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吉林省吉林市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

? ,? , ? , ? } ,集合 B ? { x | x ? ?, x ? N? } ,则图中阴影部分所 1.设全集 U ? N ? ,集合 A ? { ?,
表示 的集合是( A. { ? }
U
A B



?} B. { ? ,

?} C. { ? , ? ,

?} D. { ? , ? ,

【答案】B 【解析】 试题分析: ? ? ? ? ?6,8,9? ,所以图中阴影部分所表示的集合是 ?2,3? ,故选 B. 考点:1、集合的交集、补集运算;2、韦恩图. 2.已知 i 为虚数单位,则

?-i ?( ?? i



A.

? ?

B.

? ?

C.

?? ?

D.

?? ?

【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

2 ? i ? 2 ? i ??1 ? i ? 2 ? 2i ? i ? i 2 1 3 ? ? ? ? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 2







2?i 10 ?1? ? 3? ? ? ? ??? ? ? ,故选 D. 1? i 2 ?2? ? 2?
考点:1、复数的除法运算;2、复数的模. 3.已知 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ?

2

2

? ,则 sin ? ? ( ?



-1-

A. ?

? ?

B. ?

? ?

C.

? ?

D.

? ?

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 tan ? ? 以 sin ? ?
2

sin ? 3 4 ? ? ,所以 cos ? ? ? sin ? ,因为 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,所 cos ? 4 3

16 2 9 9 3 sin ? ? 1 ,即 sin 2 ? ? , 因为 ? 是第四象限角, 所以 sin ? ? ? ?? , 9 25 25 5

故选 A. 考点:同角三角函数的基本关系.

?y ? 3 ? 4.已知实数 x、 y 满足 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.-4 【答案】C B.1 C.2 D.3



考点:线性规划. 5.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, σ ), 若 P(ξ >3)=0.023, 则 P(-1≤ξ ≤3)等于 ( A.0.977 【答案】B 【解析】 试题分析:因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),所以 ? ?? ? ?1? ? ? ?? ? 3? ? 0.023 ,
2 2



B.0.954

C.0.628

D.0.477

-2-

因为 ? ?? ? ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? ? ? ?? ? 3? ? 1 ,所以

? ? ?1 ? ? ? 3? ? 1?? ?? ? ?1? ?? ?? ? 3? ? 1? 0.023
?0.023 ? 0.954 ,故选 B.
考点:正态分布. 6.

?

? ?

( ? ? x ? ? x ) dx 等于(

) C.

A.

? ?

B.

? ?

? -?
?

D.

? -?
?

【答案】D 【解析】 试题分析: 故选 D. 考点:定积分.

??
1 0

1 ? x 2 ? x dx ? ?

?

1

0

1 1 1 1 ? x 2 dx ? ? xdx ? ? ? ? 12 ? x 2 0 4 2

1 0

?

?
4

?

1 ? ?2 ? , 2 4

e ?e e x ? e? x e x ? e?x 7.现有三个函数:① y ? ,② y ? ,③ y ? x 的图象(部分)如下: ? ? e ? e?x
y y y

x

?x

O

x

O

x

O

x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( A.①②③ 【答案】C 【解析】 试题分析:① y ? B.③①② C.②①③

) D.③②①

e x ? e? x e x ? e? x e x ? e? x 是偶函数;② y ? 是奇函数;③ y ? x 是奇函数, 2 2 e ? e? x

e x ? e? x 2e? x ? 1 ? x ? x ? 1 .所以从左到右图象对应的函数序号应为②①③,故选 C. 且y? x e ? e? x e ?e
考点:函数的图象. 8.已知执行如下左图所示的程序框图,输出的 S ? ? ? ? ,则判断框内的条件是( )
-3-

A. k ? ? ?
开始

B. k ? ? ?

C. k ? ? ?

D. k ? ? ?

k=1 S=1 k = k+1 S = 3S+2


输出 S 结束



【答案】C 【解析】 试题分析: 初始条件 S ? 1 ,k ? 1 ; 运行第一次,S ? 5 ,k ? 2 ; 运行第二次,S ? 17 ,k ? 3 ;

k ?5; k ? 6. 运行第三次,S ? 53 ,k ? 4 ; 运行第四次,S ? 161 , 运行第五次,S ? 485 , 要
输出的 S ? 485 ,必须条件不满足,停止运行,所以 k ? 5? ,故选 C. 考点:程序框图. 9.一个几何体的三视图如上右图,则其表面积为( A. 20 D. 14 ? 2 2 B. 18 )

C. 14 ? 2 3

-4-

【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图知:该几何体是一个正方体截去四个三棱锥,如图所示.

