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北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的性质_图文

北师大版高中数学必修5 第一章《数列》

1

复习数列的有关概念1

按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项(或首项)用 a1 表示, …, 第2项用 a2 表示, 第n项用 an 表示,…, 数列的一般形式可以写成: a1 , a2 , a3 , …, an , …, 简记作:

?an ?

2

复习数列的有关概念2 如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关
系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做 这个数列的通项公式。

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

3

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
当d≠0时,这是 an 关于n的一个一 an ? a1 ? (n ?1)d 次函数。 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, a?b 那么A叫做a与b的等差中项。 A? 等差数列 an 的前n项和 2 等差数列 的通项公式为

复习等差数列的有关概念

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)

? ?

? ?

Sn ? Sn

n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2

Sn

n(n ? 1) ? na n ? d 2

当公差d=0时,Sn ? na1 , d 2 d , 当d≠0时, S n ? ? n ? (a1 ? )n 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.
4

复习等比数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

an ?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an
既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 由此可知,等比数列

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)

?an ? 的通项公式为

an ? am ? qn?m (am ? q ? 0)

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

5

等比数列的性质
如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …,
m?1

是等比数列,它的公比是q,若m+n=p+k,则那么 aman ? a p ak

am 由定义得:

? a1 ? q

an ? a1 ? q n?1
p?1

a p ? a1 ? q

ak ? a1 ? q

k ?1

?
?

am ? an ? a1 q

2

m?n?2

a p ? ak ? a1 q

2

p ? k ?2

am an ? a p ak

6

判断等比数列的方法
定义法:

an?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an
中项法:

an?1 ? an?1 ? an (? 0)
三个数a,b,c成等比数列
2 ? ac ? b ?
7

2

等比数列的性质例题1
例1 已知:b是a与c的等比中项,且a、b、c同号, 求证: a ? b ? c , ab ? bc ? ca , 3 abc 也成等比数列。 3 3 2 解:证明:由题设 得:

ac ? b

a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? ca 2 ? abc ? ? b ? ?( ) 3 3 3 3


a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 3 3

也成等比数列

8

等比数列的性质例题2
例2 已知
求证

?an ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列, ?an ? bn ? 是等比数列.
a1 ,公比为 q1 的首项为 b1 ,公比为 q2 ,那么数列 ?an ? bn ?

证明:设数列

?bn ?

?an ? 的首项是

的第n项与第n+1项分别为:
n?1

a1 ? q1

n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2
n

n?1

n

n

即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
所以?an ? bn ? 是一个以

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 . 它是一个与n无关的常数, n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )

q1q2 为公比的等比数列
9

等比数列的性质例题3
例3 已知 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25
求 a3 ? a5 解:∵ ∴ ∴ ∴

?an ?
2

是等比数列,an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25
2

a3 ? 2a3a5 ? a5 ? 25

(a3 ? a5 )2 ? 25

a3 ? a5 ? 5

10

等比数列的性质例题4
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列, a 2 ,1, c 2 成等比数列, a?c 求 a2 ? c2
解:∵a, 1, c成等差数列, ∴ a+c=2, 又 a ,1, c 成等比数列,∴ 有ac=1或ac=-1, 当ac=1时, 由a+c=2得a=1, c=1,与a≠c矛盾, ∴ ac=-1,
2 2

a c ?1
2 2

a 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 6

a?c 1 ? 2 ? 2 3 a ?c
11

等比数列的性质练习
1.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,求 解:∵ a1a18 ? a9 a10
a9 a10 100 ? a18 ? ? ? 20 a1 5

a18

b4 ? 3 ,求该数列前七项之积。 2.在等比数列 ?bn ? 中,
解: b1b2b3b4b5b6b7 ? ?b1b7 ??b2b6 ??b3b5 ?b4

?b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5
∴前七项之积

2

?3 ? ? 3 ? 3
2 3

7

? 2187

12

等比数列的性质练习
3.在等比数列 ?an ? ,已知a2 ? ?2, 解:
3

a5 ? 54

q ? 5? 2 ,求 a8

a5 a2

a5 54 a8 ? a 5 q ? a 5 ? ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2

另解:∵

a5 是 a2 与 a8 的等比中项,

∴ 542 ? a8 ? (?2) ∴

a8 ? ?1458
13

等比数列的性质作业练习册3、5、 6、7

祝同学们学习愉快, 人人成绩优异!
教学反思:
14


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