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第5章 三角函数(文)教案-2

第五章 三角函数(文科)教案

5.2
典型范例
考点 1:诱导公式

同角三角函数基本关系式与诱导公式

【例 1】 (1)若 sin ?3? ? ? ? ? lg

1
3

,求:

10
cos?? ? 2? ? ? ? 3? ? ?? ? ? cos?? ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ?
的值.

cos?? ? ? ? ? cos? ?cos?? ? ? ? ? 1?

3? ? sin ?? ? 2 ?

(2)化简: sin 2 420 ? ? ? 2 tan 450 ? ? ? tan 450 ? ? ? sin 2 480 ? ? ? cot 2 2700 ? ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

解法一:由 sin ?3? ? ? ? ? lg

1
3

10

有 ? sin ? ? lg 10

1 ? 3

1 1 ?? , ? sin ? ? 3 3

新疆 源头 学子 屋 小
wxckt @12 6

特教 级 师 王新 敞 新疆 源头 学子 屋 小
wxckt @12 6

级教 特 师 王新 敞

cos?? ? ? ? ? cos? ?cos?? ? ? ? ? 1?

cos?? ? 2? ? 3? ? ? ? 3? ? ?? ? sin ?? ? ? cos?? ? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? 2

? ?

? cos ? cos ? ? cos ? ? ? cos ? ? 1? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? 1 2 2 ? ? ? 2 ? 9 ? 18 2 cos ? ? 1 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ? ? 1

解法二:原式=

? cos ? ? cos? ? ? cos ? ? 1?
1 cos? 1 cos? 1 cos?

cos ? 2? ? ? ?

? ? 3? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

?

?

?

cos? ? ?1 ? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? ??? cos? ? ? sin ? ? ? ? 2 ? ? ?2 ? cos? ? ?1 ?? ? ? sin ? ? ? ? cos? ? cos? ?2 ? 1 2 2 ? ? ? ? 18 2 ? 1 1 ? cos? sin ? ?1 3?2 ?

96

第五章 三角函数(文科)教案

(2) 分析: 如果用和差角的三角函数进行化简, 显然很繁杂, 若是观察到 420+? +480 - ? =900,450+? +450- ? =900,则可以直接应用诱导公式求解. 解:原式= sin2 420 ?? ? cos2 420 ?? ? 2tan 450 ?? cot 450 ?? ? tan2 ? =1-2- tan 2 ? =-1- tan 2 ?
疆 新 源子 头 学小屋 特级 教 新师 王 敞 疆 新 头子 源 学小屋 特级 教 新师 王 敞

?

?

?

?

?

? ?

?

t@1 wxck

.com 26

点评:在解答化简问题时,要注意次数尽量可能低;项数尽可能少,函数种类尽量 减少;尽量不含分式和根式,能求出值的尽量求出值.除之之外,善于发现差异, 寻找联系, 能进行合理的转化, 也是非常重要的. 如本题充分利用了角之间的联系, 即互余关系,然后借助诱导公式和平方关系轻松求解. 〖变式〗 (2008 山东)已知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

4 7? 3 ,则 sin(? ? ) 的值是 5 6
C. ?

A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5

cos(? ? 提示:

?
6

) ? sin ? ?

3 3 4 1 3 4 cos ? ? sin ? ? 3 , cos ? ? sin ? ? , 2 2 5 2 2 5

sin(? ?

? 3 ? 7? ? 1 4 ) ? ? sin(? ? ) ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? . ? ? 6 6 2 5 ? 2 ?

考点 2:同角三角函数基本关系式 【例 2】已知 tan ? ? 2 ,求(1)

sin ? ? cos ? ; sin ? ? cos ?

(2)

1 ; sin ? ? cos ?

