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2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)_图文

2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程

悲伤的双曲线
如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,漫漫长路无交点

为何看不见,等式成立要条件
难道正如书上说的,无限接近不能达到

为何看不见,明月也有阴晴圆缺
此事古难全,但愿千里共婵娟

麦克唐奈天文馆

生活中的双曲线

法拉利主题公园

巴西利亚大教堂

1.记住双曲线的定义,会推导双曲线的标准 方程.(重点)

2.会用待定系数法确定双曲线的方程.(难点)

探究点1 双曲线的定义
问题1:椭圆的定义? 平面内与两个定点F1,F2的距

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O
F2 ? c, 0 ?

X

离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
问题2:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距

离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线?
即“平面内与两个定点F1,F2的距离的差等于非零常

数的点的轨迹 ”是什么?

看图分析动点M满足的条件: ①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=2a, 即|MF1|-|MF2|=-2a. 由①②可得: ||MF1|-|MF2||=2a(非零常数).


上面两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支.



双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1,F2——双曲线的焦点; ②|F1F2|=2c——双曲线的焦距. F1 M o F2

||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) (1)2a<2c;
注意 (2)2a>0.

【举一反三】 1.定义中为什么要强调差的绝对值? 若不加绝对值,则曲线为双曲线的一支. 2.定义中的常数2a可否为0,2a=2c,2a>2c? 不能.若为0,曲线就是F1F2的垂直平分线了; 若为2a=2c,曲线应为两条射线; 若为2a>2c,这样的曲线不存在.

探究点2 双曲线的标准方程 1. 建系. 如图建立直角坐标系xOy,使

y
M

x轴经过两焦点F1,F2,y轴为线
段F1F2的垂直平分线. 2. 设点.

F1

O

F2

x

设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距
为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0),又设点M与F1,F2

的距离的差的绝对值等于常数2a.

3.列式 由定义可知,双曲线就是集合: P= {M

|||MF1

| - | MF2|| = 2a },



( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? ? 2a .
2

4.化简 代数式化简得:(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y ? a 2(c 2 ? a 2 ),

两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 ? a 2 ), 得
x2 y2 ? 2 ? 1. 2 2 a c ?a

由双曲线的定义知,2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式,得:

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b
上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲

线的标准方程.它表示焦点在x轴上,焦点分别是
F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线,这里c2=a2+b2.

想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是

什么?我们应该如何求解?
y x ? 2 ?( 1 a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b
2 2

【提升总结】
椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|

|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|

方程

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b
F(±c,0) F(0,±c)

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b
F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

焦点

a,b,c的 a>b>0,a2=b2+c2 关系

例 1 已知双曲线两个焦点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,双曲线

F2距离差的绝对值等于 6, 求双曲线 上一点 P 到 F , 1 的标准方程.
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准

方程为

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b

因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以 b 2 ? 5 2 ? 3 2 ? 1 6 .
2 2 x y 因此,双曲线的标准方程为 ? ? 1. 9 16

例2

已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比

在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方 程. 分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A,B 两处听到爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的 距离的差为定值. 这样,爆炸点在以A,B为焦点的 双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点 应在靠近B处的双曲线的一支上.

解:

如图所示,建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x

轴上,并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680,

y
A

P B

即 2a=680,a=340. 又 AB ? 800,
所以 2c=800,c=400,
b2 ? c 2 ? a 2 ? 44 400,

o

x

因 为 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 ? 0,所 以 x ? 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
x2 y2 ? ? 1( x ? 0). 115 600 44 400

【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.

2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间
差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定爆炸 点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最关心 的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸点的 准确位置呢? 解:再增设一个观测点C,利用B,C(或A,C)两处测 得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程, 解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确 位置.这是双曲线的一个重要应用.

1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足

|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹
为( C ) A.双曲线和一直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线

2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的

双曲线,则k? (-1, 1) .

解:因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程 为 mx +ny =1(mn<0),因 P1,P2 在双曲线上,所以有
45 1 ? ? ?4m+ 4 n=1, ?m=-16 , ? 解得? 1 ?16× ? 7m+16n=1 , n= 9 , 9 ? ?
2 2

所以所求双曲线方程为-

+ =1,即 - =1. 16 9 9 16

x2

y2

y2

x2

1.双曲线定义及标准方程; 2.双曲线焦点位置的确定方法; 3.求双曲线标准方程的关键(定位,定量);

4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.

如果我们投一辈子石块,即使闭着眼
睛,也肯定有一次击中成功.


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