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2016河北省对口升学数学模拟试题1(含答案)


2016 年对口升学考试数学模拟试题(一)
(试卷总分 120 分 考试时间 120 分钟)

5.若 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中函数 y ? a? x与y ? loga x 的图像大致是( y y y y

)

说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题 37 道小题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 所有试题均须在答题卡上作答,在试卷和草稿纸上作答无效. 三、做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选涂答案擦干净,再选涂其他答案。 四、考试结束后,将本试卷与答题卡一并交回.

o A 6.函数 y ? sin A. (?1,1) 7.函数 f ? x ? ?

x B

o

x C

o

x D

o

x

?x
4

? cos

?x
4

的值域为(

) D. [? 2 , 2 ]

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题所给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求) 1. 设集合 U ? ?a, b, c, d , e? , A ? ?a, b, c?, B ? ?b, c, d ? ,则 A ? (CU B) ? ( A. ?b, c, d ? B. ?a, b, c, d ? C. ?a? ) D. )

B. [ ?1,1]
x3 ? x 的图像关于( 2

C. [?2,2] )对称. C. 原点

A. x 轴

B. y 轴

D. 直线 y ? 1 )

?a, e?

8.S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, 若 a1 ? 1 , 公差 d ? 2 ,Sk ?1 ? Sk ? 17 , 则 k ?( A.8 B.7 C. 6 D. 5 ) D.2 或-1

2.如果 a ? b ? 1 ,那么下列不等式恒成立的是( A. a ? b
4 4

B. lg(a ? b) ? 0 D. ( ) ? ( )
a

9.已知 a(m,2) , b(m ? 1,?1) , a ? b ,则 m 为( A.-2 ) 的解析式为( ) B. 1 C.-2 或 1

C. a

?2

? b ?2

1 2

1 2

b

3.已知 ab ? 0 ,则“ x ? A.充分但不必要条件 C.充分且必要条件

ab ”是“ a, x, b 成等比数列”的(

10. 将函数 y ? sin 2 x 图像向 x 轴负方向平移

5? 个单位得到 y ? f ( x) 的图像, 则函数 f ( x) 12

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.下列各函数中,与函数 y ? x2 为同一个函数的是( A. y ? x4 C. y ? x x B. y ?

? x?

5? ) 6 5? ) C. y ? sin( 2 x ? 6
A. y ? sin( 2 x ?

5? ) 12 5? ) D. y ? sin( 2 x ? 12
B. y ? sin( 2 x ? )

4

2 2 11. 若直线 y ? 3x ? b 与圆 x ? y ? 10 相切,则 b ? (

D. y ?

x3 x

A. ? 10

B. ? 2 10

C.±10

D. ? 10 10

1

12. 设 F1 , F2 为椭圆 A.3 B.4

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,P 为椭圆上一点, 若 | PF1 |? 2 ,则 | PF2 |?( 25 9
C.6 D.8



21.函数 y ? 3| x| 的单调递增区间为 22.已知 sin( 23. e
0.3

. . . . . .

?
2
e

??) ?

4 ,则 cos(? ? ? ) 的值是 5

13. P 是三角形 ABC 所在的平面外一点,已知 P 到三角形三边的距离相等,则 P 在平面

, 0.3 , ln 0.3 按从小到大排列的顺序是

ABC 内的射影 O 是三角形的(
A. 外心 B. 内心

) C.重心 D.垂心 )

24.直线 3x ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? my ? 2 ? 0 互相垂直时,则 m ? 25.已知单位向量 a 与 b 的夹角为

?

?

14. (1 ? x) 9 的展开式中,二项式系数最大的项是( A. 126x
4

? ? ? ,那么 a ? 2b ? 3

B. 125x
5

5

26.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BD1 与平面 A 1 ADD 1 所成的角的正切值是
6

C. 126x 和 126x

4

D. 126x 和 126x

5

27.在 (3 x ?

2 n ) 的展开式中第 9 项为常数项,则 n 的值为 x

.

15. 从五名学生中选出四人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛,其中学生甲只 参加数学竞赛,则不同的参赛方法共有( ) A.60 B.24 C.72 D.4

28.若平面 ? ? ? ,直线 l ? ? ,则直线 l 与平面 ? 的位置关系是 29.顶点为原点,对称轴是 y 轴,顶点与焦点的距离等于 2 的抛物线方程是 30.甲、乙两人随机入住两间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是

. . .

