和最 小值 
’ 

雷 赠 东 
5 2 3 1 7 0 )  

( 广 东省 东莞市 济川 中学

三角 函数 是高 中 数 学 的主 要 内容 , 它 与 其它 数  学 知识 之 间有着 广 泛 而 又 密 切 的联 系 , 教 学 中 若 能  认 真 分析 和运 用 这些 联 系 , 可 以 提 高 学 生 分 析 问 题  和 解 决 问题 的 能 力 . 解 决 三 角函数 ( 主 要 指 正 弦 和 余  弦 函 数 )的 值 域 或 最 值 是 三 角 函数 的 主 要 内 容 , 解 决  它主 要要 用 三角 函数 的定义 域 、 单调性、 图 像 和 三 角 

= 一 4.  

② 利用 I   C O S X   I ≤ 1的 有 界 性 , 把 原 函 数 去 分 母 
并 化 简 得 c 。 啦 = 二 
Y —j  

由 I  c 。 啦 I ≤ 1 , 即 

l 1   二   y — j   l 1   ≤   , 解 得 一 4 ≤ y ≤ ÷ , 则  
Y…   2  , Y…   一 4?  

恒等 变换 , 还 需要 涉 及 到 函数 、 不等式 、 方 程 和 几 何 
计算 等 内容. 而 通 过 联 想 把 三 角 函 数 的 有 关 问 题 转  化成 我 们熟 悉 的模 式 , 从 而 找到 解 题途 径 , 不 失 为 一  种 好策 略.  

( 2 )若 同 时 具 有 正 弦 和 余 弦 函 数 , 可 以“ 化 多 为 

单 ”把 它 们 变 为 单 名 函 数 , 再 利 用 其有 界 性 讨 论 , 但 
要 注 意 到 角 度 的 变 化 范 围.  

美 国数 学 家 L ? c拉 松 在 谈 “ 探 索 法 ”时 。 把“ 寻 
求 一 种 模 式 ”列 为 第 一 条 , 足见 “ 模 式 ” 对 解 题 的 重  要. 所谓 “ 寻求 一种 模式 ” , 实 际 上 就 是 一 个 联 想 的 过  程, 它是 以已知 条件 为基 础 , 通过 观察 、 类 比、 创 新 思  考, 把 待 解 决 的 问题 转 化 成 模 型 , 从 而 发 现 解 题 途  径. 中学 数 学 模 型 可 以 分 为 “ 方程 模型 ” 、 “函 数 模  型” 、 “ 对 偶模 型 ” 、 “ 几 何 模 型 ”等 . 下 面 是 笔 者 在 课  改实 验 中结 合近 几 年 高 考 题 和 各 省 市 模 拟 题 , 选 择  讨 论三 角 函数 的最 大值 、 最 小值 的 内容 , 通 过 模 式 联  想 找到 解题 途径 , 并 就 如 何 培 养 学 生 的 数 学 素 质 和  数 学能 力 给予分 析 和探索 。 供 同仁参 考.  
1   联想 正 弦 函数、 余 弦 函 数 的 有 界 性 

例2 ( 1 9 9 6 年 全国 高考 试题) 当一   ≤  ≤{ 
时, 求 函数 , (  )= s i n x+ √ _ c O S X的最 大值 、 最 小值.  
分 析  本 题 中 含 有 正 弦 、 余 弦 函数 , 角  的 变 化  会 使 得 正 弦 余 弦 的 函 数 值 都 发 生 变 化 。 这 样 不 利 最  大值 、 最小 值 的确定 , 可 以考 虑 把 “ 双名 变单 名 ” .  

) = s i n x +  。  = 2 s i n (   + 詈) .  

由一 手≤  ≤ 手,   有一 詈≤  + 子≤  , 得  


( 1 )若 只 有 正 弦 或 余 弦 函 数 的 单 名 函 数 , 可 直 
接利 用其 有界 性讨 论.   例1  ( 1 9 9 8年 南 昌 市 高 考 模 拟 试 题 )求 函 数 Y  


÷ ‘   ≤s i n ( x +  ) ≤1 , 故一 1 ≤ , (   ) ≤2 .  
)   = 一1 .  

