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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(新人教A版选修2-3)


1.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理

引入
2006年夏季在德国举行的第18届世界杯 足球赛共有32个队参赛.它们先分成8个小组 进行循环赛,决出16强,这16个队按确定的程 序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外还决 出了第三、第四名.问一共安排了多少场比赛?
要回答这个问题,就要用到排列、组合的知 识.排列、组合是完成某项工作的方法种数的知 识.

问题1: 从甲地到乙地,可以乘火 车,也可以乘汽车,一天中, 火车有 3 班,汽车有2 班,那 么一天中,乘这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的 火车3 走法?

火车2 火车1 汽车1 汽车2



问题2: 从甲地到乙地,要从甲地先 乘火车到丙地,再于次日从丙地 乘汽车到乙地,一天中,火车有 3班,汽车有2班,那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的 走法? 火车3 丙 汽车1 火车2 甲 乙
火车1 汽车2

从甲地到乙地,有2类办 法,第1类办法乘火车,有3 种不同的走法,第2类办法乘 汽车,有2种不同的走法,那 么从甲地到乙地共有 3+2 = 5 种不同的走法。

从甲地到乙地,需要分成2 个步骤,第1步从甲地到丙地有 3种不同的走法,第2步从丙地 到乙地有2种不同的走法,那么 从甲地到乙地共有 3×2 = 6 种不同的走法。

分类加法计数原理

m 有

完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中

n

种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ? m?n

m 种不同的 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 方法,做第2步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事 共有

种不同的方法. 分步乘法计数原理

N ? m? n

种不同的方法.

例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体 情况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式:若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融 学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有 多少种?

探究:如果完成一件事有三类不同方案,在 第1类方案中有 m1种不同的方法,在第2类方案 m 中有 2种不同的方法,在第3类方案中有 3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不 同的方法? 如果完成一件事情有 类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数 呢?

m

n

分类加法计数原理
一般归纳: m1 完成一件事情,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m2 种不同的方法 种不同的方法,在第2类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这 ……在第n类办法中有 件事共有

N ? m1 ? m2 ? ??? ? mn

种不同的方法.

例2:设某班有男生30名,女生24名. 现要从中 选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共 有多少种不同的选法?
解:第1步:从30名男生中选出1人,有30种不同选择

第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择
根据分步乘法计数原理,共有30×24=720种不同的 选法

探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步 有 m1种不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方法, 做第3步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有 多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤,做每一步中 都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

分步乘法计数原理
完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 m1 种不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方 1步有 法……做第n步有 mn种不同的方法.那么完成这件事 共有

N ? m1 ? m2 ????? mn
种不同的方法.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 : ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点: 1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一 件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的 各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法 都可以单独完成这件事,是独立完成; 2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成 一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任 何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤 都完成后,才算完成这件事,是合作完成.

例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书, 第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不 同的体育书. ①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种 不同的取法?

解:(1)从书架上任取1本书,有3类方法: 第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法

第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法
第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法

根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
N=4+3+2=9

书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本 不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书. ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的 取法? (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3 各步骤完成: 第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法 第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法 第3步从第3层取1本体育书,有2种方法 根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N=4×3×2=24

例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种 选法 第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2 种选法

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6

例5、给程序模块命名,需要用3个字符,其中首 字符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字 1~9,问最多可以给多少个程序命名? 解:第1步:选首字符,共有7+6=13种选法 第2步:选中间字符,共有9种选法

第3步,选最后一个字符,共有9种选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9= 1053个不同的名称

巩固练习
1.填空: ①一件工作可以用2种方法完成,有5人会用第1种方 法完成,另有4人会用第2种方法完成,从中选出1 人来完成这件工作,不同选法的种数是 . ②从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有2 条,从A村经B村去C村,不同的路线有 条. 2. 现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名, 高中三年级的学生4名. ①从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同 的选法? ②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动, 有多少种不同的选法?

3. 从甲地到乙地有 2 种走法,从乙地到丙地有 4 种走法,从甲地不经过乙地到丙地有 3种走法, 则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.
4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名, 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加 校三好学生代表大会,共有 种不同的推选方法.
5.集合 , 的坐标. .

