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复习四试题遂宁中学外国语实验学校2017级高一上期期期末复习(四)数学试题(含答案)


遂宁中学外国语实验学校高 2017 级第一学期期末复习

数学测试(四)
考试时间:120 分钟 总分:150 分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题
中,只有一个是符合题目要求的)

共 50 分)

一.选择题(本大题共有 10 小题,每个小题 5 分。在每个小题给出的四个选项 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 1 ? x ? 4} ,集合 B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? (CU B) ?
( ) B. {x | x ? 2} C. {x | x ? 5} D. ? x |1 ? x ? 2? A. ? x |1 ? x ? 2? 【答案】D 【解析】 试题分析: CU B ? {x | x ? 2 或 x ? 5] ,故 A ? (CU B) ? ? x |1 ? x ? 2? ,故选 D. 考点:集合的运算. 2.(2008 广东理)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延 长线与 CD 交于点 F. 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( B ) A.

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D.

1 2 a? b 3 3
?? 9 ,则 4

x og 4) 3.已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,且 f (l 1
2

a 的值为
A. 3 【答案】D. 【解析】 试题分析:∵ f (log 1 4) ? ?
2
2 题知 a ?

( B. 3 C. 9



3 D. 2

9 9 9 ,∴ f ( ?2) ? ? ,∵函数 f ( x) 是奇函数, ∴ f (2) ? ,由 4 4 4

9 3 ,∴ a ? ,故选 D. 4 2

考点:函数的奇偶性及对数、指数函数和解方程. 4.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f (?x) ? ? f ? x ? , f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,且 x ? (?1,0) 时,

1 f ? x ? ? 2 x ? ,则 f ? log2 20? ? ( 5


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A.1 【答案】C 【解析】

B.

4 5

C. ?1

D. ?

4 5

试题分析:由 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? f ? x ? 4? ,因为 4 ? log2 20 ? 5 , 所以 0 ? log 2 20 ? 4 ? 1, ?1 ? 4 ? log 2 20 ? 0 , 所以 f ? log 2 20 ? ? f ? log 2 20 ? 4 ? ? ? f ? 4 ? log 2 20 ? ? ? f ? log 2 考点:1、函数的周期性;2、对数运算. 5.定义域为 R 的函数 F ( x) ? x2 ? b | x | ?1 有四个单调区间,则实数 b 满足 A. [?2, 2] 【答案】C 【解析】 试题分析:易知函数 F ( x) ? x2 ? b | x | ?1 为偶函数,所以当 x ? 0 时, y ? x 2 ? bx ? 1有两 个单调区间,故对称轴为大于 0. 考点:函数的奇偶性与单调性. 6.已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 ,若 f ( x ? 4) ? 2 ,则实数 x 的取值范围是(
x 2

? ?

4? ? ? ?1 .故选 C. 5?





B. (0, ??)

C. (??, 0)

D. (??, ?2)

(2, ??)



A. (?2, 2) 【答案】D 【解析】

B. (2, 5)

C. (? 5, ?2)

D. (? 5, ?2)

(2, 5)

试题分析:∵ f ( x) ? ln x ? 2 ,∴ f (1) ? 2 .
x

又∵函数 f ( x) ? ln x ? 2 在 (0, ??) 上是增函数,
x

∴ f ( x ? 4) ? 2 ? f ( x ? 4) ? f (1) ? x ? 4 ? 1 ? x ? 5 ? ?5 ? x ? 5
2 2 2 2

而 x ? 4 ? 0 ? x ? ?2或x ? 2 ,∴实数 x 的取值范围是 (? 5, ?2)
2

(2, 5)

考点:函数单调性的应用. 7.已知函数 f ? x ? ? ? 为( ) A.1 【答案】C 【解析】

? x ? 1, ?4 x ? 4, g ? x ? ? ln x ,则函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的零点个数 2 x ? 4 x ? 3, x ? 1, ? ?
B. 2 C. 3 D.4

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试题分析:由题意 g ?x ? ? f ?x ? ? ln x ? 0 ,得 f ?x ? ? lg x ,函数 y ? f ?x ? 与 y ? ln x 的交 点的个数即函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ln x ? 0 零点的个数,在同一个坐标系画出图象,由图象可得 有 3 个交点,故 y ? f ?x ? ? g ?x ? 的零点个数是 3,故答案为 C.