因此, (  ) ~ =2  

苎 竺  分析
Y  

的最 大值 和最 小值 ① 直接 讨 论 :  
3C OS X一 1  
一  

( 3 )对 具 有 正 弦 、 余 弦 函数 的二 次式 , 若 能 通 过 
. 

倍 角等公 式 转化 为一 次 式 , 再 转化 为单 名 函数 , 然 后  利 用正 弦 、 余 弦函数 的有界性 讨 论.  
7  
,  

例 3 ( 2 0 0 0年 江 西 高 考 模 拟 试 题 )求 函 数 Y =   ( s i n x+c o s x )   +2 c o s 。  的 最 大 值 、 最 小值 .  

显然当C O S X=1 时, Y 。  = 3一 ÷ =÷ ;  
当C O l f  ̄ =一1时 , Y   = 3 一—  = 3 —7  

分 析  利 用 三 角 恒 等 变 换 和 三 角 函 数 的 性 质 
讨 论 
Y   ( s i n x+C O S X)   +2 c o s  

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3 8  
= 1+ s i n 2  + 2co s   = s i n 2x + CO s 2x + 2  

数 学 教 学 研

究 

2 0 0 3年 第 9期 

s i n x c o s x的 形 式 , 此 时则可 利 用换 元法 将其 转 化 为二 

次 函数 的最 值问题 解决 .  

∈ 



√ 2 s i n ( 2 x+÷ )+2 ,   ‘ .  

当   例5   ( 2 0 0 0年 北 京 高 考 模 拟 试 题Z  )求 函 数 Y =   眦   ;   s i n x+ s i n 2 x —C O S X  ( 0≤   ≤1 T )的 最 大 值 和 最 小 



’Y   :√ 2 +2 , Y   =2一 √ 2 .  
妒) ,  

值.  

=  
I  

后 两类 题都 是 联 想 到 函数 Y = A s i n ( ∞  

分 析  本 题 把 s i n 2 x展 开 后 就 是 二 次 式 , 但 整 个 
时 

( A、 ∞、 妒 都 是 非 零 常 数 )的 性 质 和 图 像 , 通 过 转 化 把  待 解决 的 问题转 化 成它 的模 式. 相对  e   R而言, 可  由s i n ( ∞x   妒) 确 定最 值 ; 若  取 值 范 围 发 生 变 化 , 如  ∈( 0, 1 T ), 这 时 应 要 根 据 该 三 角 函 数 在  ∈ ( 0 , 1 T )   的 图像 和三 角 函数 的单调 性考 虑.  
2   联 想 二 次 函 数 的 最 值 问 题 

式 子 不能转 化 为单 名 函数 , 不 能用 配方 法 , 可 采 用 换 
元 法.  


=  
 

设 s i n x—C O ¥ X= l , 则s i n 2 x =2 s i n c o s x = l—l   .   原 函 数 变 为 
此  时 

, , =  

) 一( 1 - ÷  ÷  
=  
2  

( 1 )对 具 有 正 弦 、 余 弦 函数 的 二次 式 , 若 是 不 能  转 化 为一次 式 , 则可 利 用配 方 法或换 元 法 , 将 其 转化  为二 次 函数 的最值 问题 予 以解决 .  

由 0 ≤  ≤ 霄 , 则一 }≤  一 手≤  ’ 有  
+ 
2  

订  

l = s i n x — C O S X = 拉s i n (   一 }) e[ - 1  ]  
当l =÷ 时, Y   =÷ ; 当l = 一 1 时, Y … :一 1 .  
在这 类题 中, 把 三角 函数 展 开后 通 过换 元 , 原 三  角 函数 的最值 问题 , 便 转 化为 二 次 函数 的最 值 问题 .   深刻 理解 并能 灵 活 运 用 各 知 识 点 之 问 的相 互 转 化 ,   对解 决有 关 三 角函数 的 问题是 很有 必 要的.  
这 两大 类题 的教 学 , 是在 学 生 已经 学 过 函数 、 三 

