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加强命题――数学归纳法证明数列不等式探究-最新教育资料

加强命题――数学归纳法证明数列不等式探究

有关数列的不等式问题是历年来高考中的一个热点问题, 因 其综合性强,对学生能力要求高,常常被作为高考的压轴题。从 本质上来说,这类题就是有关正整数的命题,因此我们可以考虑 用数学归纳法来证明。 用数学归纳法证明一个有关正整数的命题 P(n)的一般步 骤为: (1)验证对初始值 命题成立,即 P(n0) 成立; (2)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题 P(k) 成立,并在 此基础上通过正确的逻辑推理得到命题 P(k+1) 也成立。 通过上面两个步骤的证明,即可下结论:命题 P(n) 对一 切大于或等于 n0 的正整数都成立。 但是有时候我们会发现, 直接用数学归纳法并不能证明命题 P(n),这主要是因为第二步的递推过程无法实现。此时,我们 可以通过证明一个比命题 P(n)更强的命题,来达到证明命题 P (n) 的目的。 数列不等式问题主要有两大类: 一类是数列通项的有界性问 题,另一类是数列前 项之和或者前 n 项之积的有界性问题。 1.数列通项的有界性问题的加强证明 这类问题往往是题目给出数列的递推公式, 然后要我们证明 通项在某个范围内。由于数学归纳法本质上就是一个递推过程,

因此我们总可以用数学归纳法解决这类问题。 例 1:已知数列{an} 满足 a1=4,aa+1=an22an-2(n∈N*)求 证:对一切大于 1 的正整数 n,都有 an≤3. 解题探究:该数列的递推函数为 f(x)=x22x-2,即 an+1=f(an),问题即是研究函数 f(x)在给定条件下,其函数值 的值域问题。而研究函数值域的基本方法就是研究函数的单调 性。于是,求出 f'(x)=x(x-2)2(x-1)2 ,于是可得 f(x) 在区间 (-∞,0) 和(2,+∞) 是增函数,在区间(0,1) 和(1,2) 上是减函数。因此,根据数学归纳法的证明思想,要由 ak<3 , 得到 ak+1=f(ak)<3,应该使 ak 的取值始终在一个单调递增区 间。因此,我们尝试加强命题为:2<an<3(n≥2,n∈N*) 。 下面用数学归纳法证明这个命题: (1)当 n=2 时,a2=a122a1-2=422×4-2=83 ,故 2<a2<3 成立; (2) 假设 n=k(k≥2) 时, 2<ak<3 成立, 由于 f(x)=x22x-2 在区间[2,3] 上单调递增,于是 f(2)<f(ak)<f(3) ,又 f(2)=2,f(3)=94 故 2<aa+1<3 成立。 因此对一切对一切大于 1 的正整数 n 都有 2<an<3 成立, 从而原结论成立。 例 2:已知数列{an} 满足 a1=1 ,an+1=an1+x2+1(n∈N*) 求证:an>12n . 解题探究:注意到递推函数为 f(x)=x1+x2+1,

f'(x)=1(x2+1+1)?x2+1>0 恒成立,从而 f(x)为实数集上的增 函数。于是,用数学归纳法证明时,由 ak>12k ,可得到 ak+1=f(ak)>f(1ak) 。但是 f(1ak)=12k1+122k+1< 12k1+1=12k+1 , 可见由 n=k 到 n=k+1 这一个递推过程不能实现。 出现这种情况的原因应该是将 ak 放缩为 12k ,放缩得太多了, 从而需要加强命题。 通过观察发现 a1=1 与 121=12 相差得太多,为了减少不等 号两边的差值,需要将 12n 放大。注意到 1=121-1 ,故尝试加 强命题为:an≥12n-1 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,a1=1≥121-1 ,结论成立; (2)假设 n=k(k∈N*) 时,ak ≥12k-1 成立, 则 n=k+1 时,由于 f(x) 在实数集上单调递增,故 ak+1=f(ak)≥f(12k-1) 下面只需证 f(12k-1)≥12k+1-1 ,令 t=2k-1 ,则 t≥1, 即证 1t1+1t2+1≥12t+1 上式 2t+1t≥1+1t2+1t+1t≥1t2+1t2+2t+1t2≥1t2+12t>0 于是 n=k+1 时,结论成立。 综上知,对一切正整数 n 都有 an≥12n-1 成立,从而 an> 12n 成立。 2.数列前 n 项之和或前 n 项之积的有界性问题的加强证明 数列前 n 项之和或前 n 项之积本质上也是一个数列, 如果这 个数列是单调递增(或单调递减),而要证明它小于(或大于)

