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1.1.1数列的概念课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)_图文


§1

数列

1.1 数列的概念
【课标要求】
通过实例,了解数列的概念. 1. 理解数列的顺序性,了解数列的几种分类. 2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一 3. 项.
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【核心扫描】 1.求数列的通项公式.(重点、难点) 2.数列通项公式的应用.(重点)

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自学导引
数列的有关概念 1. 名 称 内 容 数列的 次序 按一定_____排列的一列数叫作数列 定义 每一个数 项和项 数列中的_________叫作这个数列的项,各项依次叫 作这个数列的第1项(首项),第2项,…,第n项,… 数

数列的 数列一般可以写成a1,a2,a3,…,an,…简记为 通项 ___,a 记法 {an} n是数列的第n项,也叫_____
有穷数列 无穷数列 按数列的项数,数列分为_________与_________ 数列的 有限 (1)项数_____的数列叫作有穷数列; 分类 无限 (2)项数_____的数列叫作无穷数列
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试一试:1,2,3,4,5和5,4,3,2,1是相同数列吗? 提示 不是.数列具有顺序性. 数列的通项公式 2. 函数 如果数列{an}的第n项an与n之间的_____关系可以用一个式 an=f(n) 子________来表示,那么这个式子就叫作这个数列的通项 公式. 想一想:{an}与an表示的意义相同吗? 提示 {an}与an表示的意义不同.{an}表示数列a1, a2,…,an,…,是数列的一种简记形式;而an只表示数 列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.

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名师点睛
对数列概念的理解 1. (1)数列中项与项之间用“,”隔开. (2)数列中的项通常用an表示,其中右下角标表示项的位置 序号,即an为第n项. (3)“顺序”的重要性:顺序对于数列来讲是十分重要的, 几个不同的数,它们按照不同的顺序排列所得到的数列是 不同的,这是数列与集合的不同之处. (4)“项”与序号n是不同的:数列的项是这个数列中某一个 确定的数,它实质上是序号n的函数值f(n);而序号则是指 该项在这个数列中的位置.

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2.对数列的通项公式的理解
(1)数列的通项公式的形式 ①有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如,数 1+?-1?n 列:0,1,0,1,0,1,…,它可以写成 an= ,也可以写成 2
?0 ? an = ? ?1 ?

?n为正奇数? ?n为正偶数?

,还可以写成

? an=1-?sin ?

nπ ? ?等.这 2?

些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.

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②数列的通项公式可以是n的分段函数,分段表示. (2)数列的通项公式的作用 ①根据数列的通项公式可以写出数列.即依次用1,2,3,… 去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项. ②用数列的通项公式也可以判断某个数是否是该数列中的 项,是第几项.

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题型一

数列概念的应用

【例1】 下列各式哪些是数列?若是数列,哪些是有穷数 列?哪些是无穷数列? (1){0,1,2,3,4}; (2)0,1,2,3,4; (3)所有无理数; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…; (5)6,6,6,6,6 [思路探索] 由题目可获取的主要信息是五种数学表达 式.解答本题要紧扣数列的概念和数列分类标准.

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解 (1)是集合,不是数列.(3)不能构成数列,因为无法 把所有的无理数按一定顺序排列起来.(2)(4)(5)是数 列,其中(4)是无穷数列,(2)(5)是有穷数列. 规律方法 解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含 项数的多少与项的变化情况确定.

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( ). 【训练1】 下列叙述正确的是 A.数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列 B.同一个数在数列中可能重复出现 C.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数 D.任何数列的通项公式都存在 解析 根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同,那么它们就是不同的数列,因此,A是错误 的;数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限 子集{1,2,3,…,n},因此C是错误的;而一个数列有时不 存在通项公式,故D是错误的;对于一个数列,可以有重 复的数,故B正确. 答案 B
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题型二

求数列的通项公式

【例 2】 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,…; 2 4 8 16 32 64
3 7 9 (4) ,1, , ,…. 2 10 17

[思路探索] 根据数列的前几项求它的一个通项公式,要 注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等办 法,转化为一些常见的数列来求.