例4 ( 1 9 9 9年 上 海 高 考 模 拟 试 题 )求 函 数 Y :  
3—2 s i n x—C O S   的最 大值 、 最小值, 并 求 对 应 的 值 .   分析  本 题含 有余 弦 的二 次项 , 又 含 有 正 弦 的 


次项 , 可 以考 虑 用 配 方 法. 配方前必须先把正 弦、  

余 弦 函数 化 为 同 名 函 数 ( 化平方项 ) , 这 样 就 可 转 换  为 讨 论 二 次 函数 的 最 值 问 题 .  
Y   3 — 2s i n x— C O S  
一 2s i n   +2  

: s i n  

角 函数 、 不等式 等 内容后 所 组 织 的课 改 ( 专 题 )实 验  
课; 检测 的结 果 表 明 , 学 生 普 遍 能解 决 问题 , 同 时还  对 前 面 的 函 数 图像 、 不 等式 的解 集 、 方 程 的 解 等 内 容 
有 了更多 的认 识 , 学 生 分析 问题 、 懈 决 问 题 的 能 力 也  有 了 一 定 的提 高 .  

由 一1≤ s i n x≤ 1 , 知 

当s i n=一1 时, Y   =5 , 此时  =2   1 T 一÷ 
‘  

3   联 想 解 析 几 何 中 圆 的 切 线 斜 率 的 最 值 问 题 

如果 给 出 的分式 函 数 的 分 子 、 分 母 为 不 同 名 的  正弦、 余 弦 函数 的一 次式 时 , 则 可 以 转 化 为 圆 的 切 线  斜率, 这 样 只 须 求 出 圆 的 两 条 切 线 的斜 率 即 可 .   例 6 ( 1 9 9 9年 武 汉 高 考 模 拟 试 题 )求 函 数 Y =  
S lI   一 

( k∈ Z) .  

用 配方 法求 解 关 于正 弦 、 余 弦 函数 的 最 大 ( 小)   值 问题 , 是 常 用 的方 法 , 但必须注意到正弦 、 余 弦 函  数 的值域 , 对 函数 式 的 最 大 ( 小 )值 的 影 响 . 在 引 导  学生 解这 类 题时 , 可先 让学 生 复 习 “ 求 函数 Y = n (   +  )   +h的最 大 值 和 最 小 值 及 此 时  的 对 应 值 ” 的  解法 , 然后 让 学生 对 照 两者 的异 同 , 寻 找 解 题 的切 入  点, 并 注 意 引 导 学 生 在 自变 量 的 取 值 中 寻 找 异 同 与  变化 , 培 养 学生 的数学 素 养和 数学 思 维能 力. 实 验 结  果表 明 , 通 过这 样 的教 学 , 学 生 普 遍 能 理 解 这 种 类 型  三 角 函 数 的 值 域 和 最 值 的求 法 .   ( 2 )有 些 题 目表 面 上 虽 不 含 有 正 弦 、 余 弦 函 数  的二 次 项 , 但通过变 形却能 化为含有 s i n x +C O S X 、  

的 最 大 值 和 最 小 值 
. 

分 析 

如图, 把 函 
2  

数y=  
Sl nx 一 二 

看 作 单 

位 圆 上 的 点 M( s i n x ,   c o s x )与 定 点 P( 2, 3 )的 

/  
2 一  

连线斜率 , 则 函数 的 最  值 问 题就 转化 为单 位 圆 上切 线 斜 率 的最 值 问题 , 此 
时 只 须 求 出 两 条 切 线 的 斜 率 即 可.  

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2 0 0 3年 第 9期 

数 学 教 学 研 究  了学生 的 分析 问题 、 联 想 问题 等能 力 的训 练.  

