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48148com:山东高考之导数汇总

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高考真题之导数

李传文

导数及其应用
2006 年 18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln( x ? 1) ,其中 a ? ?1 ,求 f ( x ) 的单 调区间. 解:由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) ,且 f ( x) ?
'

ax ? 1 (a ? ?1), x ?1 (1)当 ?1 ? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递减, 1 (2)当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0, 解得 x ? . a ' f ( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表 1 1 1 x ( ?1, ) ( , ??) a a a ' 0 + — f ( x) f ( x) 极小值 ? ?
从上表可知 当 x ? ( ?1, ) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x ) 在 ( ?1, ) 上单调递减. 当 x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调递增.

1 a

1 a

1 a

1 a

综上所述: 当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递减. 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ?1, ) 上单调递减,函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调递增.

1 a

1 a

2007 年 (22)(本小题满分 14 分) 2 设函数 f(x)=x +b ln(x+1),其中 b≠0. (Ⅰ)当 b>
1 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f(x)的极值点;
1 1 1 (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 ln( ( ? 1) ? 2 ? 3 )都成立. n n n

22【答案】(I) 函数 f ( x) ? x ? b ln( x ?1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .
2

f '( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? , x ?1 x ?1

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?
2

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2 1 1 当 b ? 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2
1

高考真题之导数

李传文

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.

? f ' ( x) ? 0,
即当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 2

(II)分以下几种情形讨论:

1 时函数 f ( x ) 无极值点. 2 1 2( x ? )2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? 2 x ?1
(1)由(I)知当 b ?

1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?
?b ? 1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2
1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时,解 f ' ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2

(3)当 b ?

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b . 2

1 时, x1, x2 ? ? ?1, ??? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

2

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李传文

b?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2

(III) 当 b ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1), 则

h ' ( x) ?

3x3 ? ( x ? 1) 2 在 ?0, ??? 上恒正, x ?1

? h( x) 在 ?0, ??? 上单调递增,当 x ? ? 0, ??? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .
即当 x ? ? 0, ??? 时,有 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x2 ? x3 , 对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

2008 年 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1) ,其中 x ? N* , a 为常数. (1 ? x) n

(Ⅰ)当 n ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 n ≥ 2 时,有 f ( x) ≤ x ?1 . 21. (Ⅰ)解:由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? 1 ?, 当 n ? 2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1) , (1 ? x) 2

所以 f ?( x) ?

2 ? a(1 ? x)2 . (1 ? x)3 2 2 ? 1 , x2 ? 1 ? ? 1, a a

(1) 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1 ?

此时 f ?( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x ? (1 ,x1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? ( x1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. (2)当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 无极值.
3

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综上所述, n ? 2 时, 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 1 ? 当 a ≤ 0 时, f ( x ) 无极值. (Ⅱ)证法一:因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

? 2 ? a? 2? 2 ? ?1 ? ln ? . 处取得极小值,极小值为 f ?1 ? ? ? ? a ? 2? a? a ?

1 ? ln( x ? 1) . (1 ? x)n

1 ? ln( x ? 1) , (1 ? x)n

则 g ?( x) ? 1 ?

n 1 x?2 n ? ? ? ? 0 ( x≥2 ) . n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n?1

所以当 x ?? 2, ? ?? 时, g ( x) 单调递增, 又 g (2) ? 0 , 因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥ g (2) ? 0 恒成立, ( x ? 1)n

所以 f ( x) ≤ x ?1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x) ≤ x ?1 ,由于

1 ? 0 ,所以只需证 ln( x ?1) ≤ x ?1, (1 ? x)n

令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) , 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? ≥ 0 ( x≥2 ) , x ?1 x ?1

所以当 x ?? 2, ? ?? 时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2) ? 1 ? 0 , 所以当 x ≥ 2 时,恒有 h( x) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x ? 1 命题成立. 综上所述,结论成立.

4

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李传文

证法二:当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) . (1 ? x)n

当 x ≥ 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 ? ln( x ?1) ≤ x ?1.

1 ≤1 , (1 ? x) n

令 h( x) ? x ? 1 ? (1 ? ln( x ? 1)) ? x ? 2 ? ln( x ? 1) , x ?? 2, ? ?? , 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x ≥ 2 时, h?( x) ≥ 0 ,故 h( x) 在 ? 2, ? ?? 上单调递增, 因此当 x ≥ 2 时, h( x) ≥ h(2) ? 0 ,即 1 ? ln( x ?1) ≤ x ?1成立. 故当 x ≥ 2 时,有 即 f ( x) ≤ x ?1 .

