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3.2几种常见函数的导数


3.2 几种 3.2

3.2 几种常见函数的导数

教学目标: 教学目标 1.能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式,熟记正弦余弦函数的导数. 2.掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数. 3.在公式(2)的推导过程中,培养学生的创新能力. 教学重点:利用前面已学的求导数的三个步骤对公式(1)(2)进行证明,同时能运用这四个 、 教学重点 公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题. 教学难点:公式(2)的推导过程. 教学难点 教学用具:投影仪 教学用具 教学过程: 教学过程 一.复习提问 l.按定义求导数有哪几个步骤? 2.用导数的定义求下列各函数的导数. (1) ; (2) . . 练

目的, (1) 练习 为推导公式 (2) 作准备. 在求分值时, 启发学生应用二项式定理展开 习(2)推导前,首先指出这里 称为常数函数,可设

,说明不论自变量取何

值,对应的函数值均为 C,以避免如下错误: 略解:1.





则 ∴ 二.讲授新课 1.引言:由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,

所以求导数总是归结到求极限.这在运算上很麻烦,有时甚至很困难.为了能够较快地求出某些函 数的导数.这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法,本节课根据导数定义先来证明几个常见函 数的导数公式. 2.几个常见函数的导数公式 公式 1

C ′ = 0 (C 为常数) ;

证明 y = f ( x ) = C ,

?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = C ? C = 0 ,

?y =0, ?x
∴ f ( x ) = C = lim
' ' ?x → 0

?y = 0. ?x

说明(1)我们还可以用几何图象,对公式加以说明:因为 y = C 的图象是平行于 x 轴的直线, 其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率都是 0. (2)公式 1 可叙述为:常数函数的导数为零. 公式 2

( x n )' = nx n ?1 (n ∈ Q) .
?

下面我们就 n ∈ N 的情况加以证明. 证明 y = f ( x) = x n ,

?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = ( x + ?x) n ? x n
1 = [ x n + Cn x n ?1?x + Cn2 x n ? 2 ?x 2 + L + Cnn (?x) n ] ? x n 1 n = Cn x n ?1?x + Cn2 x n ? 2 ?x 2 + L + Cn (?x) n

?y 1 = Cn x n ?1 + Cn2 x n ? 2 ?x + L + Cnn (?x)n ?1 , ?x ?y ' n ' ∴ f ( x ) = ( x ) = lim . ?x → 0 ?x
1 n = lim[Cn x n ?1 + Cn2 x n ? 2 ?x + L + Cn (?x) n ?1 ] ?x → 0

= nx n ?1 .
说明:(1)这个公式的证明可在教师的指导下进行.由于前面已有 y = x 5 这道题的基础,可由学 生只就 n ∈ N
?

的情况进行独立证明.

(2)教学时要引导学生认真观察此公式的特点:

函数 y = x 的导数等于指数 n 与自变量的 n ? 1 次方的乘积.
n

(3) 这个公式对于 n ∈ R 都成立. 公式 3 公式 4

(sin x)′ = cos x ; (cos x)′ = ? sin x .

说明(1)公式 3、4 可叙述为: 正弦函数的导数等于余弦函数,余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号. (2)证明公式 3、4 要用到 lim 3.例题精讲 例 1 求下列函数的导数: (1) y = x 5 , (2) y = (1)解: 注意:与前面的复习提问衔接起来,说明牢记和应用导数公式解题的重要性。 (2)解:

sin x =1. x →0 x

1 , (3) y = x . x2

(3)解: 目的:通过这一组题的详细讲解,使学生对公式(2)记得更牢固。要求学生今后能熟练地掌 握它. 例 2 质点运动方程是 s =

1 ,求质点在 t = 2 时的速度. t5 1 1 ' ' ?5 ' ?6 解:∵ s = 5 , ∴ s = ( 5 ) = (t ) = ?5t , t t 5 ' ?6 ∴ s |t = 2 = ?5 × 2 = ? . 64 5 答:质点在 时的速度是 ? . 64
在点 的切线方程.

例 3 求曲线

分析:先要利用公式 3 求出函数

的导函数,然后利用导函数求出曲线在点

的切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程。

略解:∵





∴斜率

∴ 切线方程为 .

化简得

答:曲线 4.课堂练习

在点

的切线方程为

.

(1)默写四种常见的求导公式. (2)教科书第 115 页练习 1 和练习 2.

(3)求曲线

在点

的切线方程.

略解:



切线方程为 5.课堂小结 四种常见函数的导数公式. (1) (3) 五.布置作业 1.求下列函数的导数: (1) (4) ; (2) ; (5)

,即

.

(C 为常数);(2) ; (4)

; .

; a 为正整数)(3) ( ;

(a 为常数)

2.教科书习题 3.2 第 2 题和第 5 题.

教案点评: 教案点评:

通过复习导数的定义和求解方法引入,先通过求解具体的函数的导数,使学生理解求解一般形 式的思想方法,然后给予适当的指导证明公式。给出四个公式后,在通过例题和练习加以巩固和掌 握.


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