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北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题解析


北京市 2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题: (3)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为 (A)

a3 2 a3 12

(B)

a3 6 a3 18
a 正(主)视图

a

(C) 【答 案】C

(D)

a 侧(左) 视图

【解析】该几何体为底面是直角边为 a 的等腰直角三角形, 高为 a 的直三棱柱,其体积为

1 a3 ?a?a?a ? 。 2 2

俯视图

7.(北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示,该几何体 的体积是( (A) 8 (B) )

8 3 4 3

(C) 4 (D)

【答案】D 【解析】将三视图还原直观图,可知是一 个 底 面 为 正 方 形 ( 其 对 角 线 长 为 2 ), 高 为 2 的 四 棱 锥 , 其 体 积 为
1

1 1 1 4 V ? S正方形ABCD ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . 3 3 2 3

A. m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n B. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n C. m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n D. m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n

2

【答案】C 体的体积为

.

3 2

3

3

1 正视图 2 1 2

1 侧视图

俯视图

(9)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)已知 一个四棱锥的三视图如图所示,则该 四棱锥的体积是 .

4 3

10. (2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科一个几何体的 三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .

2 3

3

三、解答题: (17)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 平面 ABCD , E 是

PC 中点, F 为线段 AC 上一点.
(Ⅰ)求证: BD ? EF ; (Ⅱ)试确定点 F 在线段 AC 上的位置,使 EF //平面 PBD ,并说明理由. E 【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生的 A 空间想象能力。证明线线垂直的方法: (1)异面直线所成的角为直角; (2)线 面垂直的性质定理; (3)面面垂直的性质定理; (4)三垂线定理和逆定理; (5) F B C 勾股定理; (6)向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别 体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进 行证明;探求某 D P

证明(Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD . 又四边形 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , PA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 PAC , 又 EF ?平面 PAC , 所以 BD ? EF . ………………7 分

4

PBD .

………………14 分

(16) (2012 年 4 月北京市海淀区高三一模理科) (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD , AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 ,

PA ^ 平面 ABCD , PA = 4 . (Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ;
(Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角

P

的正弦值为

PQ 3 ,求 的值. PB 3
B

A C

D

(16)(本小题满分 14 分)

………………………………………5 分
5

所以 BD ? (?4,2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? AP ? (0,0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

z P

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,
A C B x D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .

………………………………………9 分

由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) . ………………………………………12 分

??? ?

17. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科)(本题满分 13 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ABD = 90? , EB ? 平面
ABCD , EF//AB , AB= 2 , EF =1, BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点. E F

(Ⅰ)求证: EM // 平面 ADF ; D M A B
6

C

(Ⅱ)在 EB 上是否存在一点 P ,使得 ? CPD 最大? 若存在,请求出 ? CPD 的正切值;若不存在, 请说明理由. (17) (本小题满分 13 分)

(Ⅱ)解:假设在 EB 上存在一点 P ,使得 ? CPD 最大. 因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? CD . 又因为 CD ? BD ,所以 CD ? 平面 EBD . 在 Rt? CPD 中, tan?CPD = ………………………8 分

CD . DP

17.(北京市西城区 2012 年 4 月高三第一次模拟文)(本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥

AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面

ECDF .
7

(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形, ……………2 分 所以 NC ∥ MD , 因为 NC ? 平面 MFD , 所以 NC ∥平面 MFD . 分 (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ? FC ? O . 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平 面 ECDF , 所以 FC ? NE . ……5 分 …………6 分 ………………4 ………………3 分

9分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

………11 分

8

所以 VNFEC ?

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

……………13 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大. ………………14 分 (17)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模理科)(本小题共 13 分)

图1 (17) (共 13 分) (Ⅰ)证明:取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,

图2

? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正

三角形. 又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD .

… ………2 分

所以在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF .…………3 分 所 以 ?A 1 E B 二 面 角 A 1? E ? 为 F 的 平 面 角 . B 图1 又二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 所以 A1E ? BE . 又因为 BE ? EF ? E ,
9

…………5 分

所以 A1E ⊥平面 BEF ,即 A1E ⊥平面 BEP .

