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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)课件:1.4 生活中的优化问题举例( 2014高考)_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-2

第一章
导数及其应用

第一章

导数及其应用

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第一章
1.4 生活中的优化问题举例

第一章

导数及其应用

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.4

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自主预习学案

第一章

1.4

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能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、 用料最省等最优化问题.

第一章

1.4

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重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题.

难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模型.

第一章

1.4

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优化问题 思维导航 1 .生活中,我们经常遇到面积、体积最大,周长最小,

利润最大,用料最省,费用最低,效率最高等等一系列问题,
这些问题通常通称为优化问题,解决这些问题的基本思路、途 径、过程是什么?

第一章

1.4

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新知导学
1 .在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系式给予表示 , 还应确定函数关系式中 自变量 的取值范围. __________ 2 .实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值就是 最值 __________ . 3.解决优化问题的基本思路:

第一章

1.4

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牛刀小试 1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单 1 3 位:万件)的函数关系式为y=- 3 x +81x-234,则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A.13万件 C.9万件 )

B.11万件 D.7万件

[答案] C

第一章

1.4

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1 3 [解析] ∵y=-3x +81x-234, ∴y′=-x2+81(x>0). 令y′=0得x=9,令y′<0得x>9,令y′>0得0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
[点评] 利用导数求函数最值时,令y′=0得到x的值,此x

的值不一定是极大(小)值时,还要判定x值左、右两边的导数的 符号才能确定.

第一章

1.4

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2.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面 积最小时,底面边长为( A. V C. 4V
[答案] C

) B. 2V D.2 V 3 3

3

3

第一章

1.4

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[解析] 如图,设底面边长为x(x>0),

第一章

1.4

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3 2 V 4V 则底面积S= 4 x ,∴h= S = . 3x2 4V 3 2 4 3V 3 2 S表=x· 2×3+ 4 x ×2= x + 2 x , 3x 4 3V 3 S′表= 3x- x2 ,令S′表=0得x= 4V, 因为S表只有一个极值,故x= 4V为最小值点. 3

第一章

1.4

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3.在周长为l的矩形中,面积的最大值为________.
[答案] l2 16

1 [解析] 设一边长为x,则另一边长为 2 (l-2x),其面积S= 1 2x(l-2x) l (0<x<2),

1 l2 l 由S′=2l-2x=0得x=4,此时S=16.

第一章

1.4

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4.(2014·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸 板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则 盒子容积的最大值为________cm3. [答案] 144

第一章

1.4

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[解析] 设小正方形边长为x,则盒子的容积为v=x(10- 2x)(16-2x), 即v=4(x3-13x2+40x),(0<x<5),v′=4(3x2-26x+40) =4(3x-20)(x-2), 20 令v′=4(3x-20)(x-2)=0得,x=2,x= 3 (不符合题 意,舍去),x=2是唯一极值点也就是最值点, 所以,x=2时,盒子容积的最大值为144cm3.

第一章

1.4

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典例探究学案

第一章

1.4

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面积、容积最大问题
有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容 器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?

第一章

1.4

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[解析] 设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则 做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x, a V(x)=(a-2x) x,0<x<2.
2

a 即V(x)=4x -4ax +a x,0<x<2.
3 2 2

实际问题归结为求V(x)在区间

? a? ?0, ? 2? ?

上的最大值点.为

? a? 此,先求V(x)的极值点.在开区间?0,2?内, ? ?

V′(x)=12x2-8ax+a2.
第一章 1.4

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令V′(x)=0,得12x2-8ax+a2=0. 1 1 解得x1=6a,x2=2a(舍去). ? a? 1 x1=6a在区间?0,2?内,x1可能是极值点.且 ? ? 当0<x<x1时,V′(x)>0; a 当x1<x<2时,V′(x)<0. 因此x1是极大值点,且在区间
? a? ?0, ? 2? ?

内,x1是唯一的极值

1 点,所以x=6a是V(x)的最大值点. 1 即当截下的小正方形边长为6a时,容积最大.
第一章 1.4

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[ 方法规律总结 ] 般步骤:

1. 利用导数解决实际问题中的最值的一

(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);

(2)求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小) 者为最大(小)值;

第一章

1.4

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(4)把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情
况并下结论. 其基本流程是

第一章

1.4

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2.面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几 何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示 为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.

第一章

1.4

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已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的容积V最大时,圆柱 的高h的值为________.

[答案]

6πS 3π

第一章

1.4

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[分析]

将容积V表示为高h或底半径r的函数,运用导数求

最值.由于表面积S=2πr2+2πrh,此式较易解出h,故将V的表 达式中h消去可得V是r的函数.
[解析] 设圆柱的底面半径为r,高为h,则S圆柱底=2πr2, S圆柱侧=2πrh,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh. S-2πr2 ∴h= 2πr ,

第一章

1.4

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3 rS - 2π r r 又圆柱的体积V=πr2h= 2 (S-2πr2)= ,V′= 2

S-6πr2 2 , 令V′=0得S=6πr2,∴h=2r, 又r= S 6π,∴h=2 6πS S 6π= 3π .

6πS 即当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h为 3π .

