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初高中衔接——一元二次方程根的分布


一元二次方程根的分布
一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根, 其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。
? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 【定理 1】 x1 ? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? , b ? x1 ? x2 ? ? ? 0 ? a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?b ? 0 ? ?

上述推论结合二次函数图象不难得到。

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0 , ? 1 2 a ? c ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?

推 论 : x1 ? 0 , x2 ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 或 ?a ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?a ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?

由二次函数图象易知它的正确性。

【定理 3】 x1 ? 0 ? x2 ?

c ?0 a
b ? 0; a

1 【定理 4】 ○ x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 2 ○ x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

b ?0。 a

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一元二次方程根的分布

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则一元二次方 程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 【定理 1】 k ? x1 ? x2
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1 ? x2 ? k

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

推论 1 x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

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一元二次方程根的分布

?a ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 1 1 ? ? ? ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f (k 2 ) ? 0 或 ? f (k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ?f (p ) ? 0 1 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? f ( p2 ) ? 0 ? ?
此定理可直接由定理 4 推出,请读者自证。

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 【定理 6】 k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? ? f (k1 ) ? 0 或 ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? ?k1 ? ? 2a ? k 2 ?k1 ? ? 2a ? k 2 ? ?

三、

例题与练习

2 2 例 5: (1)已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取值范围。

(2)已知方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。
2 2

(3)已知方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 的较大实根在 0 和 1 之间,求实数 m 的取值范围。 (4)若方程 x ? (k ? 2) x ? k ? 0 的两实根均在区间( ? 1 、1)内,求 k 的取值范围。
2

(5)若方程 x ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范 围。 练习 1.已知 f ( x ) =( x - a )( x - b )-2( a < b ),并且 ? , ? 是方程 f ( x ) =0 的两根( ? < ? ),则实数 a , b ,? 、 ? 的大小关系是( )
2

A、 ? < a < b < ?
2

B、 a < ? < ? < b

C、 a < ? < b < ?

D、 ? < a < ? < b )

2.方程 f ( x ) = ax ? bx ? c =0( a >0)的两个根都大于 1 的充要条件是( A、△≥0 且 f (1)>0 B f (1)>0 且-

a >2 b

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一元二次方程根的分布
a c C、△≥0 且- b >2, a >1 a D、△≥0 且 f (1)>0,- b >2。

3.若方程 8x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 7 ? 0 有两个负根,则实数 m 的取值范围是



4.若方程 3x 2 ? (m ? 5) x ? 7 ? 0 的一个根大于 4,另一个根小于 4,求实数 m 的取值范围。
2 2 5. 若方程 x ? 2tx ? t ? 1 ? 0 的两个实根都在 ? 2 和 4 之间,求实数 t 的取值范围。

6. 设α、 β是关于方程 x 2 -2(k -1)x+k+1=0 的两个实根, y= ? 2 + ? 2 关于 k 的解析式, 求 并求 y 的取值范围。

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