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最新精编高中人教版选修4-5高中数学第09课时不等式的证明方法之——综合法与分析法 公开课优质课教学设计

课 题: 第 09 课时 不等式的证明方法之二:综合 法与分析法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法, 也是不等式证明中的基 本方法。 由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认 识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步 推导出要证的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因 成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果” ,后一种是“执果索因” 。打一 个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这 是“综合法” ;而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法” 。 以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的, A 2 ? B 2 ? 2 AB 是常常要用到 的一个重要不等式。 二、典型例题: 例 1、 a , b 都是正数。求证: a b ? ? 2. b a 证明:由重要不等式 A 2 ? B 2 ? 2 AB 可得 a b a b ? ?2 ? 2. b a b a 本例的证明是综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ,求证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 . 证法一 分析法 要证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 成立. 只需证 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) 成立, 又因 a ? b ? 0 , 只需证 a 2 ? ab ? b 2 ? ab 成立, 又需证 a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 成立, 即需证 (a ? b) 2 ? 0 成立. 而 (a ? b) 2 ? 0 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m) 得(1) 。 读一读:如果用 P ? Q 或 Q ? P 表示命题 P 可以推出命题 Q(命题 Q 可以 由命题 P 推出) ,那么采用分析法的证法一就是 (1) ? (2) ? (3) ? (4). 而采用综合法的证法二就是 (4) ? (3) ? (2) ? (1). 如果命题 P 可以推出命题 Q ,命题 Q 也可以推出命题 P ,即同时有 P ? Q, Q ? P ,那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价,并记为 P ? Q. 在例 2 中, 由于 b, m, b ? m 都是正数,实际上 (1) ? (2) ? (3) ? (4). 例 4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截 面的周长为 L ,则周长为 L 的圆的半径为 2 L ? L ? ,截面积为 ? ? ? ;周长为 L 的正 2? ? 2? ? 2 2 2 L ?L? ? L ? ? L? 方形为 ,截面积为 ? ? 。所以本题只需证明 ? ? ? ? ? ? 。 4 ?4? ? 2? ? ? 4 ? ? L ? 证明:设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 ? ? ? ,截面 ? 2? ? ?L? ? L ? ? L? 是正方形的水管的截面面积为 ? ? 。只需证明: ? ? ? ? ? ? 。 ?4? ? 2? ? ? 4 ? 为了证明上式成立,只需证明 两边同乘以正数 2 2 2 2 ?L2 L2 ? 。 4? 2 16 4 1 1 ,得: ? 。 2 ? 4 L 因此,只需证明 4 ? ? 。 ? L ? ? L? 上式显然成立,所以 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 4 ? 2 2 。 这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 。 证法一 因为 a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ca (2) (3) (4) (5) 所以三式相加得 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证 法 二 1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 2 因 为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ca ) ? 所以(1)成立。 例 6、证明: (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 . 证明 (1) ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ? 0 (1) (2) ? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad) 2 ? 0 (5)显然成立。因此(1)成立。 例 7、已知 a, b, c 都是正数,求证 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc. 并指出等号在什么时候 成立? 分析:本题可以考虑利用因式分解公式 (4) (5) a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 着手。 证明: a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc = (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 1 = (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ?

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