二、填空题(本大题共 15 小题,每小题 2 分,共 30 分)

?0( x ? 0) ? 16.若 f ( x) ? ??e( x ? 0) ,则 f { f ? f (? )?} ? ? x 2 ? 1( x ? 0) ?

三、解答题(本大题共 7 小题,共 45 分,请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答,要 . 写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 31. ( 6 分 ) 已 知 集 合 A ? {x | 3x ? x 2 ? 10 ? 0} , B ? {x | x 2 ? m 2 ? 0} (m ? 0) , 若 .

1 ?3 25? 17. C ? ( ) ? ( 2 ? 3 ) lg1 ? sin 3? ? tan2 ? 125 3
1 4 6

A ? B ? B,求实数 m 的取值范围.
32.(6 分)已知数列 ?an ? 的前 n项和为S n ?

18. 已知 a ? ? ,则 ? a ? 2? ( x2 ? 3x ? 40) ? ? 的解集是
1? x 19. 函数 f ( x ) ? 的定义域是 x

. (1)求 a1 的值;

1 (an ? 1) ,解答下列问题; 3

. .

1 20. 已知等比数列 ?an ? 中, a4 ? ?1 , a7 ? ? ,则 a3 ? a8 ? 8

(2)试判断数列 ?an ? 是等比数列还是等差数列,并说明理由; (3)设等差数列 ?bn ? 中的 b1 ? 2a2 , 且b4 ? ?4a4 ,求数列 ?bn ? 前 6 项的和 T6 .

2

C 是 ?ABC 33. (6 分) 已知向量 m ? (a ? c, b) , 且m ? n, 其中 A 、B 、 n ? (a ? c, a ? b) ,
的内角, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 10, c ? 10 3 ,求 ?ABC 的面积. 34. (6 分)某广告公司设计一块周长为 8 米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米 1000 元, 设矩形一边长为 x 米,面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围. (2)为使广告牌费用最多;广告牌的长和宽分别为多少米?求此时的广告费. 35.(7 分)从一批产品中抽取 6 件产品进行检查,其中有 4 件一等品,2 件二等品, (1)求从中任取一件为二等品的概率; (2)每次取 1 件,有放回地取 3 次,求取到二等品数 ? 的概率分布. 36. (7 分)双曲线 C 以过原点与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 相切的两条直线为渐近线,且过椭 圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的两个焦点,求双曲线 C 的方程. 37. (7 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱长都是底面边长的 2 倍,

?

P 为侧棱 SD 上的点.
(1)求证: AC ? SD ; (2)若 SD ? 平面 PAC ,求二面角 P ? AC ? D 的大小.

S
P

A
B

D

C
3

2016 年对口升学考试数学模拟试题一答案
一.选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题所给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求) 1.C 11.C 2.C 12.D 3.A 13.B 4.A 14.A 5.D 15.B 6.D 7.C 8.A 9.C 10.A

(2)当 n >1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 1 1 (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) ? (an ? an ?1 ) , 3 3 3

1 1 an 1 ? ? ,所以 ?an ? 是等比数列数列,首项为 a1 ? ? ,公比为 q ? ? . 2 2 an ?1 2
(3)等差数列 ?bn ? 中的 b1 ? 2a2 , 且b4 ? ?4a4 ,即 b1 ?

1 1 1 , b4 ? ? ,则公差 d ? ? , 2 4 4

二.填空题(本大题共 15 小题,每小题 2 分,共 30 分) 16. e ? 1
2

T6 ? 6b1 ? 1 20. 8
26. 21. (0,??)

6 ? 5d 3 ?? . 2 4 3 . 4

17.14

18.(-8,5) 19. (??,0) ? (0,1]

因此,数列 ?bn ? 的前 6 项和为 ?

22. ?

4 5

e 0.3 23. ln 0.3 < 0.3 e

24.3

25.

7

2 2

33. (6 分)解: (1)因为 m ? (a ? c, b) , n ? (a ? c, a ? b) ,且 m ? n , 27.12

?

28. l ∥ ? 或 l ? ?

29. x2 ? ?8 y

30.