1 ? ln( x ? 1) ≤ x ? 1 . (1 ? x)n

2009 年 21) (本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20Km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

C x A B

? AB 上选择一点 C 建造垃圾理厂,其对城市的影响度与所选地点到城

市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度 之和。记 C 点到城 A 的距离 xKm,建在 C 处的垃圾处理厂对城 B 的影 响度为 Y,统计调查表明;垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 B 的平方成反比,比例系数为 4;城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比 例系数为 K,当垃圾处理厂建在弧 ? AB 的中点时,对城 A 和城 B)总影响度为 0.065 (Ⅰ)将 Y 表示成 X 的函数;
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧 ? AB 上是否存在一点,使建在此处的垃 圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点城 A 的距离;若不存在,说明 理由。 21. 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
5

高考真题之导数

李传文

(2) y?

4 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , , 令 y' ? 0 得 y ' ? ? ? ? x 2 400 ? x 2 x3 (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,所以 x 2 ? 160 ,即 x ? 4 10 ,当 0 ? x ? 4 10 时, 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,
即 y ' ? 0 所以函数为单调减函数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所以 函数 为单调增函 数 . 所以当 x ? 4 10 时 , 即 当 C 点到 城 A 的距离 为 4 10 时 , 函 数

y?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

解法二: (1)同上. (2)设 m ? x2 , n ? 400 ? x2 , 则 m ? n ? 400 , y ?

4 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当 且 仅 当 m n m n 400 400 m n 400 16

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? )?( ? )? ? m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 , ? ] ? (m2 ? m1 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )[

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 ) 即 y1 ? y2

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

4 9 ? 在(0,160)上为减函数. m 400 ? m 4 9 同理,函数 y ? ? 在(160,400)上为增函数, m 400 ? m
函数 y ?
6

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李传文

设 160<m1<m2<400,则

y1 ? y2 ?

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 4 9 ? ?( ? ) ? (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m m 1 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 最小. 2010 年 22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ? 上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
1 1 ? a -ax 2 +x+a-1 【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为(0,+ ? ) ,因为 f ( x ) ? ? a - 2 = ,所 x x x2
'


' 当 a ? 0 时, f ( x) ?

x-1 x-1 ' ,令 f ( x ) ? 2 >0 得 x>1 ,所以 2 x x

此时函数 f(x) 在(1,+ ? ) 上是增函数;在(0,1)上是减函数;

1 1 - ? x 2 +x+ -1 -x 2 +2x-1 ( 2 1 - x-1) ' 2 ? ? ? 0 ,所以 当 a ? 时, f ( x) ? 2 2 2 x2 2 x2 x2
此时函数 f(x) 在(0,+ ? ) 是减函数;

当 a <0 时,令 f ( x) =

'

1 -ax 2 +x+a-1 >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得 x>1或 x< -1 (舍去) ,此 2 a x
7

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李传文

时函数

f(x) 在(1,+ ? ) 上是增函数;在(0,1)上是减函数;
当 0<a <

1 1 -ax 2 +x+a-1 >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得1<x< -1 ,此时函数 时,令 f ' ( x) = 2 2 a x

1 1 ( -1, f(x) 在(1, -1) 上是增函数;在(0,1)和 + ?) 上是减函数; a a
1 1 -ax 2 +x+a-1 ' >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得 -1<x<1 , 当 <a <1 时,令 f ( x) = 2 2 a x
(1, ( -1, 此时函数 f(x) 在 1)上是增函数;在(0, -1 )和 + ?) 上是减函数;
当 a ? 1 时,由于

1 a

1 a

1 -ax 2 +x+a-1 -1 ? 0 ,令 f ' ( x) = >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,可解得 0 ? x ? 1 , a x2

此时函数 f(x) 在(0,1)上是增函数;在(1,+ ? ) 上是减函数。

1 f(x) 在 时, (0, 1) 上是减函数, 在 (1, 2) 上是增函数, 所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 1 有 f(x1 ) ? f(1)=- , 又 已 知 存 在 x2 ??1,2? , 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所 以 ? ? g ( x2 ) , 2 2
(Ⅱ) 当a ?