从 A、B 中各取1个元素作为点

(1)可以得到多少个不同的点?
(2)这些点中,位于第一象限的有几个?

小结:

完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方 法,在第 2 类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+ ……+mn 种不同的方法。 注:每一类办法都能直接完成任务,每一种方法相互独立。

分类计数原理(加法原理)

分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方 法,做第 2 步有m2 种不同的方法……,做第n步有mn种不同的 方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×……×mn 种不同的方法。 注:各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算 做完这件事。

小结
分类计数原理与分步计数原理体 现了解决问题时将其分解的两种常用 方法,即分步解决或分类解决,它不 仅是推导排列数与组合数计算公式的 依据,而且其基本思想贯穿于解决本 章应用问题的始终.要注意“类”间 互相独立,“步”间互相联系.
作业:P12 1, 2, 3

例5 给程序模块命名 ,需要用 3个字符, 其中首字符 要求用字母A ~ G或U ~ Z, 后两个要求用数字 1 ~ 9. 问最多可以给多少个程 序命名? 分析 要给一个程序模块命名 ,可以分三个步骤: 第1 步, 选首字符 ;第2步, 选中间字符 ;第 3 步选最后一个字 符.而首字符又可以分为两 类. 解 先计算首字符的选法 .由分类加法计数原理 , 首字符共有 7 ? 6 ? 13 种选法. 再计算可能的不同程序 名称.由分步乘法计数原 理,最多可以有 13 ? 9 ? 9 ? 1053 个不同的名称 ,即最多可以给 1053个程序命名 .

你还能给出不同的解法 吗?

例 6 核糖核酸?RNA ?分子是在生物细胞中发 现 的化学成分 .一个RNA 分子是一个有着数百个 甚 至数千个位置的长链 , 长链中每一个位置上都 由 一种称为碱基的化学成 分所占据 .总共有 4 种不 同的碱基, 分别用 A, C, G,U表示.在一个RNA 分子 中, 各种碱基能够以任意次 序出现, 所以在任意一 个位置上的碱基与其他 位置上的碱基无关 .假设 有一类RNA 分子由100 个碱基组成 , 那么能有多 少种不同的RNA 分子?
U A C G A G C A U U A

分析 用下面的图来表示由 100 个碱基组成的长链 , 这时我们有 100个位置, 每个位置都可以从 A, C, G,U中 任选一个来占据 .
4 ? 1.6 ? 10 60 , 这是一个 非常大的 数.有兴趣 的同学可 以自己查 阅一下R ? NA 的有关 资料.
100

第1位

第2位

第3位

??????

第100位

4种

4种

4种

4种

解 100个碱基组成的长链共有 100个位置 , 如上图所示 .从左到右依次在每个位 置中, 从 A, C, G,U中任选一个填入 , 每个位置有 4种填 根据分步乘法计数原理 ,长度为 充方法. 100的所有可能的不同 RNA 分子数目有

4 ? 4 ? ? ? ? ? 4 ? 4100 ?个?.
100个4

例 7 电子元件很 容 易实现电路 的通与断、电位 的高与低等两种状态 ,而这也是最容易控制的 两种 状态.因此计算机内部就采用 了每一位只有 0或 1两 种数字的记数法 ,即二进制 .为了使计算机能够识别 字符,需要对字符进行编码 , 每个字符可以用一个或 多个字节来表示, 其中字节是计算机中数 据存储的 最小计量单位 , 每个字节由 8个二进制位构成 .问 : ?1?一个字节?8位 ?最多可以表示多少个不 同的字符? ?2?计算机汉字国标码 ?GB码?包含了6763个汉字,一 个汉字为一个字符 , 要对这些汉字进行编码 , 每个汉 字至少要用多少个字节 表示?

分析 由于每个字节有 8个二进制位 , 每一位上的 值都有 0,1两种选择,而且不同的顺序代表不 同的 字符,因此可以用分步乘法计 数原理求解本题 . 解 用图1.1? 3来表示一个字节
第1位 第2位 第3位

??????

第8位

2种

2种

2种

2种

图1.1 ? 3

一个字节有 8 位, 每位上有 2种选择.根据分步乘 法计数原理 , 一个字节最多可以表示 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 256 个不同的字符 ;
8

不同 字符不够 6763个, 我们就考虑用 2 个字节 能够表示多少个字符 .前一个字节有 256 种不同的表示方法 , 后一个字节也有 256 种表示方法 .