考点:函数零点个数的判断. 8.将函数 f ( x ) = sin(2 x +

p
3

)的图像向左平移 n (n ? 0) 个单位,再将图像上各点的横坐标


伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( A.

? 6

B.

? 12

C.

5? 6

D.

? 24

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 f ( x ) ? s i n2(x ?

?
3

) , 向 左 平 移 n (n ? 0) 个 单 位 后 得 到 函 数

y = sin[2( x + n) + ] 的图像,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍后得到函数 3 y = sin( x + 2n + ) 的 图 像 , 因 其 为 偶 函 数 , 故 x = 0 时 , 2n + = + kp , k ? Z 3 3 2 p kp ? n = + , k ? Z .故选 B. 12 2
考点:三角函数图像变换. 9.函数 f ( x) 的定义域为 D ,若满足: ① f ( x) 在 D 内是单调函数; ②存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [ a, b] 上的值域为 [?b,?a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数. 现有 f ( x) ? A. [2, ) 【答案】A 【解析】 试题分析:由于 f ( x) ?

p

p

p

p

2 ? x ? k 是对称函数,那么 k 的取值范围是(
B. (?? , )

) D. (?? , ]

9 4

9 4

C. (2, )

9 4

9 4

2 ? x ? k 在 (??,2] 上是减函数,故满足①,又 f ( x) 在 [a, b] 上

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的值域为 [?b,?a] ,∴所以 ?

? 2 ? a ? k ? ?a ? ? ? 2 ? b ? k ? ?b

,即 a 和 b 是关于 x 的方程 2 ? x ? k ? ? x 在

(??,2] 上有两个不同实根.令 t ? 2 ? x ,则 x ? 2 ? t 2 , t ? 0 ,

? 1? 9 2 ∴ k ? ?t ? t ? 2 ? ? ? t ? ? ? ,在 ?0, ??? 上有两个不同实根,又 g ?t ? ? ?t ? t ? 2 在 2 4 ? ?
2

2

9 ?1? 9 ? 1? ?1 ? [ 2 , ). 递增,在 递减且 ,∴ k 的取值范围是 0, , ?? g 0 ? 2, g ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ?2? 4 ? 2? ? ?2 ?
(也可结合 y ? 2 ? x 与 y ? ? x ? k 的图象可得 k ? [2, ) ). 考点:新定义,方程的解的个数. 10.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足以下条件:① f ( x ? 1) ? ? f ( x) 对任意的 x 都成立;

9 4

1] 时, f ( x) ? e ? e ? cos ② 当 x ? [0,
x

?x
2

? m (其中 e ? 2.71828 …是自然对数的底数, m
( C )

2016] 上的零点个数为 n ,则 是常数).记 f ( x ) 在区间 [2013,
1 2 1 (C) m ? ? ,n ? 3 2
(A) m ? ? ,n ? 6 (B) m ? 1 ? e,n ? 5 (D) m ? e ? 1,n ? 4

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.设 a, b 是两个不共线的非零向量,若向量 k a ? 2b 与 8a ? k b 的方向相反,则 k=____-4______. 12.已知函数 f ( x) ? 【答案】4028 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

4x ?1 1 2 2013 2014 )? f ( ) ? ... ? f ( )? f ( ) ? ____. ,则 f ( 2x ?1 2015 2015 2015 2015

f ( x) ?

4 x ? 1 2(2 x ? 1) ? 1 1 ? ? 2? 2x ?1 2x ?1 2x ?1



f (1 ? x) ? 2 ?
?f(

1 2014 1 1 )? f ( )?4 ? 2? ,? f ( x) ? f (1 ? x) ? 4 , f ( 2015 2015 2(1 ? x) ? 1 2x ?1


1007 1008 )? f ( )?4 , 所 2015 2015 1 2 2013 2014 f( )? f ( ) ? ... ? f ( )? f ( ) ? 4 ?1007 ? 4028 . 2015 2015 2015 2015

考点:寻求规律.

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13.函数 y = log 1 ( x 2 ? 4 x ? 12) 的单调递增区间是 14.方程 log2 (2 ? 1) log2 (2 x?1 ? 2) ? 2 的解为
2 x

(??,?2)
0 。



15.关于函数 y ? sin(2x ?

?

? 1 个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标变为原来的 倍 2 4 ? 5? 0) 对称;④ (纵坐标不变)而得到;③ 图像关于点 ( , 图像关于直线 x ? 对称 . 8 8
y ? sin x 的图像先向左平移
其中所有正确的结论的序号是____①②④.______.