x2 ??1,2? ,
即存在 x ??1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ?
2

1 , 2

9 9 11 17 2 即 2bx ? x ? , 即 2b ? x ? 2 ? [ , ] , 2 2 4 x 11 11 11 所以 2b ? ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 2 4 4
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究 函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题, 考查了同学们分类讨论的 数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性; (2)利用导数求出 f ( x ) 的最小值、 利用二次函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区间[1,2]上的最大值, 然后解不等式求参数。

2011 年 21.(本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度, 长度单位: 米) , 其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要

8

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李传文

求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱 3

形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建 造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 立方米, 3

所以

80 4r 4? r 3 80? ? ? r 2l ? ,解得 l ? 2 ? , 3r 3 3 3 80 4r 160? 8? r 2 ? ) ? ? , 3r 2 3 3r 3
2

所以圆柱的侧面积为 2? rl = 2? r (

两端两个半球的表面积之和为 4? r , 所以 y ?

160? l ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). r 2
160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 20 8 ? cr ? 16 ? r + = ,所以令 y' ? 0 得: r ? 3 ; 2 2 r r c?2
3

(Ⅱ)因为 y ' ? ?

令 y ? 0 得: 0 ? r ?
'

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2

2012 年 22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828……是自然对数的底数) ,曲线 y= f(x)在点 ex

(1,f(1))处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ) 设 g(x)=(x2+x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f(x)的导函数, 证明: 对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e ?2 。

1 ? k ? ln x ln x ? k 1? k x ? ? 0, 解析: 由 f(x) = 可得 f ( x) ? , 而 f ?(1) ? 0 , 即 解得 k ? 1 ; x x e e e 1 ? 1 ? ln x (Ⅱ) f ?( x) ? x ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 , ex 1 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x ) ? ? 1 ? ln x ? 0 。 x x

9

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于是 f ( x) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,??) 内为减函数。

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 2 x 简证(Ⅲ) g ( x) ? ( x ? x) , ? ex ex
当 x ? 1 时, 1 ? x 2 ? 0, ln x ? 0, x 2 ? x ? 0, e x ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e ?2 .

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x 2 ? x) x ? ? 1 ? e ?2 。 x x e e
只需证 1 ? x2 ? ( x2 ? x)ln x ? e x (1 ? e?2 ) ,然后构造函数即可证明.

2013 年
21、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ?

x ? c ( e ? 2.71828… 是自然对数的底数, c ? R ) e2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数。 21、解: (Ⅰ) f '( x) ? (1 ? 2 x)e?2 x , 由 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 当 x?

1 , 2

1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 2 1 当 x ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 2 1 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) ,单调递减区间是 2 1 ( , ??) , 2
最大值为 f ( ) ?

1 2

1 ?1 e ?c . 2
?2 x

(Ⅱ)令 g ( x) ? ln x ? f ( x) ? ln x ? xe

? c , x ? (0, ??) .

?2 x (1) 当 x ? (1, ??) 时, ln x ? 0 ,则 g ( x) ? ln x ? xe ? c ,

所以 g '( x) ? e

?2 x

e2 x ( ? 2 x ? 1) . x e2 x ? 0, x
10

因为 2 x ? 1 ? 0 ,

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所以 g '( x) ? 0 因此

g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增.

(2)当 x ? (0,1) 时, ln x ? 0 ,则 g ( x) ? ? ln x ? xe?2 x ? c , 所以 g '( x) ? e
?2 x

(?

e2 x ? 2 x ? 1) . x

因为 e2 x ? (1, e2 ), e2 x ? 1 ? x ? 0 , 所以 ?

e2 x ? ?1 . x

又 2 x ?1 ? 1, 所以 ? 因此

e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 g '( x) ? 0 , x
g ( x) 在 (0,1) 上单调递减.

综合(1) (2)可知 当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?e?2 ? c . 当 g (1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, g ( x) 没有零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 0; 当 g (1) ? ?e ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, g ( x) 只有一个零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 1; 当 g (1) ? ?e ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, ① 当 x ? (1, ??) 时,由(Ⅰ)知
?2
?2 ?2

?2

?2

1 g ( x) ? ln x ? xe?2 x ? c ? ln x ? ( e ?1 ? c) ? ln x ? 1 ? c , 2
要使 g ( x) ? 0 ,只需使 ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 ② 当 x ? (0,1) 时,由(Ⅰ)知 ; x ? (e1?c , ? ?)