第一章

1.4

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利润最大问题
某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x 1 2 (吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24200- 5 x , 且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问该产品每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收 入-成本). [分析] 根据题意,月收入=月产量×单价=px ,月利润

=月收入-成本=px-(50000+200x)(x≥0),列出函数关系式建 立数学模型后再利用导数求最大值.
第一章 1.4

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[解析] 每月生产x吨时的利润为 1 2 f(x)=(24200-5x )x-(50000+200x) 1 3 =-5x +24000x-50000 (x≥0). 3 2 由f ′(x)=-5x +24000=0, 解得x1=200,x2=-200(舍去).

第一章

1.4

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因f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200使f ′(x)=0,故它 1 就是最大值点,且最大值为:f(200)=- 5 ×2003+24000×200 -50000=3150000(元) 答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元.
[方法规律总结 ] 解. 利润最大、效率最高等实际问题,关键

是弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求

第一章

1.4

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工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为 ? 1 ?6-x,0<x≤c, p= ? ?2,x>c, ?3

(c为常数,且0<c<6).已知每生产1件

合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品 次品数 率= ×100%) 产品总数
第一章 1.4

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[分析]

(1)∵p为x的分段函数,故y为x的分段函数,由生

产一件合格品盈利3元,生产一件次品亏损1.5元及次品率p,可 得日盈利额y关于日产量x的函数,其关系为日盈利额=合格产

品盈利额-次品亏损额.
(2)利用导数求最值时,应注意c的范围.

第一章

1.4

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2 [解析] (1)当x>c时,p=3, 2 2 3 y=(1-3)· x· 3-3· x· 2=0; 1 当0<x≤c时,p= , 6-x
2 1 1 3 3?9x-2x ? ∴y=(1- )· x· 3- · x· = . 2 6-x 6-x 2?6-x?

∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为 ?3?9x-2x2? ? ,0<x≤c, y=? 2?6-x? ? ?0,x>c, (c为常数,且0<c<6).

第一章

1.4

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(2)由(1)知,当x>c时,日盈利额为0. 3?9x-2x2? 当0<x≤c时,∵y= , 2?6-x? 3 ?9-4x??6-x?+9x-2x ∴y′=2· ?6-x?2 3?x-3??x-9? = , 2 ?6-x?
2

第一章

1.4

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令 y′=0,得 x=3 或 x=9(舍去), ∴①当 0<c<3 时,y′>0,∴y 在区间(0,c]上单调递增, 3?9c-2c2? ∴y 最大值=f(c)= . 2?6-c? ②当 3≤c<6 时,在(0,3)上,y′>0,在(3,c)上,y′<0, ∴y 在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减. 9 ∴y 最大值=f(3)=2. 综上,若 0<c<3,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大; 若 3≤c<6,则当日产量为 3 万件时,日盈利额最大.
第一章 1.4

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费用(用料)最省问题
有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸 边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B

处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建 一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千 米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最 省? [分析]

设出CD的长为x,进而求出AC、BC,然后将总费

用表示为变量x的函数,转化为求函数的最值问题.
第一章 1.4

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[解析] 点x km.

如图所示,依题意,点C在直线AD上,设C点距D

因为BD=40,AD=50,所以AC=50-x. 所以BC= BD2+CD2= x2+402.

第一章

1.4

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又设总的水管费用为y元,则 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50). 5ax 所以y′=-3a+ 2 2 . x +40 令y′=0,解得x1=30,x2=-30(舍去). 当x<30时,y′<0;当x>30时,y′>0. 所以当x=30时,取得最小值,此时AC=50-x= 20(km), 即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最 省.
第一章 1.4

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某工厂要围建一个面积为 128m2 的矩形堆料场,一边可以 用原有的墙壁,其它三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料

最省,堆料场的长、宽应分别为________.
[答案] 16m 8m

第一章

1.4

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128 [解析] 设场地宽为xm,则长为 x m, 128 因此新墙总长度为y=2x+ x (x>0), 128 y′=2- x2 ,令y′=0,∵x>0,∴x=8. 因为当0<x<8时,y′<0;当x>8时,y′>0, 所以当x=8时,y取最小值,此时宽为8m,长为16m. 即当堆料场的长为16m,宽为8m时,可使砌墙所用材料最 省.

第一章

1.4

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含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关系 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到 乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以 元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千 米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并 指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
第一章 1.4

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[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间
?a ? s s 2 s ? +bv? ,所求函数及其 为 v ,全程运输成本为y=a· v +bv · v =s ?v ? ?a ? 定义域为y=s?v+bv?,v∈(0,c]. ? ?

(2)由题意知s、a、b、v均为正数, 由y′=s
? a? ? ? b - 2 ? v? ? ?

=0得v=±

a b ,又0<v≤c,所以当v=

ab b 时,全程运输成本y最小.

第一章

1.4

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[辨析] 第(2)问中 论,故错误.

ab b 与c未进行比较大小而直接得出结

ab ab [正解] ①若 b ≤c,则v= b 是使y的导数为0的点,且
? 当v∈ ? ?0, ? ? a? ? ? 时, y ′≤ 0 ; v ∈ ? b? ? ?

a ? ? 时,y′≥0.所以当v , c b ? ?

ab = b 时,全程运输成本y最小.

第一章

1.4

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ab ②若 b >c,v∈(0,c],此时y′<0,即y在(0,c]上为减 函数. 所以当v=c时,y最小. 综上可知,为使全程运输成本y最小. ab ab ab 当 b ≤c时,行驶速度v= b ;当 b >c时,行驶速度v =c.

第一章

1.4

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巩固提高学案
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第一章

1.4

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备选练习
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第一章

1.4