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解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝 对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值 大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
8 8 8 (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…, 9 9 9 8? 1 ? ∴an= ?1- n?. 9? 10 ? (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…易看出第 2,3,4 项的分子分 2-3 别比分母少 3.因此把第 1 项变为- ,至此原数列已化为- 2 21-3 22-3 23-3 24-3 , 2 ,- 3 , 4 ,…, 21 2 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

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3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,…对于分子 3,5,7,9,…,是序号的 2 5 10 17 2 倍加 1, 可得分子的通项公式为 bn=2n+1, 对于分母 2,5,10,17, … 联想到数列 1,4,9,16,…即数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2 2n+1 +1,∴可得原数列的一个通项公式为 an= 2 . n +1

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规律方法 用观察归纳法写出一个数列的通项公式,体 现了由特殊到一般的思维规律,具体可参考以下几个思 路: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化 部分的规律与对应序号间的关系式. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以 (-1)k处理符号. (4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的 形式,或者利用周期函数,如三角函数等.

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【训练2】 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式:
1 9 25 (1) ,2, ,8, ,…; 2 2 2 (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)a,b,a,b,a,b,…(其中 a,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,….



(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一写

1 4 9 16 25 成分数形式再观察: , , , , ,…,所以,它的一个 2 2 2 2 2 n2 通项公式为 an= . 2
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(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数, 并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项 公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b,所以此数列 的一个通项公式为
?a,n为奇数, ? an=? ?b,n为偶数. ?

(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000 -1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.

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题型三 数列的项的求解与判断
4 【例3】 (本题满分 12 分)已知数列的通项公式为 an=n2+3n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项; 1 16 (2)试问 和 是不是它的项,如果是,是第几项? 10 27

审题指导 的逆用.

本题综合考查数列的通项公式及通项公式

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4 1 [规范解答] (1)由题意易得:a4= 2 = , 4 +3×4 7 4 2 a6= 2 = .(4 分) 6 +3×6 27 4 1 (2)令 2 = ,则 n2+3n-40=0, n +3n 10 解得 n=5 或 n=-8,(6 分) 由 n∈N+,故 n=-8 舍去. 所以 1 是数列的第 5 项.(8 分) 10

4 16 令 2 = ,则 4n2+12n-27=0,(10 分) n +3n 27

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3 9 解得 n= 或 n=- , 2 2 16 由 n∈N+,所以 不是此数列中的项.(12 分) 27

【题后反思】 (1)如果已知数列的通项公式,只要将相应 序号代入通项公式,就可以写出数列中的指定项. (2)判断某数是否为数列中的一项,只需将此数代入数列 的通项公式中,求出n的值,若求出的n为正整数,则该数 是数列的项,否则该数不是数列的项.

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n2-21n 【训练3】 数列{an}的通项公式是 an= (n∈N+), 2 (1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是 第几项? 解 (1)令an=0,得n2-21n=0, ∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项. n2-21n 令 an=1,得 =1,而该方程无正整数解, 2
所以 1 不是数列{an}中的项. n2-21n (2)假设存在连续且相等的两项为 an =an + 1 ,则有 = 2 ?n+1?2-21?n+1? , 解得 n=10, 所以, 存在连续且相等的两项, 2 它们分别是第 10 项和第 11 项.
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误区警示

忽视数列的有序性而致错

【示例】判断下面两个数列是否为同一个数列: (1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1; (2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1. [错解] 由于构成的数列的数完全相同,所以它们是同一数 列. 不能把数列与集合弄混.数列与数集有本质的区 别.数列是讲顺序的,且可能相同;而集合是不讲顺序的, 元素是互不相同的.

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[正解] 因为数列(1)与数列(2)中的数的排列的顺序不同, 所以它们不是同一个数列. 用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符 号,它们之间有本质上的区别: (1)集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同 的; (2)集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺 序排列,也就是必须是有序的.

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