1 g ( x) ? ? ln x ? xe ?2 x ? c ? ? ln x ? ( e ?1 ? c) ? ? ln x ? 1 ? c , 2
要使 g ( x) ? 0 ,只需使 ? ln x ? 1 ? c ? 0 ,即

x ?( 0 e , ?1?c ; )

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高考真题之导数

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所以 c ? e 时, g ( x) 有两个零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 2. 综上所述, 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 0; 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 1; 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 2.
?2 ?2 ?2

?2

2014 年
(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). 2 x x

(Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 20.解:⑴由题 x ? 0 , f ? ? x ? ?
x x 2e x ? 2 xe x ? 2 1 ? ? x ? 2 ? ? e ? kx ? 。由 ?k ?? 2 ? ? ? x4 x? x3 ? x

k ? 0 可得 e x ? kx ? 0 ,所以当 x ? ? 0,2? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 y ? f ? x ? 单调递减,当

x ?? 2, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 y ? f ? x ? 单调递增。所以, y ? f ? x ? 的单调递减区间
为 ? 0, 2 ? ,单调递增区间为 ? 2, ??? ; ⑵由⑴知, k ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内单调递减,所以 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内不存在极 值点; 当 k ? 0 时, 设 g ? x ? ? e ? kx ? x ? 0? , 因 g? ? x
x

? ?e

x 当 0 ? k ? 1 时, 当 x ? ? 0,2? k ? ,

时,g? ? x ? ? 0 , 函数 y ? g ? x ? 单调递增。 所以 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内不存在两个极值点; 当k ?1 时,得:当 x ? ? 0,ln k ? 时, g? ? x ? ? 0 ,函数 y ? g ? x? 单调递减,当 x ? ? ln k , ??? 时,

g? ? x ? ? 0 , 函 数 y ? g ? ?x 单 调 递 增 。 所 以 函 数 y ? g ? x? 的 最 小 值 为

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? g ? 0? ? 0 ? ? g ? ln k ? ? 0 ,解 g ? ln k ? ? k ?1 ? ln k ? 。函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,当且仅当 ? ? g ? 2? ? 0 ?0 ? ln k ? 2 ?
得e?k ?
2

e2 。综上所述,函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点时, k 的取值范围为 2

? e, e 2 ? 。
2015 年
(21)(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x 2 ? x) ,其中 a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ) f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x 2 ? x) ,定义域为 (?1, ??)

f ?( x) ?

1 a(2 x ? 1)( x ? 1) ? 1 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? a(2 x ? 1) ? ? , x ?1 x ?1 x ?1
2

设 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1 ? a , 当 a ? 0 时, g ( x ) ? 1, f ?( x ) ?

1 ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 为增函数,无极值点. x ?1

2 2 当 a ? 0 时, ? ? a ? 8a(1 ? a) ? 9a ? 8a ,

若0 ? a ? 若a ?

8 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 为增函数,无极值点. 9

8 时 ? ? 0 ,设 g ( x) ? 0 的两个不相等的实数根 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 9 1 1 且 x1 ? x2 ? ? ,而 g (?1) ? 1 ? 0 ,则 ?1 ? x1 ? ? ? x2 , 2 4
所以当 x ? (?1, x1 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 因此此时函数 f ( x) 有两个极值点;
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当 a ? 0 时 ? ? 0 ,但 g (?1) ? 1 ? 0 , x1 ? ?1 ? x2 , 所以当 x ? (?1, x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递増; 当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减. 所以函数只有一个极值点。 综上可知当 0 ? a ?

8 8 时 f ( x ) 的无极值点; 当 a ? 0 时 f ( x ) 有一个极值点; 当a ? 9 9

时, f ( x ) 的有两个极值点. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 0 ? a ?