4

),给出它的以下四个结论: ①最小正周期为 ? ; ②图像可由

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要文字说明,证明过程 或演算步骤。20 题 13 分、21 题 14 分,其他解答题 12 分) 16. (本小题 12 分)
计算: (1) 1.10 ? 3 216 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2 lg 2 ;
4

(2) log3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 2 。 3
(6 分)

16、解析: (1) 1.10 ? 3 216 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2 lg 2 =5
4

(2) log3

27 3 15 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 4 3


(6 分)

17. (本小题 12 分) 已知实数 a≠0,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a,x ? 1, ?-x ? 2a,x ? 1.

(1)若 a ? ?3 ,求 f (10) , f ( f (10)) 的值; (2)若 f (1 ? a) ? f ?1 ? a ? ,求 a 的值. 【答案】 (1)-4,-11(2)a=-

3 4

【解析】 试题分析:1.求分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解, 有时每段交替使用求值. 2. 若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围. 试题解析: (1)若 a=-3,则 f(x)= ?

?2 x-3,x ? 1, ?-x+6,x ? 1.
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所以 f(10)=-4,f(f(10) )=f(-4)=-11. (2)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 所以 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得 a=- 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得 a=- 综上可知,a=-

(5 分)

3 ,不合,舍去;(8 分) 2 3 ,符合. 4
(11 分)

3 . 4

(12 分)

考点:分段函数及其应用 ▲ 18. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 , (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [3a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; (3) 在区间 [?1,3] 上, y ? f ( x) 的图像恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图像上方, 试确定实数 m 的 取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 ; (2) 0 ? a ?
2

1 5 ; (3) m ? ? 4 3

【解析】 试题分析: (1)设 f (x) ? a(x ?0)( x ?2) ?3 ,再利用函数的最小值,求出 f ( x ) 的解析式; (2)由于 f ( x ) 在区间 [3a, a ? 3] 上不单调,说明对称轴在区间 [3a, a ? 3] 内部,从而求出 实数 a 的取值范围; (3)在区间 [?1,3] 上, y ? f ( x) 的图像恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图像上 方,直接利用二次函数闭区间上的最值求解即可. 试题解析: (1)设 f ( x) ? a( x ? 0)( x ? 2) ? 3 则 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ,
2



12a ? 4a 2 ? 3? a ?1 ∴a ? 2 4a

∴ f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 .
2

4分

(2)由(1)知 f ( x ) 图象的对称轴为直线 x ? 1 ,

∴?

1 ?3a ? 1 即0 ? a ? . 3 ?a ? 1 ? 1
2

8分

(3) x ? [?1,3] 时, 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 恒成立,
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即 m ? x ? 3x ? 1在 x ? [?1,3] 时恒成立。
2

∴ m ? ( x2 ? 3x ? 1)min = ? 即m ? ?

5 4
12 分

5 4

考点: (1)二次函数的性质; (2)函数解析式的求解及常用方法; (3)函数恒成立问题.



19.(本小题 12 分)
经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元) 均 为 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 , 且 销 售 量 近 似 满 足 g (t ) ? 80 ? 2t ( 件 ) ,价格近似满足

1 . f (t ) ? 20 ? | t ? 10 | (元) 2
(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t ( 0 ? t ? 20 )的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 19.解: (1) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ?

1 | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) · · · · · · · · · · · · 2分 2

?t ) ( 4 ?0 t, ) ?( 3 0 ?? ?t ) ( 5 ?0 t, ) ?( 4 0
2

?0 t ? ? 1t 0?

10. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 20.
2

(2)当 0 ? t ? 10 时, y ? ?t ? 10t ? 1200 ? ?(t ? 5) ? 1225 ,

y 的取值范围是[1200,1225],在 t ? 5 时, y 取得最大值为 1225;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
同理,当 10 ? t ? 20 时, y 的取值范围是 [600, 1200] , 在 t ? 20 时, y 得最小值为 600. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 答:第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分



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20. (本小题 13 分)
函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0 ,

| ? |?

?
2

x ? R )的部分图像如下, M 是图像的一个最低点,图像与 x 轴的一个交点坐标 ,

0) ,与 y 轴的交点坐标为 (0, 为( , ? 2) . 2
(Ⅰ)求 A,?,? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间. 20. 解 : ( 1 ) 由 图 可 知 , 函 数 的 周 期

?