1 1 所以该几何体的表面积是 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 2
2

? ?

? 2? 5 ?? ? 2 ? ? ? ? ?
2

2

? 2?

2

故 ? 20 ,

选 A. 考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积. 10.边长为 4 的正方形 ABCD 的中心为 O,以 O 为圆心,1 为半径作圆,点 M 是圆 O 上的任意一 点, 点 N 是边 AB、BC、CD 上的任意一点(含端点) ,则 MN ? DA 的取值范围是(

???? ? ????



?? ] A. [?? ? ,
【答案】C 【解析】

?? ] B. [?? ? ,

?? ] C. [?? ? ,

?] D. [ ? ? ,

试题分析:以 ? 为坐标原点, x 轴 //?? , y 轴 //?D ,建立如图所示的平面直角坐标系:

设 ? ? cos ? ,sin ? ? , D? ? ? 0, ?4 ? (1)若 ? 点在边 ?? 上,设 ? ? x0 , ?2? ( ?2 ? x0 ? 2 ) ,则 ?? ? ? x0 ? cos ? , ?2 ? sin ? ? , 所以 MN ? DA ? 8 ? 4sin ? ,因为 ?1 ? sin ? ? 1 ,所以 4 ? 8 ? 4sin ? ? 12 ,即
-5-

????

???? ?

???? ? ????

???? ? ???? 4 ? ?? ? D? ? 12 ;
(2)若 ? 点在边 ? C 上,设 ? ? 2, y0 ?( ?2 ? y0 ? 2 ) ,则 ?? ? ? 2 ? cos ? , y0 ? sin ? ? ,所 以 MN ? DA ? ?4 y0 ? 4sin ? ,因为 ?2 ? y0 ? 2 , ?1 ? sin ? ? 1 ,所以 ?8 ? ?4 y0 ? 8 ,

???? ?

???? ? ????

???? ? ???? ?4 ? 4sin ? ? 4 ,所以 ?12 ? ?4 y0 ? 4sin ? ? 12 ,即 ?12 ? ?? ? D? ? 12 ;
(3)若 ? 点在边 CD 上,设 ? ? x0 , 2? ( ?2 ? x0 ? 2 ) ,则 ?? ? ? x0 ? cos ? , 2 ? sin ? ? ,所 以 MN ? DA ? ?8 ? 4sin ? ,因为 ?1 ? sin ? ? 1 ,所以 ?12 ? ?8 ? 4sin ? ? ?4 ,即

???? ?

???? ? ????

???? ? ???? ?12 ? ?? ? D? ? ?4 .
综上所述, MN ? DA 的取值范围是 ? ?12,12? ,故选 C. 考点:1、向量数量积的坐标运算;2、不等式的性质;3、向量的坐标运算. 11.已知边长为 1 的等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的 余弦 值为

???? ? ????

? ,若 A、B、C、D、E 在同一球面上,则此球的体积为( ? ? ? ? ?
C. ??



A. ?? 【答案】D 【解析】 试题分析:

B.

D.

? ? ?

连结 CD 和 C ? ,取 ?? 的中点 ? ,设点 C 在平面 ?? C? 内的射影为 ? ,连结 C ? 、 ?? 和

C? ,因为 ?? ? ?C ? ?C ,所以 C? ? ?? ,因为 C? ? 平面 ?? D ? , ?? 是 C? 在平面
?? D ? 内的射影,所以 ?? ? ?? ,所以 ??? C 是二面角 C ? ?? ? D 的平面角,即

-6-

cos ???C ?

C? 3 3 ? ,在 Rt?C?? 中, sin ?C?? ? ,所以 C? ? C? sin 60 ? ,在 C? 3 2 ?? 3 3 1 ,所以 ?? ? C? cos ???C ? ? ? ,所以 ? 是 C? 2 3 2

Rt?C?? 中, cos ?C?? ?

正方形 ?? D ? 的中心,所以正四棱锥 C ? ??D? 的外接球的球心在 C ? 上,记为 ?1 ,连结

? 3 ? ? 1 ?2 2 ?? 和 ??1 ,则 ?1C ? ?1? ? R , ??1 ? ? ?R ? ?R ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?2?
,在 Rt???? 中, ?? ?
2 2

2

2 ?1? ?1? ,在 Rt??1?? 中, ? ? ?? ? ? 2 ?2? ?2?