3 9  

设 切 线 方 程 为 Y一3:  (  一 2 ) ( k 为 常 数 ). 由 圆  心 0( 0, 0) 到 切 线 的 距 离 为 1 ( r =l  O M  l:   、   :1 ) , 得 
k I+ 1  

总之 , 数 学 教 学 的 最 终 目 的 是 提 高 每 个 学 生 的  数 学 素养 . 数学 素养 的核心 是 数学 思 维 , 发 展 学 生 的  思维 能力 、 优 化 思 维 品 质 是 数 学 教 学 的 一 项 中 心 任 

: 1 , 解得 k:  



因 此   ~=  

: . 二  . 6  

务. 教 学 中 只 要 我 们 不 失 时 机 地 指 导 学 生 进 行 灵 括 
扎 实的思 维 训练 , 及时 总结 、 提炼 、 升华 , 使 学 生 的认 

高 中 阶 段 三 角 函 数 的 值 域 或 最 值 问 题 基 本 可 以 

识 产生 飞跃 , 大 胆 引 导 学生 猜 想 、 比较、 分析、 联想,  
在各 个 知识 的 交汇 点寻 找 共性 , 寻找 解 题 的规 律 , 就 

分 为上 面 的三种 类 型 , 其 它 都 是 这 三 种 类 型 的 转 化 
和变形 . 通过 这样 的分 类 , 引 导 学 生 系 统 地 把 二 次 函  数、 不等 式 、 方程 、 几 何 计 算 等 与 三 角 函 数 的 知 识 有  机联 系在 一起 , 培养 了学生 的转 化与 化 归能 力 , 加 强 

能 提高 学生 的数 学 素 养 和 数 学 能 力 , 就 能 为培 养 学 
生 的创 新 意识 开辟 一条 崭新 的途 径.  

类 比法 与欧 拉 公 式的 应 用 
黄 建 荣 
( 浙 江省 湖州 市埭 溪 中学 3 1 3 0 2 3 )  

类 比推 理 是 根 据 两 个 或 两 类 对 象 在 某 些 关 系 或  性 质 上 相 同或 相 似 , 从 而 推 断 它 们 在 另 外 的 关 系 或  性质 上也 相 同或 相 似. 运 用 类 比 推 理 来 启 发 所 研 究  的对象 具有 某种 关 系 或 属 性 的方 法 称 为 类 比法 . 类  比法 带 有 启 发 性 , 它 可 以把 一 类 对 象 内 的关 系转 化  为 另一 类对 象 内的关 系 , 从 而 使 问题 得 到 解 决 .  
通 常运 用类 比法 的 关 键 在 于 联 想 , 一 方 面 要 大 
( 1)   ( 2)  

胆 联想 , 另 一 方 面 也 要 认 真 思 索 类 比 对 象 之 间 是 如  何 对应 的 , 这样 类 比才 会有 成 效. 本 文 结 合 欧 拉 公 式 
谈 谈类 比法 的应用 .  

在立 体几 何 中 , 新教 材给 出了欧 拉 公 式 , 即 在 简  单 多 面体 中 , 顶 点 数  , 面 数 F与 棱 数 E满 足 关 系 式 :  
V + F — E : 2.  

( 3)  
图 1  

( 4)  

类似的, 这个 公式 可 以应用 于 网络.   平 面 上 由点 和 线 组 成 的 图 形 称 为 网 络 , 在 网 络  中线称 为弧 , 弧 的端 点 称 为顶 点 , 由 弧 所 围 成 的 平 面 

表 1  
图 1   F   E   + F —E  

部 分称 为 区域. 其 中 每 条 弧 两 端 各 有 一 个 顶 点 且 不 
相同 , 中间没 有 别 的顶 点 , 区 域 不 能 由 两 个 或 两 个 以  上 的区域 合起 来 , 如 图 1中 各 图 形 , 则 顶 点 数  , 区 域 
数 F 与 弧 数 E也 满 足 欧 拉 公 式 :   +F —E : 2 .  

( 1 )   ( 2)   ( 3)   ( 4)  

5   3   2   8  

l   3   4   4  

4   4   4   l 0  

2   2   2   2  

这 个 公 式 还 可 以 应 用 于 一 些 平 面 几 何 图 形 


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