T ? 4? [ ? ? ( ? ) ]? , 4 2 2 2? 1 ? 4? ,得 ? ? . · ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2 ? 1 ? 0) ,得 A sin( ? ? ? ) ? 0 , 由图像与 x 轴的一个交点坐标为 ( , 2 2 2
∴ sin(

?

?

?

4

??) ? 0 ? 2
得, ?

?

由 | ? |?

?

?

4

? ? ? k? ? ? ? k ? ?

?

∴ y ? A sin( x ?

1 2

?
4

2

?? ? ).

?
2

,∴ ? ? ?

?
4

4

( k ? Z ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

当 x ? 0 时, y ? A sin(?

) ? ? 2 ? A? 2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4 1 ? 综上可知, A ? 2,? ? ,? ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4 1 ? 1 ? ? 3? 2k? ? ] ( k ? Z ) (2)由 y ? 2sin( x ? ) ,令 x ? ? [2k? ? , , 2 4 2 4 2 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

?

3? 7? , 4 k? ? ] ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 3? 7? , 4 k? ? ] ( k ? Z ). · ∴函数的单调递减区间是 [4k? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 2 ▲
解得 x ? [4k? ?

21.(本小题 14 分)
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利 用 自 然 对 数 的 底 数 e ( e ? 2.71828 … ) 构 建 三 个 基 本 初 等 函 数

e ( x ? 0) . 探究发现,它们具有以下结论:三个函数的图像形成的图 x 形(如图)具有“对称美” ;图形中阴影区 A 的面积为 1 等. M,N y ? e x,y ? ln x,y ?
是函数图像的交点. (Ⅰ)根据图形回答下列问题: ①写出图形的一条对称轴方程; ②说出阴影区 B 的面积; ③写出 M,N 的坐标.

e , x 证明:对任意的正实数 x1,x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ). 都有 2 2 e e 21. 解: ( 1)∵ y ? ( x ? 0 )的图像是反比例函数 y ? x x
(Ⅱ)设 f ( x ) ? e ? ln x ?
x

( x ? 0 )的图像位于第

一象限内的一支, ∴y?

e ( x ? 0 )的图像关于直线 y ? x 对称. x

又 y ? e x , y ? ln x ? loge x 互为反函数,它们的图像关于直线 y ? x 互相 对称,从而可知: ①三个函数的图像形成的图形的一条对称轴方程为 y ? x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ②阴影区 A 、 B 关于直线 y ? x 对称,故阴影区 B 的面积为 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ③ M (1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ,e),N (e, 1) . ·

(2)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f(

e x1 ?

e e e e ? ln x1 ? e x2 ? ? ln x2 e x1 ? e x2 ? ? ? ln( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 ? , 2 2

x1 ? x 2 1x 2 x1 ? x 2 x ?x 2 x? x ?1 x 2 e 2e )?e 2 ? ? ln 1 ?e 2 ? ? ln , ……8 分 x1 ? x2 2 2 x1 ? x2 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2)? 2 2

e x1 ? e x2 ?

e e ? ? ln( x1 x2 ) x1 ? x2 x1 x2 x ?x 2e ?e 2 ? ? ln 1 2 2 x1 ? x2 2

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?

e ?e ?e 2
x1 x2

x1 ? x2 2

e e ? x1 x2 x ? x ln( x1 x2 ) 2e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? ? ? ln 1 2 ? 2 x1 ? x2 2 2

?

x ?x e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? x2 ( x1 ? x2 )e 2e ? ? ? ln 1 2 ? ln x1 x2 2 2 x1 x2 x1 ? x2 2

x ?x e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? e x2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? ? e ? ln 1 2 ? ln x1 x2 · 2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 )2 x ?x ( e x1 ? e x2 )2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ? e ? ln 1 2 ? ln x1 x2 .(*) · 2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2
( x1 ? x2 )2 x1 ? x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? x1 x2 ? ? 0,· 2 2



x1 ? x2 x ?x ? ln x1 x2 ,即 ln 1 2 ? ln x1 x2 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 对任意的正实数 x1,x2 都成立. 从而可知(*) ? 0 ,即 2 2
∴ ln · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 (其它解法请参照评分).



遂宁中学外国语实验学校高 2017 级第一学期期末复习数学测试四

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