2

2

? 2 ? ? 2? 2 2 ? ? 2 ?R? ? ?? ? 2 ? ? ? R ,解得: R ? 2 ,所以此球的体积是 ? ? ? ? ? 2? 4 4 2 V ? ? R3 ? ? ? ? ? ? ,故选 D. ? ? ? 3 3 3 ? 2 ?
考点:1、二面角;2、四棱锥的外接球;3、球的体积. 12.若存在直线 l 与曲线 C? 和曲线 C ? 都相切,则称曲线 C? 和曲线 C ? 为“相关曲线” ,有下列 四个命 题: ①有且只有两条直线 l 使得曲线 C? : x ? ? y ? ? ? 和曲线 C ? : x ? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? ? ? 为“相 关曲线” ; ②曲线 C? : y ?
3

? ? ; x ? ? ? 和曲线 C? : y ? x ? ? ? 是“相关曲线” ? ?

? ③当 b ? a ? ? 时,曲线 C? : y ? ? ?ax 和曲线 C? : ; (x - b) ? y ? ? a ? 一定不是“相关曲线”

④必存在正数 a 使得曲线 C?:y ? a ln x 和曲线 C? : y ? x ? ? x 为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为( A.1 【答案】C 【解析】 试题分析:①圆心 C1 ? 0,0 ? ,半径 r1 ? 2 ,圆心 C2 ? 2, ?1? ,半径 r2 ? 1 , B.2 ) C.3 D.4

-7-

C1C2 ? 22 ? ? ?1? ? 5 ,因为 r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 ,所以曲线 C1 与曲线 C2 有两条公
2

切线,所以①正确;②假设直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,
2 2 ? 2 ? 4 y ? x ? 1? y ? 0 ? 2 由? ,消去 y ,得: 4 ? kx ? b ? ? x ? 1 ,即 ? ? y ? kx ? b 2 2 ? 2 ? x ? 4 y ? 1? y ? 0 ? 2 2 2 2 4 k ? 1 x ? 8 kbx ? 4 b ? 1 ? 0 , 由 , 消去 y , 得:x ? 4 ? kx ? b ? ? 1 , ? ? ? ? ? y ? kx ? b
2 2 2 即 1 ? 4k x ? 8kbx ? 4b ? 1 ? 0 ,因为直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切,所以

?

?

1 ? 1 ? ?? 8kb ?2 ? 4 ? 4k 2 ? 1?? 4b 2 ? 1? ? 0 ? 4k 2 ? 4b 2 ? 1 ? ? ?k ? ? ?k ? ,即 ? 2 ,解得 ? 2 或? 2 ,所以② ? 2 2 2 4k ? 4b 2 ? 1 ? ? 8 kb ? 4 1 ? 4 k ? 4 b ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?b ? 0 ?b ? 0
2 ? 2 ? y ? 4ax 2 正确;③由 ? ,消去 y ,得: ? x ? b ? ? 4ax ? a ,即 2 2 2 ? ?? x ? b ? ? y ? a

x2 ? ? 4a ? 2b? x ? b2 ? a2 ? 0 ,令 ? 4a ? 2b ? ? 4 ?1? ? b 2 ? a 2 ? ? 0 得:b ?
2

5 5 a ,当 b ? a 4 4

时,曲线 C1 与曲线 C2 相切,所以存在直线 l 与

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
-8-

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.从 5 名志愿者中选出 4 人,分别参加两项公益活动,每项活动 2 人,则不同安排方案的种 数 为 【答案】 30 【解析】
4 试题分析:第一步:从 5 名志愿者中选出 4 人参加活动,有 C5 ? 5 种选法,第二步:将选出
2 C2 4 C2 ? 3 种分法,第三步:将 2 组进行全排列,对应两项公益活动,有 2

.(用数字作答)

的 4 人分成 2 组,有

5 ? 3 ? 2 ? 30 ,所以答案应填: 30 . ?2 2 ? 2 种情况,所以不同的安排方案的种数是
考点:排列组合. 14.设 {a n } 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 a ? ,a ? ,a ? 成等差数列,则

S? ? S?
【答案】 5 【解析】

.