(3) sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? . 分析:这是齐次式,如果是齐一次式,分子分母同时除以 cos ? ,如果是齐二次式, 分子分母同时除以 cos 2 ? ,当然,首先要将表达式化为分式的形式. 解: (1)分子分母同时除以 cos ? 得:原式 ?

tan ? ? 1 2 ? 1 1 ? ? , tan ? ? 1 2 ? 1 3

97

第五章 三角函数(文科)教案

sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? (2) , (*)式分子分母同时除以 cos 2 ? 得: sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
(*) ?

tan 2 ? ? 1 2 2 ? 1 5 ? ? , tan ? 2 2 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos2 ? , sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? tan ? ? 1 2 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ? . tan 2 ? ? 1 2 ?1 5

(3) sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ?

(**) 式分子分母同时除以 cos 2 ? 得: (**) 〖变式〗 (2008 辽宁)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 1. 提示:答案 3 (方法一) :构造“斜率”函数 y ?

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x



2sin 2 x ? 1 2 ? cos 2 x ? ? k , 取 A(0, 2), sin 2 x sin 2 x

B(? sin 2 x, cos 2 x ) ? x 2 ? y 2 ? 1 的左半圆,作图(略)易知

kmin ? tan 60? ? 3.
(方法二) :y?

2sin 2 x ? 1 3sin 2 x ? cos2 x 3 1 1 ? ? ? tan x ? ? sin 2 x 2sin x cos x 2 2 tan x

3 1 1 3 1 1 ? 2 ( ? tan x )( ? ) ? 3 ,当且仅当 ? tan x ? ? 2 2 tan x 2 2 tan x
即 3 tan 2 ? ? 1 时,等号成立. 2. (2009 全国Ⅰ理) 若

?
4

? x?

?
2

, 则函数 y ? tan 2 x tan 3 x 的最大值为



提示:令 tan x ? t , ?

?
4

?x?

?
2

?t ? 1 ,

98

第五章 三角函数(文科)教案

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? y ? tan 2 x tan x ? ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( ? ) ? ? t4 t2 t2 2 4 4
3

【例 3】已知 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? (1) sin 3 ? ? cos 3 ? (2) tan?

1 ,求: 5

解: ?? 为三角形的一个内角? sin ? ? 0 , cos ? ? ? sin ? 5

1

1 1 2 cos 2 ? ? sin 2 ? ? ( ? sin ? ) 2 ? sin 2 ? ? ? sin ? ? 2sin 2 ? ? 1 5 25 5 1 12 2 ?sin ? ? sin ? ? ? 0 25 25 4 3 1 4 3 ?sin ? ? ,sin ? ? ? (负值,舍去) ?cos ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5

(sin (sin ? ? cos ?) (1) sin 3 ? ? cos 3 ? = sin ? 4 ?? cos ? 3

2

? ? sin ? ? cos ? ? cos 2 ? ) ?

91 125

(2) tan ? ? 〖变式〗

1.(2007 陕西)已知 sin ? ?

5 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 5
C.



A. ?

1 5

B. ?

3 5

1 5

D.

3 5

提示:答案 B, sin 4 ? ? cos 4 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?

?

?? sin

2

? ? cos 2 ? ?

? 2sin 2 ? ? 1 ? ?

3 5
1 ? 3? , 且 ?? ? , 则 cos 2? 的值是 5 2 4


2. (2007 浙江) 已知 sin ? ? cos ? ?

提示: sin ? ? cos ? ?

1 24 ? 3? 3? ? sin 2? ? ? , ? ? ? ? ? ? 2? ? ,故 5 25 2 4 2

99

第五章 三角函数(文科)教案

cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ?

7 . 25
1 . 5

3.(2005 福建)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

(1)求 sin x ? cos x 的值; (2)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x
1 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? 49 . 25

解法一: (1)由 sin x ? cos x ?



2 sin x cos x ? ?

24 . 25

又? ?

?
2

? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 7 5

故 sin x ? cos x ? ? .

(2)

sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x ? sin x 1 ? tan x 1? cos x

3 4 3 2 ? (? ) ? ? 2(? )2 5 5 5 ? ? 24 . ? 3 175 ? 1? 5 4 5

100


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