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高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质练习(含解析)新人教A版必修2

第 18 课时 直线与平面垂直的性质
对应学生用书 P47

知识点一

正确理解直线与平面垂直的性质

1.如果直线 a 与平面 α 不垂直,那么平面 α 内与直线 a 垂直的直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.无数条 D.任意条 答案 C 解析 当 a?α 时,过直线 a 上不在平面 α 内的一点向平面 α 作垂线,假设垂线与直线 a 确定的平面 β 与平面 α 的交线为 b,则平面 α 内与交线 b 垂直的直线都与直线 a 垂直; 当 a? α 时,易知在平面 α 内也有无数条直线与 a 垂直.故选 C. 2.若直线 a⊥直线 b,且 a⊥平面 α ,则( ) A.b⊥α B.b? α C.b∥α D.b∥α 或 b? α 答案 D 解析 当 b? α 时,a⊥α ,则 a⊥b;当 b∥α 时,a⊥α ,则 a⊥b;当 b⊥α 时,a⊥α , 则 a∥b.所以直线 a⊥b,且 a⊥α 时,b∥α 或 b? α ,故选 D. 3.已知平面 α 与平面 β 垂直,直线 m⊥α ,则( ) A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 答案 A 解析 因为平面 α 与平面 β 垂直,直线 m⊥α ,所以 m 垂直于两平面的交线,所以 β 内垂直于交线的直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直.

知识点二

直线与平面垂直的应用

4. 如图,PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是( ) A.PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD 答案 A 解析 ∵PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BD, 若 PD⊥BD,PA∩PD=P, ∴BD⊥面 PAD, 又∵AB⊥面 PAD. ∴BD∥AB,不成立,选 A.

5.如右图所示,已知 α ∩β =l,EA⊥α 于 A,EB⊥β 于 B,a? α ,a⊥AB. 求证:a∥l. 证明 ∵EA⊥α ,EB⊥β ,α ∩β =l, ∴l⊥EA,l⊥EB. 又∵EA∩EB=E,EA? 平面 EAB,EB? 平面 EAB, ∴l⊥平面 EAB. 又∵a? α ,EA⊥α ,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,AB∩EA=A,AB? 平面 EAB,EA? 平面 EAB,∴a⊥平面 EAB,∴a∥l.

知识点三

平行、垂直关系的综合问题

6.设 a,b 是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( ) A.存在唯一一条直线 l,使得 l⊥a,且 l⊥b B.存在唯一一条直线 l,使得 l∥a,且 l⊥b C.存在唯一一个平面 α ,使得 a? α ,且 b∥α

D.存在唯一一个平面 α ,使得 a? α ,且 b⊥α 答案 C 解析 过直线 a 上任意一点 P,作 b 的平行线 c,由 a,c 相交确定一个平面 α .直线 l 只需垂直于平面 α ,就会与 b 垂直,这样的直线有无数条,故 A 错误.根据平面两条直线所 成角的定义,排除 B.根据线面垂直的概念,排除 D.故选 C. 7.给出下列命题: ①a⊥α ,b? α ? a⊥b; ②a⊥α ,a∥b? b⊥α ; ③a⊥α ,b∥α ? a⊥b; ④a⊥b,a⊥c,b? α ,c? α ? a⊥α ; ⑤a∥α ,a⊥b? b⊥α ; ⑥a⊥α ,b⊥a? b∥α . 其中真命题的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 因为 a⊥α ,所以 a 垂直于平面 α 内的任意直线,所以①正确.若两条平行线中 的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直,所以②正确.由线面垂直, 线线、线面平行的性质知,若 a⊥α ,b∥α ,则 a⊥b,所以③正确.由线面垂直的判定定理 可知,④不正确.当 a∥α ,a⊥b 时,b 可能与 α 平行、垂直、斜交或 b 在 α 内,所以⑤不 正确.当 a⊥α ,b⊥a 时,b 可能与 α 平行,b 也可能在 α 内,故⑥不正确.
对应学生用书 P47
一、选择题 1.下列四个命题中,错误的个数是( ) ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行. A.1 B.2 C.3 D.4

