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等比数列及其前n项和教案11


第三节 等比数列及其前 n 项和复习教学设计 教学目标: 1、理解等比数列的概念.。 2、掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式。 3、了解等比数列与指数函数的关系。 4、能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题。 一、自主梳理: 1.等比数列的相关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这 个数列叫做等比数列. (2)公比:指定义中的“同一常数”,通常用字母 q(q≠0)表示. (3)定义的符号表示:

an+1 an =q(q 是常数且 q≠0, n∈N*), 或 =q(n≥2, n∈N*, q 为常数且 q≠ 0). an an-1

2.等比数列的通项公式及其推广 (1)等比数列的通项公式 n-1 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,q≠0,则它的通项公式 an=a1·q . (2)通项公式的推广 an=am·qn-m. 3.等 比中项 如果三个数 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等比中项,那么 = ,即 G =ab. 4.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时 a1 -qn a1-anq ,Sn= = . 1-q 1-q 5.等比数列的性质 (1)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq. 2 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=ap. 2 (2)若等比数列前 n 项和为 Sn, 则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m 仍成等比数列, 即(S2m-Sm) =Sm(S3m-S2m)(m * ∈N ,公比 q≠-1). (3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为 k 等比数列,公比为 q . 二、考点探究 考点一 等比数列的基本量运算 1、在{an}是等比数列中, 1 (1)、a2=4,a4= ,求 q 4 (3)、若 a4-a2=6,a5-a1=15,求 a3 1 【解析】 (1)∵a2=4,a4= , 4
1 a4 1 1 ? ? 4 ? ? q 2 ,? q ? ? a2 4 16 4
1

G b a G

2

(2)、a1=3,q=1,求 Sn

(2)Sn=3n
3 ? ?a1q -a1q=6, q 2 ( 3)、设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则? 两式相除得, = ,即 2q2-5q+2 2 5 4 1+q ?a1q -a1=15, ?

? ? ?a1=-16, ?a1=1, 1 =0,解得 q=2 或 q= ,∴? 或? 1 2 q = 2 ? ? ? ?q=2,
规律技巧: 等比数列基本量计算的求解策略:

∴a3=4 或-4.

(1)等比数列中有五个量 a,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二” ,通过方程组求解,在解方程 组时要注意“相除”的消元思想,同时要注意整体代入的思想方法. (2)在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公比 q 是否为 1 进行判断和讨论.

考点 2 等比数列性质的应用 2、等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,求 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 3、在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8 ,S6=7 求 S9 解析:(1) ∵a7a12=5, ∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25。 (2) log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log2a5 3=5log2a3 =5log2 a1a5=5log22=5. 规律技巧: 等比数列的性质是高考考查的重点,解此类问题时有两种思路,一是列方程求出基本量,其优 点是思路简单、实用,缺点是有时计算比较繁琐; . .二是利用等比数列及其前 n 项和的性质求解,熟练掌握等比数列及其前 n 项和的常用性质能起到 事半功倍的效果. 考点 3 等比数列的判定与证明 2 2an 1、已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n=1,2,…. 3 an+1
?1 ? 证明:数列?a -1?是等比数列; ?
n

?

证明:∵an+1=

2an an+1



2

an+1 1 1 1 1 ∴ = = + · , an+1 2an 2 2 an 1 1 1 -1?, ∴ -1= ? 2?an ? an+1 2 1 1 又 a1= ,∴ -1= , 3 a1 2

?1 ? 1 1 ∴数列?a -1?是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ? n ?

2、已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? 证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式
? ?

证明: (1)由 an+1=3an+1 得 1 1 1 3 a + ?.又 a1+ = , an+1+ =3? 2 ? n 2? 2 2 1? ? 3 所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 ? ? 3n-1 1 3n an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 规律技巧: 1.证明数列是等比数列的两个基本方法 an+1 (1) =q(与 n 值无关的常数)(n∈N*); an
* (2)a2 n+1=anan+2(n∈N ).

2.证明某一数列是等比数列,不能只证数列中某连续三项成等比数列.

三、课堂小结 1、等比数列的相关概念、公式、性质。 2、等比数列的基本量运算、等比数列性质的应用 、 等比数列的判定与证明。 (1)、等比数列中有五个量 a,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二” ,通过方程组求解,在解 方程组时要注意“相除”的消元思想,同时要注意整体代入的思想方法. . (2) 、在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公比 q 是否为 1 进行判断和讨论. (3) 、利用等比数列及其前 n 项和的性质求解,熟练掌握等比数列及其前 n 项和的常用性质能 起到事半功倍的效果 (4) 、证明数列是等比数列的两个基本方法 an+1 * (1) =q(与 n 值无关的常数)(n∈N*);(2)a2 n+1=anan+2(n∈N ). an 真题体验(课后作业)
3

2 1.(2015· 课标全国卷Ⅰ)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3 A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an

)

2.(2015· 课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 B.- 3 1 C. 9 1 D.- 9 )

)

3.(2015· 课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( A.21 C.63 B.42 D.84

4.(2016· 北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=______;前 n 项和 Sn =________. 5.(2015· 课标全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和。若 Sn=126, 则 n=________.

【变式 3】 (2013 全国)已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,a1=25,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 +a4+a7+…+a3n-2.

教学反思:

4


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