8 时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,而 f (0) ? 0 , 9

则当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 ,符合题意; 当

8 ? a ? 1 时, g (0) ? 0, x2 ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,而 f (0) ? 0 , 9

则当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 ,符合题意; 当 a ? 1 时, g (0) ? 0, x2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 (0, x2 ) 单调递减,而 f (0) ? 0 , 则当 x ? (0, x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,不符合题意; 当 a ? 0 时,设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ,当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, x ?1 1? x

h( x) 在 (0, ??) 单调递增,因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ,
于是 f ( x) ? x ? a( x ? x) ? ax ? (1 ? a) x ,当 x ? 1 ?
2 2

1 2 时 ax ? (1 ? a) x ? 0 , a

此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 另解: (Ⅰ) f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) ,定义域为 (?1, ??)
2

f ?( x) ?

1 a(2 x ? 1)( x ? 1) ? 1 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? a(2 x ? 1) ? ? , x ?1 x ?1 x ?1
1 ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 为增函数,无极值点. x ?1
2 2

当 a ? 0 时, f ?( x ) ?
2

设 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1 ? a, g (?1) ? 1, ? ? a ? 8a(1 ? a) ? 9a ? 8a , 当 a ? 0 时,根据二次函数的图像和性质可知 g ( x) ? 0 的根的个数就是函数 f ( x ) 极值点的 个数.

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若 ? ? a(9a ? 8) ? 0 ,即 0 ? a ? 无极值点. 若 ? ? a(9a ? 8) ? 0 ,即 a ?

8 时, g ( x ) ? 0 , f ?( x) ? 0 函数在 (?1, ??) 为增函数, 9

8 或a ? 0 , 9

而当 a ? 0 时 g (?1) ? 0 此时方程 g ( x) ? 0 在 (?1, ??) 只有一个实数根,此时函数 f ( x ) 只 有一个极值点; 当a ? 点; 综上可知当 0 ? a ?

8 时方程 g ( x) ? 0 在 (?1, ??) 都有两个不相等的实数根,此时函数 f ( x ) 有两个极值 9
8 时 f ( x ) 的极值点个数为 0;当 a ? 0 时 f ( x ) 的极值点个数为 1;当 9

a?

8 时, f ( x ) 的极值点个数为 2. 9

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x 2 ? x) , ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立. 即 ln( x ? 1) ? a( x ? x) ? 0
2

当 x ? 1 时, ln 2 ? 0 恒成立;

ln( x ? 1) ? a ? 0; x2 ? x ln( x ? 1) 2 ? a ? 0 ;由 ?x ? 0 均有 ln( x ? 1) ? x 成立。 当 0 ? x ? 1 时, x ? x ? 0 , 2 x ?x ln( x ? 1) 1 ? ? (0, ??) ,则只需 a ? 0 ; 故当 x ? 1 时, , 2 x ?x x ?1 ln(x ? 1) 1 ? ? ( ??, ?1),则需 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 . 综上可知对于 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ?x x?1
当 x ? 1 时, x ? x ? 0 ,
2

?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立,只需 0 ? a ? 1 即可,故所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .
2 另解:设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) , f (0) ? 0 ,要使 ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立,

只需函数函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增即可, 于是只需 ?x ? 0 , f ?( x) ? 当x ?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 成立, x ?1

1 1 2 ? (??, 0) , 时a ? ? ,令 2 x ? 1 ? t ? 0 , g (t ) ? ? 2 ( x ? 1)(2 x ? 1) t (t ? 3) 1 1 2 1 1 时 f ?( ) ? ? 0 ;当 0 ? x ? , a ? ? , 2 2 2 3 ( x ? 1)(2 x ? 1)

则 a ? 0 ;当 x ?

g (t ) ? ? 令 2 x ? 1 ? t ? (?1,0) ,

2 2 ? 1, 关于 t ? (?1,0) 单调递增, 则 g (t ) ? g (?1) ? ? t (t ? 3) ?1(?1 ? 3)
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则 a ? 1 ,于是 0 ? a ? 1 . 又当 a ? 1 时, g (0) ? 0, x2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 (0, x2 ) 单调递减,而 f (0) ? 0 , 则当 x ? (0, x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,不符合题意; 当 a ? 0 时,设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ,当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, x ?1 1? x

h( x) 在 (0, ??) 单调递增,因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ,
于是 f ( x) ? x ? a( x2 ? x) ? ax2 ? (1 ? a) x ,当 x ? 1 ? 此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 评析:求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数 a 的讨论来研究 函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范 围以达到解决问题的目的; 三是凭借函数单调性确定参数的取值范围, 然后对参数取值范围 以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可确定所求.

1 时 ax2 ? (1 ? a) x ? 0 , a

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