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等差数列、等比数列知识点和练习1

一、等差和等比数列比较: 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
A?
a n ?1 ? a n ? d a n ? a n ?1 ? d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q

; a n ? a m?n ? md

; a n ? a m q n ?m

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

前 n 项和 重要 性质

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N , m ? n ? p ? q )
*

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

二、等差数列的定义与性质 (1) 数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, 公差为 n 2 d ; Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列, (2)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数,可能有 最大值或最小值) (3)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )

(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . an?1
, 有

(4) 数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)a n , (an为中间项)
三、等比数列的定义与性质

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意 q 是否等于 1) ( q ? 1) ? ? 1? q

(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

第 1 页

例题分析(求 Sn 最大值) 例 1:已知数列{an}是等差数列,a1=7,d= -2,求当 n 为多少的时候,Sn 最大?

针对练习 1.首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是( (A) d ? 8
3


3

(B) d ? 3

(C) 8 ≤ d ? 3
3

(D) 8 ? d ≤3

2、在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7 且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n =____________. 3、数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值.

4、在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大.

例题分析(求通项公式)
第 2 页

2 例 2: 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 求数列{an} ? 5an ? 6 且 a1,a3,a15 成等比数列,

的通项 an .
2 解: ∵ 10Sn ? an ? 5an ? 6 , ①

∴ 10a1 ? a12 ? 5a1 ? 6 ,解之得 a1 =2 或 a1 =3.

2 又 10Sn?1 ? an ?1 ? 5an?1 ? 6 (n≥2),②
2 2 由①-②得 10an ? (an ? an ?1 ) ? 5(an ? an?1 ) ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 5) ? 0

∵ an ? an?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 针对练习 1、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8= ( (A)3 (B)4 ) (C)6 ) 1 9 (D)12

S3 1 S6 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12
(A) 3 10 (B) 1 3 (C) 1 8

(D)

3 、 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 d 不 为 零 的 等 差 数 列 , 数 列 abn 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ,

? ?

b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求公比 q 及 bn 。

4、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四 个数。

第 3 页

5、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,求 an

6、若两个等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足 是多少?

An 4n ? 2 a ? a13 ,则 5 的值 ? b5 ? b13 Bn 5n ? 5

7、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b 1,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 成等比数 列,求 Tn

四、课堂小结。 1、掌握数列的有关性质;
第 4 页

2、掌握等比数列 Sn 的最大值和最小值; 3、会计算数列的通项公式。 五、作业布置。 复习等差数列和等比数列的公式及性质。

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