试题分析:因为 a4 , a3 , a5 成等差数列,所以 2a3 ? a4 ? a5 ,因为 a4 ? a3q , a5 ? a3q 2 , 所以 2a3 ? a3q ? a3q 2 ,因为 a3 ? 0 ,所以 q ? q ? 2 ,解得: q ? 1 (舍去)或 q ? ?2 ,所
2

?1 ? q ? S2 S 以 4 ? S2 S2
2

? 1 ? q 2 ? 1 ? ? ?2 ? ? 5 ,所以答案应填: 5 .
2

考点:1、等比数列的通项公式;2、等差数列的性质;3、等比数列的前 n 项和的性质. 15.把函数 f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos ? x ? 数

? 的图象上各点向右平移 ? (? ? ? ) 个单位,得到函 ?

g( x ) ? sin ? x 的图象,则 ? 的最小值为
【答案】 【解析】

.

? 12

-9-

试题分析:

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ?

1 3 1 1 1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2 2 2

?? ? ? sin ? 2 x ? ? ,因为函数 f ? x ? 的图象上各点向右平移 ? ( ? ? 0 个单位,得到函数 6? ?
?? ?? ? ? g ? x ? ? sin 2x 的图象,所以 sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? sin 2 x ,即 sin ? 2 x ? 2? ? ? ? sin 2 x , 6? 6? ? ?
所以 ?2? ?

?
6

? k? , k ? ? ,解得:? ? ?

?min ?

?
12

,所以答案应填:

? . 12

k? ? ? , k ? ? ,因为 ? ? 0 ,所以当 k ? 0 时, 2 12

考点:1、二倍角的正弦公式;2、降幂公式;3、辅助角公式;4、三角函数的图象与性质. 16.已知直线 l : x ? y ? ? ? ? 与抛物线 C : x ? ? ? y 交于 A,B 两点,点 P 为直线 l 上一动点,M,

N
是抛物线 C 上两个动点,若 MN / /AB , | MN |?| AB | , 则△PMN 的面积的最大值 为 【答案】 1 【解析】 试题分析:由题意知:当直线 ?? 过原点时, ???? 的面积最大,所以直线 ?? 的方程是 .

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

x ? y ? 0 ,点 ? 到直线 ?? 的距离 d ?

1? 0 12 ? ? ?1?
2

?

?x ? y ? 0 ?x ? 0 2 ,由 ? 2 得: ? 或 2 ?y ? 0 ?x ? 2 y
2 2

?x ? 2 ,所以 ? ? 0,0? , ? ? 2, 2? 所以 ?? ? ? ?y ? 2
面积的最大值是

? 2 ? 0? ? ? 2 ? 0?

? 2 2 ,所以 ???? 的

1 1 2 ? ?? ? d ? ? 2 2 ? ? 1 ,所以答案应填: 1 . 2 2 2

考点:1、直线与圆锥曲线的位置关系;2、三角形的面积公式;3、两条平行直线间的距离. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,设 S 为△ABC 的 面积,

- 10 -

满足 S ?

? ? (a ? c ? ? b ? ) . ?

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? ? ,设 A ? x , y ? ( ? -? )a ? ?c ,求函数 y ? f ( x ) 的解析式和最大值. 【答案】(I) 【解析】 试题分析: (I)先利用三角形的面积公式和余弦定理可得

? 2? ?? ? ; (II) y ? 2 6 sin ? x ? ? ( 0 ? x ? ) ,2 6 . 3 3 4? ?

1 3 ac sin ? ? ? 2ac cos ? ,进而 2 4

可得 tan ? 的值, 再利用角 ? 的取值范围即可得 ? 得值; (II) 先利用三角形的内角和可得角 ? 的取值范围,再利用正弦定理可得 a 和 c 的值,代入,利用辅助角公式可得 y ? f ? x ? 的解析 式,进而利用角 ? 的取值范围可得 y ? f ? x ? 的最大值. 试题解析: (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得

? ? ac sin B ? ? ?ac cos B ? ?
∴ tan B ? ? ,又 B ? (?,? ) 所以 B ?

??2 分

??4 分 ??5 分

?
?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知B? 6分 由正弦定理,知 a ?

?
?

, △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? , 又 A ? ?,C ? ? 得 ? ? A ?

?? . ?? ?

b sin A ? sin B

? sin

?
?

sin x ? ? sin x ,

??7 分

c?

b ?? sin C ? ? sin( ? x) sin B ?