?2?由 ?1?知 ,用一个字节所能表示的

根据分步乘法计数原理 ,2个字节可以表 示 256 ? 256 ? 65 536 个不同字符 , 这已 经大于汉字国标码包含 的汉字个数 6763. 所以要表示这些汉字 , 每个汉字至少要用 2个字节表示 .

例 8 计算机编程人员在编写 好程序以后需 要对程序进行测试.程序员需要知道到底有 多少条执行路 径 (即程序从开始到结束的 路 线),以便知道需要提供多少 个测试数据 .一般 的, 一个程序模块由许多子 模块组成 .如图 1 .1 ? 4,它是一个具有许多执行 路径的程序模块 . 问 : 这个程序模块有多少条 执行路径 ? 另外,为了减少测试时间 , 程序员需要设法减 少测试次数你能帮助程 序员设计一个测试方 法,以减少测试次数吗 ?

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径
?A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

分析 整个模块的任意一条执 行路径都分两步完 成 : 第1步是从开始执行到 A点;第2 步是从 A 点执行 1 步可由子模块 1或子模块2或子模块3来 到结束. 而第

完成 ; 第2步可由子模块 4或子模块5来完成 .因此, 分析
一条指令在整个模块的 执行路径需要用到两个 计数 原理.

解 由分类加法计数原理 ,子模块1或子模块 2或 子模块 3的子路径共有 18 ? 45 ? 28 ? 91(条);
又由分步乘法计数原理 ,整个模块的执行路径共 有 91? 81 ? 7371(条).

子模块 4或子模块 5的子路径共有 38 ? 43 ? 81 (条);

在实际测试中 , 程序员总是把每一个子 模块看成一个 黑箱, 即通过只考察是否执行 了正确的子模块的方式 来测试整个模块 .这样,它可以先分别单独测试 5 个模 块,以考察每个子模块的工 作是否一正常 .总共需要测 试次数为 18 ? 45 ? 28 ? 38 ? 43 ? 172. 再测试各个模块之间的 信息交流是否正常 , 只需要测 试程序第 1步中的各个子模块和第 2 步中的各子模块 之间的信息交流是否正 常,需要测试次数为 2 ? 3 ? 6. 如果每个子模块都正常 工作, 并且各子模块之间的信 息交流也正常 ,那么整个程序模块就工 作正常.这样, 测 试整个模块的次数就变 为 172 ? 6 ? 178?次?.

显然,178与7371的差距是非常大的 . 你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗 ?

例9 随 着人们生活水平的提 高 ,某城市家 庭汽车拥有量迅速增长 ,汽车牌照号码需要 扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组 成办法, 每一个汽车牌照都必须 有 3 个不重 复的英文字母和3 个不重复的阿拉伯数字, 并且3个字母必须合成一组出 现,3个数字也 必须合成一组出现 .那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照 ?

分析 按照新规定 , 牌照可以分为 2 类,即字 母组合在左和字母组合 在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分 6个步骤.

解 将汽车牌照分为 2类,一类字母组合在左 ,另一 类的字母组合在右 . 字母组合在左时 ,分6个步骤确定一个汽车牌 照的 字母和数字 : 第1步, 从26个字母中选 1个, 放在首位 ,有26种选法; 第 2 步, 从剩下的 25个字母中选 1 个, 放在第 2位,有 25种选法; 第3步, 从剩下的 24个字母中选 1 个, 放在第 3位,有 24种选法;
第4步, 从10个数字中选 1个, 放在第 4位,有10种选法;

第5步, 从剩下的 9个数字中选 1个, 放在第 5位,有9 种选法; 第6步, 从剩下的 8 个数字中选 1个, 放在第 6位,有8 种选法. 根据分步乘法计数原理 ,字母组合在左的牌照共 有26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11 232 000?个?. 同理,字母组合在右的牌照也 有 11 232 000个. 所以,共能给11232000 ? 11232000 ? 22464000 辆汽车上牌照 .
思考 你能归纳一下用分类加 法计数原理、分步乘 法计数原理解决计数问 题的方法吗?


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