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高三第一轮复习逻辑连接词及全称命题,特称命题1-3


第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【2013年高考会这样考】 1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,能用

“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容.
2.考查对全称量词与存在量词意义的理解,叙述简单的数学内 容,并能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【复习指导】

复习时应紧扣概念,辨析疑难点,理清相似概念间的异同
点,准确把握逻辑联结词的用法,熟练掌握对含有量词命题的 否定的方法.本节常与其他知识结合,在知识的交汇处命题, 试题难度中档偏下.

基础梳理
1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“ 或 ”、“ 且 ”、“ 非 ”叫做逻辑联结词.

(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p q p∧q p∨q 綈p

真 真 假 假

真 假 真 假

真 假 假 假

真 真 真 假

假 假 真 真

2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”这样的词语,一般在指定的 范围内都表示事物的全体,这样的词叫做全称量词,用符号 “?”表示,含有全称量词的命题,叫做 全称命题 .全称命题“对 M 中 任 意 一 个 x , 有 p(x) 成 立 ” 可 用 符 号 简 记

为:?x∈M,p(x) .
(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语,都是表示 事 物 的 个 体 或 部 分 的 词 叫 做 存 在 量 词 . 并 用 符 号 “ ?” 表 特称命题 示.含有存在量词的命题叫做 .特称命题“存在M中的 . ?x0∈M,p(x0) 一个x0,使p(x0)成立”可以用符号简记为:

3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈p(x0) ?x∈M,綈p(x)

一个关系 逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、
交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来

解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

三个注意
(1)p∨q为真命题,只需p,q有一个为真即可,p∧q为真命题,

必须p,q同时为真,解题时要注意分类讨论思想的应用.
(2)p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为非p或非q. (3)高考中较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题,要注 意其他知识的提取与应用,一般先化简转化命题,再处理关 系.

双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列命题的非(否定): 1 ①p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4
2

②q:所有的正方形都是矩形; ③r:?x∈R,x0+2x0+2≤0; ④s:?x0∈R,x3 +1=0. 0 其中真命题的个数为 ( ).
2

A.0个 C.2个

B.1个 D.3个

解析

1 2 綈p:?x0∈R,x 0 -x0 + <0,为假命题;綈q:至 4

少存在一个正方形不是矩形,为假命题;綈r:?x∈R,x2

+2x+2>0,为真命题;綈s:?x∈R,x +1≠0,为假命

3

题. 答案 B

2.(2011·北京)若p是真命题,q是假命题,则 A.p∧q是真命题 C.綈p是真命题 解析 答案 B.p∨q是假命题 D.綈q是真命题

(

).

q是假命题,故綈q是真命题,故选D. D

3.(2011·辽宁)已知命题p:?n0∈N,2n>1 000,则綈p为
( ).

A.?n∈N,2n≤1 000
C.?n0∈N,2n≤1 000

B.?n∈N,2n>1 000
D.?n0∈N,2n<1 000

解析

由特称命题的否定为全称命题知,綈p为?n∈N,

2n≤1 000,故选A. 答案 A

4.(2011·广州模拟)若p:?x∈R,sin x≤1,则

(

).

A.綈p:?x0∈R,sin x0>1
B.綈p:?x∈R,sin x>1

C.綈p:?x0∈R,sin x0≥1
D.綈p:?x∈R,sin x≥1

解析 选A.
答案

由于命题p是全称命题,对于含有一个量词的全称命

题p:?x∈M,p(x),它的否定綈p:?x0∈M,綈p(x0),故应

A

5.命题p:有的三角形是等边三角形,命题綈p:________.
答案 所有的三角形都不是等边三角形

考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】?已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数.p2:函 数y=2x +2 -x 在R上为减函数.则在命题q1 :p1∨p2 ,q2 :

p1∧p2,q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真命题是
( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 ).

[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1,p2的真假.

解析 法一 函数y=2 -2 是一个增函数与一个减函数的 差,故函数y=2x-2- x在R上为增函数,p1是真命题;而对 ? x 1? 1 x p2 :y′=2 ln 2- x ln 2=ln 2?2 - x ? ,当x∈[0,+∞)时, 2? 2 ? 1 x 2 ≥ x ,又ln 2>0,所以y′≥0,函数单调递增;同理,得 2 当x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可 知,q1真,q2假,q3假,q4真. 法二 p1是真命题,同法一;由于2x+2- x≥2 2x ·- x =2, 2 x -x 故函数y=2 +2 在R上存在最小值,故这个函数一定不是R 上的单调函数,故p2是假命题.由此可知,q1 真,q2假,q3 假,q4真. 答案 C

x

-x

判断含有逻辑联结词的命题真假,主要是把其中单 个命题的真假判断清楚,在此基础上再根据含有逻辑联结词的 命题真假判断的准则进行.