…………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 A1E ⊥平面 BEP , BE ? EF ,如图,以 E 为原点,建立空间直 角坐标系 E ? xyz , 则 E (0 , 0 , 0) , A1 (0 , 0 ,1) , B(2 , 0 , 0) ,

F (0, 3 , 0) .
在图1中,连结 DP . 因为

CF CP 1 ? ? , FA PB 2 1 BE ? DE . 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ,且 EF ? DP . 故点 P 的坐标为(1, 3 ,0). 所以 A1B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1, 3,0) , EA1 ? (0 , 0 ,1) . 图2

???? ?

??? ?

???? ?

…………8 分

???? ? ? A1 B ? n ? 0, ? 不妨 设平面 A1 BP 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? BP ? n ? 0. ?
?2 x ? z ? 0, ? 令 y ? 3 ,得 n ? (3 , 3 , 6) . ? x ? 3 y ? 0. ? ???? ? ???? n ? EA1 6 3 ????? ? ? ? 所以 cos? n, EA1 ? ? . 2 | n || EA1 | 1? 4 3
即? 故直线 A E 与平面 A1 BP 所成角的大小为 1 …………10 分

…………12 分

? . 3

…………13 分

(17)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)(本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的 点,且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A EF 的位置,使平面 A EF ? 1 1 平面 EFB ,连结 A B , A P .(如图 2 ) 1 1 (Ⅰ)若 Q 为 A B 中点,求证: PQ ∥平面 A EF ; 1 1 (Ⅱ)求证: A1E ? EP .

10

图1

图2

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A E 中点 M ,连结 QM , MF . 1 在△ A BE 中,Q, M 分别为 A1B, A1E 的中 1 点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2
1 BE , 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所以 PQ ∥ FM . 又因为 FM ? 平面 A EF ,且 PQ ? 平面 A EF , 1 1 所以 PQ ∥平面 A EF . 1 (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,
? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

…………5 分

…………7 分

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1E ? EF . …………9 分

因为平面 A EF ? 平面 EFB ,平面 A EF ? 平面 EFB ? EF , 1 1 所以 A1E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF ,
11

…………12 分

所以 A1E ⊥ EP .

…………14 分

17. (2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科)(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA=PD,∠BAD=60?,E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBE; (Ⅱ)若 Q 是 PC 的中点,求证:PA // 平面 BDQ; (Ⅲ)若 VP-BCDE =2VQ - ABCD,试求

CP 的值. CQ
⊥ .

17.证明: (Ⅰ)因为 E 是 AD 的中点, PA=PD, 所 以 AD

PE

……………………1 分 因为 底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60?, 所以 AB=BD,又因为 E 是 AD 的中点, 所以 AD⊥BE. ……………………2 分 因为 PE∩BE=E, ……………………3 分 所以 AD⊥平面 PBE. ……………………4 分 (Ⅱ)连接 AC 交 BD 于点 O,连结 OQ. ……………………5 分 因为 O 是 AC 中点, Q 是 PC 的中点, 所以 OQ 为△PAC 中位线. 所 以 OQ

//

12

因为

h1 CP CP 8 , 所以 ? . ? CQ 3 h2 CQ

……………………14 分

17. (2012 年 4 月北京市房山区高三 一模理科(本小题共 14 分) 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , BC ? CC ? AB , AB ? BC . 点 M , N 分 别 是 =2 1

CC1 , B1C 的中点, G 是棱 AB 上的动点.
(I)求证: B1C ? 平面 BNG ; (II)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并 给出证明; (III)求二面角 M ? AB1 ? B 的余弦值. 17. (本小题共 14 分) (I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C …………………………1 分

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1 ………………………2 分

B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB … ………………3 分 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG …………………………………4 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M .……………………………5 分 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 …………………6 分 2

∵由已知条件, B1 BCC1 为正方形 ∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1

13

∵ M 为 CC1 的中点,

(III) ∵ 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 且 AB ? BC

又? 平面 B1 AB 的法向量为 B1C1 ? (2,0,0) ,

???? ?

???? ? ? ???? ? ? B1C1 ? n 1 ? cos ? B1C1, n ? = ???? ? = , ? B1C1 ? n 3
设二面角 M ? AB1 ? B 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

……………………13 分

???? ? ? 1 ? cos ? ? ? cos B1C1 , n ? . 3

……………………14 分

14


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