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高二数学选修2-1第二章圆锥曲线


第二章

圆锥曲线与方程

1、 平面内与两个定点 F1 ,F2 的距离之和等于常数 (大于 F ) 的点的轨迹称为椭圆. 这 1F 2 两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位 焦点在 y 轴上 焦点在 x 轴上 置

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? ?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a
a2 x?? c a2 y?? c

3、设 ? 是椭圆上任一点, 点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 , 点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d2 , 则

?F1 ?F2 ? ? e. d1 d2

第 1 页

4、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F )的点的轨迹称 1F 2 为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 5、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
x??

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

a2 a2 y?? c c b a y?? x y?? x 渐近线方程 a b 6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 7、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为

d2 ,则

?F1 ?F2 ? ? e. d1 d2

第 2 页

8、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为 抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 9、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 10、焦半径公式:
p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? ?2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? x0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? ?2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? y0 ? . 2 11、抛物线的几何性质: y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py 标准方程 ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0?

若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

第 3 页

圆锥曲线测试题 一、选择题: 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x 2 ? y 2 ?| 12 x ? 5 y ? 12 | ,则动点 M 的轨迹是( A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 )

x2 y2 ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别 2.设 P 是双曲线 2 ? 9 a

是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 |? 5 ,则 | PF2 |? ( A. 1 或 5 B. 1 或 9 C. 1

) D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.
2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( B.2 C. 3 D.4

)条

A.

1

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 6.如果椭圆 ( A. )
王新敞
奎屯 新疆

)

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9 A x ? 2 y ? 0 B x ? 2 y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2 y ? 8 ? 0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

7、无论 ? 为何值,方程 x 2 ? 2 sin ? ? y 2 ? 1所表示的曲线必不是( 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对



8.方 程 mx ? ny2 ? 0 与 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一 坐标系中的示意图应 是 ( )

A

B

C

D

第 4 页

二、填空题:
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 9.对于椭圆 16 9 7 9

① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; 其中正确命题的序号是

②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. .

10.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 相切,则 a 的值为 11、抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 12 、抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 , 则点 Q 的坐 标 13、椭圆
2 2
2


x y ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 12 3

那么|PF1|是|PF2|的
x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 14.若曲线 a?4 a?5

.;

三、解答题: 15.已知双曲线与椭圆
14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.12 分 5 9 25

2 2 16.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60?

25

9

(1)求△ F1 PF2 的面积;

(2)求 P 点的坐标. (14 分)

第 5 页

17、知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

18、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 36 20

上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的 距离 d 的最小值。

高二理科数学圆锥曲线测试题答案 一、选择题 ADDCD 一、 9.①② DBA
4 3 1 12. ( ,1 ) 4
第 6 页

填空题: 10、-1 11、 13. 7 倍 14.(0,±3)

三、解答题: 15.(12 分) 解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 从而 c=4,a=2,b=2 3 .
4 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2, 5 y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12

16.[解析]:∵a=5,b=3? c=4
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82

(1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10



②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2) 设 P ( x, y ) , 由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

, 将y ??3

3 4



入椭圆方程解得 x ? ? 5

17、解:设双曲线方程为 x2-4y2= ? . ? x 2 -4y2 =? 联立方程组得: ? ,消去 y 得,3x2-24x+(36+ ? )=0 ?x ? y ? 3 ? 0

13 , 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 ? P( , ) P(? , ) P( ,? ) P( ? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? x1 x2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2 那么:|AB|=
(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ?
2

3

)?

3

?

3

x ? y2 ? 1 4 18 [解析]:设 M( x , y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) ,易求 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0) 1 ? x2 ? x? ? ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 , 又 Q 是 OP 的 中 点 ∴ ∵ M 是 FQ 的 中 点 , ∴ ? ? ? 2 ? y ?y ? ? y2 ? 2 y ? 2 ?

解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:

x ? x2 ? 1 ? ? 2 ? ? y ?y ? 1 2 ? 2 ?

?x1 ? 2 x2 ? 4 x ? 2 , ? ? y1 ? 2 y2 ? 4 y

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

19 解析:设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率

第 7 页

k=

=- =- =- 由点斜式可得 l 的方程为 x+2y-8=0.

=- . 答案:x+2y-8=0

解:以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

? | AB |? 50 7 ,
∴M 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右支上. 252 252 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处, 按这种方法运土石最省工。 20(14 分)解:(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) ??? ? ??? ? 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x 2 +9 x -18=0, x =
3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

3 5 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有
m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解

第 8 页

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x ? 4 x 2 ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2 说明:在解析几何中求最值:一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值;再是 利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。

第 9 页


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