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高中数学 《圆与方程》教案(1)


圆的一般方程
一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的 坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方 法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解决实 际问题的能力. (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习 数学和其他相关学科的基础知识和基本方法 打 下牢固的基础. 二、教材分析 1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和 半径;( 2)能用待定系数法, 由已知条件导出圆 的方程. (解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方 法;(2)加强这方面题型训练.) 2.难点:圆的一般方程的特点. (解决办法:引导学生分析得出圆的一般方程的 特点,并加以记忆.) 3.疑点:圆的一般方程中要加限制条件 D2+E2-4F>0. (解决办法:通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板. 四、教学过程 (一)复习引入新课

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前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家 思考一下:形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这 一方面的 问题.复习 引出课题为“圆的一般方程”. (二)圆的一般方程的定义 1.分析方程 x3+y2+Dx+Ey+F=0 表示的轨迹 将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方得:

(1) (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程

半径的圆;

(3)当 D2+E2-4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 没有实数解,因而它不表示任何图形. 这时,教师引导学生小结方程 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 的轨迹分别是圆、

法. 2.圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程.
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(三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题: 问题:比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. (2) 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0). (3) 的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论. 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 具有条件: (1)x2 和 y2 的系数相同,不 等于零,即 A=C≠0; (2)没有 xy 项,即 B=0; (3)D2+E2-4AF>0. 它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出. 教师还要强调指出: (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示 圆的必要条件,但不是充分条件; (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要 条件. (四)应 用与举例 同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 一样,方程 x2+y2+Dx+Ey+ F= 0 也含有三个系数 D、E、 F,因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它们 的应用. 例1 求下列圆的半径和圆心坐标:

(1)x2+y2-8x+6y=0, (2)x2+y2+2by=0. 此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心 为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为 b.
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同时强调:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用 配方法,这要熟练掌握. 例2 求过三点 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.

解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、A、B 在圆上,则有

解得:D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为 x2+y2-8x+6=0. 例 2 小结: 1.用待定系数法求圆的方程的步骤: (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; (2)根 据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程; (3)解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设方程,就得要求的方程. 2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求 圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已 知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.再看下例: 例 3 求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C1∶x2+y2-2x+10y-24=0 和 C2∶ x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程.

(0,2 ). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 l 上所以得 方程组为

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故所求圆的方程为:(x+3)2+(y-3)2= 10. 这时,教师指出: (1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设 圆 的标准方程. (2)此题也可以用圆系方程来解: 设所求圆的方程为: x2+ y2-2x+10y-24+λ (x2+y2+2x+2y-8)=0(λ ≠-1) 整理并配方得:

由圆心在直线 l 上得λ =-2. 将 λ =-2 代入所假设的方程便可得所求圆的方程为 x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的 位置关系中再介绍,此处为学生留下悬念.

的轨迹,求这个曲线的方程,并画出 曲线. 此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生: (1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任一点 M(x,y), 由求曲线方程的一般步骤可求得; (2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图形. (五)小结 1.圆的一般方程的定义及特点; 2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径;
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3.用待定系数法,导出圆的方程. 五、布置作业 1.求下列各圆的一般方程: (1)过点 A(5,1),圆心在点 C(8, -3); (2)过三点 A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2). 2.求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点,并且圆心在直线 x-y-4=0 上的 圆的方程. 3.等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点的轨迹方程, 并说明它的轨迹是什么. 4.A、B、C 为已知直线上的三个定点,动点 P 不在此 直线上,且使∠APB=∠BPC,求动 点 P 的轨迹. 作业答案: 1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y- 20=0 2.x2+y2-x+7y-32=0 3.所求的轨迹方程为 x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以

4.以 B 为原点,直线 ABC 为 x 轴建立直角坐标系,令 A(-a,0),C(c,0)(a>0,c>0), P(x,y),可得方程为: (a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0. 当 a=c 时,则得 x=0(y≠0),即 y 轴去掉原点;当 a≠c 时,则得(x-

与 x 轴的两个交点. 六.板书设计

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