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幂函数——知识点、考点总结


幂函数——知识点、考点总结 —、知识点

1.定义:形如y ? x?的函数叫幂函数(?为常数). q 2.图象:? = ? ?0 ? ?1 0 ?? ?1 p
O O O P为奇数 Q为偶数 o x o x o x O P,q都是奇 数 · o · x · · o x o x

O
P为偶数

O

Q为奇数

o

x

o

x

o

x

3.性质:
+? ? 都有定义,且都过 ?11 ,点 ?1? .所有幂函数在区间? 0, ? . 0 ? 点,且在?0, +? ? 上为增函数,当 ? 2 ? .当? ? 0时,都过 ? 0, ? ? 0时,在区间? 0, +? ? 上为减函数. ? 3? .? ? 0时,当x从右边趋向于y轴时,图象在y轴右方无限 地逼近y轴,当x无限增大时,图象在x轴上方,且无限逼近x轴。
例1.已知函数y = ? a 2 ? 3a ? 2 ? x a
2

?5 a ? 5

? a为常数 ? .

?1? .当a为何值时,为幂函数; ? 2 ? .当a为何值时,为正比例函数; ? 3? .当a为何值时,为反比例函数.

4.幂函数图象的作法: 描点法——列表、描点、连线. 5.五种常见的幂函数: 定义域 Y=x Y=x2 Y=x3 Y=x1/2 Y=x-1 R R R 值域 R 〔0,+∞) R 〔0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 〔0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) (-∞,0〕 〔0,+∞) (1,1) 单调性 过定点

6.高考中的题型: 题型一——幂函数值的大小比较
2 3 2 3

? 2? ? ?? 例1.比较 ? - ? 和 ? - ? 的大小 ? 3? ? 6? 练习:
例2.比较下列各组数的大小

-

-

?1? .32 和3.12 ;
? ? 2 ? . ? 8 8 和- ?
? 7

5

5

1 ?8 ? ; ?9?
2

7

? ? ? 3? . ?

2 ?3 ? ? ? 3 ? 和? - ? . ? 3? ? 6?

2

已知幂函数f ? x ? ? x 2 求f ? x ?的解析式.

3

1 ?k ? k 2 2

+? ? 上是增函数, ? k ? Z ? 为偶函数,且在区间? 0,

已知幂函数f ? x ? ? x m

2

? 2 m ?3

? m ? Z ?的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴

对称,试确定f ? x ?的解析式.

?1? 1.比较下列各组数的大小: 1 .3 和 3.1 ; 2 . ? 8 和 ? ?? ? ? ? ? ; ?9? 2.比较下列各组中三个值的大小,并说明理由: 1.4 ?1? .1.1 ,
1 2 1 2

5 2

5 ? 2

7 ? 8

7 8

, 1.1 ;
1 4 1 4

1 3

? 2 ? .0.16

-

1 2

, 0.25 , 6.25 .

题型二——求幂函数的解析式
例2.已知函数f ? x ? ? ? m 2 ? 2m ? .x m
2

? m ?1

, m为何值时,f ? x ? 为:

?1? 正比例函数; ? 2 ? 反比例函数; ? 3? 二次函数; ? 4 ? 幂函数.
练习:已知函数 1. y?x 求f ? x ?的解析式.
3 1 ?k ? k 2 2 2

+? ? 上是增函数 ? k ? Z ? 为偶函数,且在区间? 0,

2.若幂函数y ? ? m 2 ? 3m ? 17 ? x 4 m ? m 的图象不过原点,求实数m的取值范围.
2

3.幂函数y ? ? m 2 ? m ? 1? x m

2

? 2 m ?3

, 当x ? ? 0, ?? ? 时为减函数,则实数m的值为 1? 5 . 2

? ? . ? A? m ? 2; ? B ? m ? ?1; ? C ? m ? ?1或2; ? D ? m ?

题型三——幂函数的图象与性质的应用

例3. ?1?已知 ? 0.7

1.3 m

? ? ?1.3 ?

0.7 m

, 求m的范围.

0.80.7 与0.70.8 ? 2 ?比较大小: 练习:若 1. ? a ? 1?
? 1 3

? ? 3 ? 2a ? , 则a的取值范围是
?

1 3

1 1 1 ? ? 2.设? ? ?-2,, -1 - ,, , 1, 2, 3?,则使y ? x? 为奇函数且在 ? 0, +? ? 上单调递减 2 3 2 ? ? 的? 值的个数为

题型四——综合应用

例4.讨论函数y ? x 的定义域、奇偶性,作出图象,并由图象指出函数的 单调性. 例5.用定义证明:y ? x 是 ? 0, +? ? 上的增函数. 例6.已知幂函数y=x p
2

2 3

1 2

? 2 p ?3

+? ? 上函数 ? p ? N ?的图象关于y轴对称,且在 ? 0,
? ? p 3

值随着x的增大而减小,求满足 ? a ? 1?

? ? 4 ? 2a ? 的?的取值范围.
?

p 3

练习:

1.幂函数y ? x 则m的值为?

m2 ? 2 m ?3

? m ? Z ?的图象如图所示,
1

?
-1

? A? ? 1 ? m ? 3; ? B ? 0; ? C ?1; ? D ? 2.

1

1 2.已知函数f ? x ? ? x ? .求证: ?1? f ? x ? 在定义域上为增函数; x ? 2 ? 满足等式f ? x ? ? 1的实数x的值至多只有1个. 3.利用幂函数图象,画出下列函数的图象 ?写清步骤 ?
5 x2 ? 2 x ? 2 ,, .? 2? y ? ? x ? 2?3 ?1 ?1? y ? 2 x ? 2x ?1

4.

设x ? ? 0,1? 时,函数y ? x p的图象在直线y ? x的上方,求p的取值范围. ? 2? ? ? ? 2 ? ?的大小. ? ?

x2 ? 4x ? 5 5. 求函数f ? x ? ? 2 的单调区间,并比较f ? ?? ? 与f x ? 4x ? 4
2 4 6. 已知y ? 15 ? 2 x ? x . ?1? 求定义域、值域;

? 2 ? 判断奇偶性; ? 3? 求单调区间.


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