【训练1】 已知命题p:??{0},q:{1}∈{1,2},由它们构成的 “p∨q”,“p∧q”,“綈p”形式的命题中,真命题有 ( A.0个 解析 B.1个 C.2个 D.3个 ).

命题p为真命题,命题q为假命题,则p∨q为真命题,

p∧q为假命题,綈p为假命题. 答案 B

考向二

含有量词的命题的真假判断
( ).

【例2】?(2011·合肥模拟)下列命题中的假命题是

A.?x0∈R,lg x0=0
B.?x0∈R,tan x0=1

C.?x∈R,x3>0
D.?x∈R,2x>0

[审题视点] 根据量词的意义和给出的关系进行判断即可.

解析 当x=1时,lg x=0,故命题“?x0∈R,lg x0=0”是 π 真命题;当x= 时,tan x=1,故命题“?x0∈R,tan x0= 4 1”是真命题;由于x=-1时,x <0,故命题“?x∈R,x >0”是假命题;根据指数函数的性质,对?x∈R,2x>0, 故命题“?x∈R,2x>0”是真命题. 答案 C
3 3

对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素 使命题成立,即可判断该命题成立,对于全称命题的判断,必 须对任意元素证明这个命题为真,也就是证明一个一般性的命 题成立时,方可证明该命题成立,而只要找到一个特殊元素使 命题为假,即可判断该命题不成立.

【训练2】 下列命题中正确的是 A.对所有正实数t,有 t<t B.不存在实数x,使x<4,且x2+5x-24=0 C.存在实数x,使|x+1|≤1且x2>0 D.不存在实数x,使x3+x+1=0 解析 1 选项A不正确,如t= 时,有 4
2

(

).

t >t;选项B不正确,
3

如x=3<4,而x +5x-24=0;选项D不正确,设f(x)=x +x +1,f(-1)=-1<0,f(0)=1>0,故方程x +x+1=0在(- 1,0)上至少有一个实数根.对于C,x=-1时即满足条件,故 选C. 答案 C
3

考向三 含有量词的命题的否定
【例3】?命题“?x>0,x +x>0”的否定是 A.?x0>0,x0 +x0>0 B.?x0>0,x0+x0≤0 C.?x>0,x2+x≤0 D.?x≤0,x2+x>0 [审题视点] 否定量词,否定结论,写出命题的否定. 解析 根据全称命题的否定是特称命题,知该命题的否定 是:?x0>0,x0 +x0≤0. 答案 B
2 2 2 2

(

).

全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全 称命题.

【训练3】 命题“存在x0∈R,使得x+2x0 +5=0”的否定是

________.
答案 对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0

规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题
【问题研究】 利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉
及两类问题:一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确 定参数的取值范围;二是利用充要条件来确定参数的取值范 围.求解时,一定要注意取值区间端点值的检验,处理不当 容易出现漏解或增解的现象.

【解决方案】 解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关
性质、定理等得到参数的方程或不等式,然后通过解方程或 不等式求得所求问题.

【示例】? (本题满分12分)已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx

?1 ? 在R上单调递减;q:函数f(x)=x -2cx+1在 ? ,+∞ ? 上为 ?2 ?
2

增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数c的取值 范围.

(1)p,q真时,分别求出相应的c的范围;(2)用 补集的思想求出綈p,綈q分别对应的c的范围;(3)根据 “p∧q”为假、“p∨q”为真,确定p,q的真假.

[解答示范] ∵函数y=c 在R上单调递减, ∴0<c<1.(2分) 即p:0<c<1.∵c>0且c≠1,∴綈p:c>1.(3分)

x

?1 ? 又∵f(x)=x -2cx+1在? ,+∞ ?上为增函数, ?2 ? 1 1
2

∴c≤ .即q:0<c≤ . 2 2

1 ∵c>0且c≠1,∴綈q:c> 且c≠1.(6分) 2 又∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p真q假或p假q真.(7 分)

①当p真,q假时,{c|0<c<1}∩

? ? ? 1 ? ?c|c> 且c≠1 ? 2 ? ? ? ?



? ?1 ? ?c? <c<1 ?;(9分) ? ?2 ?

? ? 1? ? ?c|0<c≤ ?=?.(11分) ②当p假,q真时,{c|c>1}∩ 2? ? ? ?

? ?1 ? 综上所述,实数c的取值范围是?c? <c<1 ?.(12分) ? ?2 ?
解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所 对应的参数的取值范围求出来,然后转化为集合交、并、补

的基本运算.

【试一试】 设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q: 方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.求使p∨q为真, p∧q为假的实数m的取值范围.

?Δ1 =4m2-4>0, [尝试解答] 由? 得m<-1. ?x1 +x2=-2m>0,

∴p:m<-1; 由Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 知-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由p∨q为真,p∧q为假可知,命题p,q一真一假,

?m<-1, 当p真q假时,? 此时m≤-2; ?m≥3或m≤-2, ?m≥-1, 当p假q真时,? 此时-1≤m<3. ?-2<m<3,
∴m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.

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