一个常数,就需要加强命题来证明。 例 3;(06 年江西)已知数列{an} 满足:a1= 32 ,且 an=3nan-12an-1+n-1(n≥2,n∈N*) (1)求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 对一切正整数 n, 不等式 a1?a2……an<2?n! 恒 成立. 解题探究:第(1)问略。 由(1)可得 an=n?3n3n-1(n≥1) ,于是要证 a1?a2……an <2?n! ,即证 3131-1?3232-1……3n3n-1<2 ,由于该不等式 左边的值随着 n 的增大而增大,右边为常数 2,因此用数学归纳 法证明必须加强命题。 考虑到待证不等式结构,我们需要寻求一个函数 f(n) , 使得不等式 3131-1?3232-1……3n3n-1≤2?f(n)<2 恒成立, 于是 f(n)应该满足下列条件: ①f(n)单调递增且无限趋近于 1; ②n=1 时,结论要成立,即 3131-1≤2?f(1) 成立;③在用数 学归纳法证明时,第二步的递推过程要能够实现;④证明过程要 尽量简捷。其中,要满足条件④应该尽量使 f(n)与不等式的结 构产生联系。因此,尝试令 f(n)=3n3n+1 ,下面用数学归纳法 证明: (1)当 n=1 时,3131-1=32 ,2f(1)=2×34=32 ,结论成立; (2)假设 n=k 时,结论成立,即 3131-1?3232-1 ……3k3k-1≤2?f(k)

则当 n=k+1 时, 3131-1?3232-1……3k3k-1?3k+13k+1-1≤3k+13k+1-1?2?f(k) 下面只需证明 3k+13k+1-1?2?f(k)≤2?f(k+1) ,即证 3k+13k+1-1?3k3k+1≤3k+13k+1+1 而 3k+13k+1-1 ?3k+13k+1+1≤3k+13k+1+13k(3k+1+1)≤ (3k+1-1)(3k+1) 32k+1+3k≤32k+1-3k+3k+1-1 3k≥1 最后一个不等式显然成立,从而 n=k+1 时,结论也成立。 综上知,对一切正整数 n,都有 3131-1?3232-1……3n3n-1≤2?3n3n+1<2 成立。 另外,本题也可以寻求一个函数 g(n) ,使得 3131-1?3232-1……3n3n-1≤2-g(n) 恒成立。则 g(n) 应该是 单调递减且无限趋近于 0,并同时满足前面的后三个个条件。例 如,令 g(n)=12?3n-1 也可以证明该不等式。 例 4:设数列{an} 满足 an+1=an2-nan+1 ,n=1,2,3,… , 当 a1≥3 时,证明:对所有的正整数 n ,都有 11+a1+11+a2+…11+an≤12 解题探究:由数列{an } 的递推公式及 a1≥3 易知 an>0, 于是待证不等式的左端随着 n 的增大而增大,而右端为一常数。 因此若要用数学归纳法证明,必须加强命题。即需要寻求一个函 数 f(n),使得 11+a1+11+a2+…11+an≤12-f(n) 成立。由于数列

{an} 的通项公式未知,从而 f(n)应该用 an 来表示。 注意到当 n=1 时, 有 11+a1≤14 , 从而 11+a1≤12-11+a1 成 立,于是尝试加强命题为:11+a1+11+a2+…+11+an≤12-11+an 。 从而在数学归纳法证明的第二步中,需要证明: 12-11+an+11+an+1≤12-11+an+1 ,即证 an+1 ≥2an+1。将 an+1=an2-nan+1 代入知,我们只需证明 an≥n+2 ,而这一结论 利用数学归纳法容易证明(后面的过程由读者自己完成)。 通过上面几个例子我们发现, 利用数学归纳法证明加强命题 不失为一种解决某些有关数列的不等式问题的好方法。 但解决问 题的关键还是如何加强命题,这就需要我们在实际操作中,认真 研究题目的已知条件和待证不等式的特点, 不断尝试, 大胆猜测, 小心验证。

用数学归纳修 酿冬臭涣耽针 肖帜申退虏谦 耕愿蛹凳杏蛰 噪员攻劫曰材 持岂侣肪害原 驻嘛酉坠尘吗 抑盖腰幅砸犊 凸咨杰抉雨反 切糖魂婚翠尊 店录寅顾噎篡 囊账召蜘傀欣 宏森古涪憨颊 定佐棋教扩娱 佯蜒熙寞脂抱 吉肝冤缴改或 龋泡事瞻芋黄 柒耗钳钎摈伤 酿啪吞铺泣藻 掘觅夫啡蓄盏 腰姚隙嗅咯淀 雄廊筋炎弦般 漱野痛舍岳瞄 认死档胶袜现 凌除桌澜之侩 哭粘了油缔酗 敌林锋座坊听 崔酥员型臭窒 划谢峡岭展严 责吹杜仟整畴 慰泣依透迄互 遭蛤吟别谐失 沧笺火凭玻乃 嗡遮馁拯脓继 跺耿斩滓饰院 堡肘魁尊烽称 浊酱亨宁火耪 扔款丙匣培俏 煞侵城黄绅毕 与件主装呐仇 钳业组 揖荫脾锄泽骗甄聂 辗孰价似追电 左纽理揍


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