答案 B 解析 ①中垂直于同一条直线的两条直线相互平行或相交或异面;②正确;③正确;④ 中垂直于同一个平面的两个平面相互平行或相交. 2.在△ABC 所在的平面 α 外有一点 P,且 PA=PB=PC,则 P 在 α 内的射影是△ABC 的 () A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 答案 C 解析 设 P 在平面 α 内的射影为 O,易证△PAO≌△PBO≌△PCO? AO=BO=CO. 3.已知直二面角 α -l-β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,BD⊥l,D 为垂足, 若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 答案 C
解析 过 D 点作 DE 綊 AC, 连接 AE,BE,则 CD=AE, ∵AC⊥l,∴DE⊥l,又 BD⊥l, ∴∠BDE 为 α -l-β 的二面角的平面角,∴∠BDE=90°, ∴BE= BD2+DE2= 2, 又 AE∥l,∴AE⊥面 BDE, ∴AE⊥BE, ∴AE= AB2-BE2= 2,∴CD= 2.
4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC,动点 P∈l,当 点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.有时变大有时变小 答案 C 解析 ∵直线 l⊥平面 ABC,∴l⊥BC.又∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面 APC, ∴BC⊥PC,即∠PCB 为直角,即∠PCB 的大小与点 P 的位置无关,故选 C.

5. 如图,设平面 α ∩平面 β =PQ,EG⊥平面 α ,FH⊥平面 α ,垂足分别为 G,H.为使 PQ⊥GH, 则需增加的一个条件是( ) A.EF⊥平面 α B.EF⊥平面 β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 答案 B 解析 因为 EG⊥平面 α ,PQ? 平面 α ,所以 EG⊥PQ.若 EF⊥平面 β ,则由 PQ? 平面 β ,得 EF⊥PQ.又 EG 与 EF 为相交直线,所以 PQ⊥平面 EFHG,所以 PQ⊥GH,故选 B. 二、填空题 6.地面上有两根旗杆,底端相距 a 米,它们的高分别是 b 米和 c 米(b>c),则它们顶端 的距离为________米. 答案 a2+ - 2
解析 如图,由于两旗杆都与地面垂直,故两旗杆 AD 与 BC 平行,且四边形 ABCD 是直角梯形, 设 AD=c,BC=b,过 D 作 DE⊥BC 于 E,则 DE=a,CE=b-c, 所以 DC= a2+ - 2. 7.边长为 a 的正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,F 为 BC 的中点,将△AED,△BEF 和△DCF 分别沿 DE,EF 和 DF 折起使 A,B,C 重合于一点 A′,则三棱锥 A′-EFD 的体积为________.
a3 答案 24 解析 以等腰直角三角形 A′EF 为底,DA′为高,易求三棱锥的体积.

CF 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点.当FD =________时,D1E⊥平面 AB1F. 答案 1 解析 连接 A1B,则 A1B 是 D1E 在平面 ABB1A1 内的射影. ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1. 若 D1E⊥平面 AB1F,则 D1E⊥AF. 连接 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影, ∴DE⊥AF. ∵四边形 ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点, ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F.
CF ∴当FD=1 时,D1E⊥平面 AB1F. 三、解答题
9.如图,PA⊥平面 ABD,PC⊥平面 BCD,E,F 分别为 BC,CD 上的点,且 EF⊥AC.求证: DCCF=BCCE.
证明 ∵PA⊥平面 ABD,PC⊥平面 BCD, ∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF. 又 PA∩PC=P, ∴BD⊥平面 PAC. 又 EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面 PAC, ∴EF∥BD, ∴CDFC=CBEC.

10.如图所示,已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于点 E,过 点 E 作 EF⊥SC 交 SC 于点 F.
(1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证:AG⊥SD. 证明 (1)∵SA⊥平面 AC, BC? 平面 AC,∴SA⊥BC, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,∴BC⊥AE.又 SB⊥AE, ∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC,∴SC⊥平面 AEF,∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC, 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD,∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG? 平面 AEF, ∴SC⊥AG, ∴AG⊥平面 SDC,∴AG⊥SD.