1 2

三.解答题(本大题共 7 小题,共 45 分,请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答,要写 出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) ) 31.(6 分)解: 因为 A ? {x | 3x ? x 2 ? 10 ? 0} ? {x | ?2 ? x ? 5} , 又 m ? 0 , B ? {x | x 2 ? m 2 ? 0} ? {x | ?m ? x ? m} ,因为 A ? B ? B ,如图, 所以 ?

1 0 , ?C ? 120 . 2 1 0 0 (2)由(1)知 ?C ? 120 , a ? 10, c ? 10 3 ,由正弦定理得 sin A ? , ?A ? 30 , 2
2 2 2 所以 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0 , a ? b ? c ? ab ? 0 ,得 cos C ? ?

因为 ?A ? ?B ? ?C ? 180 ,所以 ?B ? 30 .所以 ?ABC 的面积为
0 0

S?

1 1 ac sin B ? ?10 ?10 3 sin 300 ? 25 3 . 2 2
8 ? 2x ,所以面积 2

34. (6 分)解: (1)由已知一边长为 x 米,另一边为

S ? x(

8 ? 2x 2 ) ? ? x ? 4 x , x ? (0, 4) . 2
2

??m ? ?2 ,得 m ? 2 ? m?5

(2)因为 S ? ? x ? 4 x ? ?( x ? 2)2 ? 4 因此 x ? 2 时, S 有最大值为 4 平方米,所以广告费用是 4 ? 1000=4000 元. 35. (7 分)解: (1)设事件 A ={从中任取一件为二等品} ,则 P ( A) ?

因此实数 m 的取值范围是 (0, 2] 32. (6 分)解: (1)当 n ? 1 时, S1 ?

1 1 (a1 ? 1) ? a1 ,得 a1 ? ? . 3 2

1 . 3

(2)由(1)知 P ( A) ?

1 ,随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 3

4

8 4 0 1 0 2 3 1 1 1 2 2 P(? ? 0) ? C3 ( ) ( ) ? ; P(? ? 1) ? C 3 ( ) ( ) ? ; 3 3 27 3 3 9 1 2 2 1 3 1 3 2 0 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ( )1 ? ; P(? ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? . 3 3 9 3 3 27
所以 ? 的概率分布为

∴ AC ? 平面 SBD , SD ? 平面 SBD , ∴ AC ? SD . (2)联结 PO , ∵四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,

?

0

1

2

3

每条侧棱长都相等, ∴侧面等腰三角形 ?SAD ? ?SCD , ∵ P 为侧棱 SD 上的点, ∴ PA ? PC

P

8 27

4 9

2 9

1 27

S
P

2 2 36. (7 分)解:圆 x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心为(0,2) ,半径为 r ? 1 ,

∵ O 是 AC 中点, ∴ PO ? AC ,又 BD ? AC , ∴ ?POD 二面角 P ? AC ? D 的平面角. ∵ SD ? 平面 PAC , PO ? 平面 PAC , ∴ SD ? PO . 设正方形边长为 1,由已知每条侧棱长都是底面边长的 2 倍,则 SD ? 在 Rt ?SOD 中, OD ?

设圆的切线方程为 y ? kx ,则

| ?2 | k 2 ?1

? r ? 1 ,解得 k ? ? 3 ,

A
B

D

O
C

即双曲线的渐近线为 y ? ? 3x . 椭圆 x ? 4 y ? 4 的两个焦点为( ? 3 ,0) ,即双曲线的顶点是( ? 3 ,0) ,由题意知,
2 2

b 双曲线的实半轴长 a ? 3 ,由于焦点在 x 轴,渐近线方程为 y ? ? x , a
所以

2.

x y b ?1. ? 3 ,得 b ? 3 ,所求双曲线方程为 ? 3 9 3

2

2

2 , 2

37.(7 分) (1)证明:∵四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱长都相等, ∴顶点 S 在底面的射影 O 是正方形中心, 联结 SO 、 BD , SO ? 平面 ABCD ,∴ SO ? AC , ∵底面是正方形, ∴ BD ? AC ,

2 OD 1 ? 2 ? ,即 ?PDO ? 600 , ∴ cos ?SDO ? SD 2 2
∴在 Rt ?POD ?POD ? 30 ,
0

S

0 因此,二面角 P ? AC ? D 为 30 .

A

D

5

B

O

C


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