??8 分

所以 y ? ( ? -? )a ? ?c

?( 2 3-1 ) sin x ? 4sin(

2? ? x) 3

? 2 3 sin x ? 2 3 cos x

- 11 -

当x?

? 2? ? 2 6 sin( x ? )(0 ? x ? ) 4 3 ? ? ?
? ? ?
,即 x ?

??10 分 ??12 分

?

时, y 取得最大值 ? ?

考点:1、余弦定理;2、三角形的面积公式;3、特殊角的三角函数值;4、正弦定理;5、两 角差的正弦公式;6、辅助角公式;7、三角函数的图象与性质 18.(本小题满分 12 分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三 的全体 1000 名学生中随机抽取了若干名学生的体检表,并得到如下直方图:
频率/组 距

0.45 0.15
4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2

视力

(Ⅰ)若直方图中前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,试估计全年级视力 在 5.0 以下的 人数; (Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学 习成绩是否有 关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查,得到如下数据: 年级名次 是否近视 近视 不近视 1~50 41 9 951~1000 32 18

根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (Ⅲ)在(Ⅱ)中调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人,进一 步调查他们良 好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 3 人,记名次在 1~50 名的学生人数为 X ,求 X 的分 布列和数学期 望. 附:
- 12 -

P(K2≥k) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

K2 ?

n(ad ? bc ) 2 (a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )

【答案】 (I) 【解析】

1 10 ; (II) ? ; (III)分布列见解析, 1 . 3 10

试题分析: (I)先利用 频率 ?

频率 ? 组距 可得第一、二组的频率,由已知条件可得第三、 组距

六组的频率,进而可得视力在 5.0 以下的频率,再利用 频数 ? 频率 ? 样本容量 可得全年级 视力在 5.0 以下的人数; (II)先算出 ? 的值,再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率
2

不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系; (III)先分析确定随机变量 ? 的所有可能 取值,再计算各个取值的概率即可得 ? 的分布列,进而利用数学期望公式即可得数学期望. 试题解析: (Ⅰ)设各组的频率为 f i ( i ? ?,?,?,?,?,?) , 依题意,前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,故

f? ? ?.?? ? ?.? ? ?.?? , f ? ? ?.? ? ? ?.? ? ?.? ? , f ? ?
所以由

f ?? ? ?.? ? f?

??1 分

( f? ? f? )? ? ? ? ? (?.? ? ? ?.? ?) 得 f ? ? ?.? ? , ?

??2 分 ??3 分 ??4 分 ??6 分 ??7 分 ??8 分

所以视力在 5.0 以下的频率为 1-0.17=0.83, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 ? ? ? ?? ?.? ? ? ? ? ?
? (Ⅱ) k ?

? ? ?? ( ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ?.? ? ? ? ?.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. (Ⅲ)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名和 951~1000 名分别有 3 人和 6 人,

X 可取 0,1,2,3
P ( X ? ?) ?
? C? ? C?

?

?? , ??

- 13 -

P ( X ? ?) ?

? ? C? C? ? C? ? ? C? C? ? C? ? C? ? C?

?

?? , ?? ?? , ??

P ( X ? ?) ?

? ? ??

P ( X ? ?) ?

?

X 的分布列为 X P
0 1 2 3

?? ??

?? ??

?? ??

? ??
??11 分

X 的数学期望 E( X ) ? ? ?

?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??

??12 分

考点:1、频率分布直方图;2、独立性检验;3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19.(本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面 互相 垂直, 已知 AB // CD,AD ? CD , AB ? AD ? ?, CD ? ? . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值. E F

M

D N A B

C

【答案】 (I)证明见解析; (II) 【解析】

2 . 3

试题分析: (I) 取 CD 中点 ? , 连接 ?? , 先证 ?C ? ?D , 再利用平面 ?D?F ? 平面 ?? CD 可证 D? ? 平面 ?? CD ,进而可证 ?C ? 平面 ? D ? ; (II)先建立空间直角坐标系,再求出 平面 ??C 的法向量,进而可得直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值.
- 14 -

试题解析: (I)在梯形 ABCD 中,取 CD 中点 H,连接 BH, 因为 AD ? AB , AB // CD ,AD ? CD 所以四边形 ADHB 为正方形 又 BD ? ? AD ? ? AB ? ? ? , BC ? ? HC ? ? HB ? ? ? 所以 CD? ? BD? ? BC ? 所以 BC ? BD ??2 分

又平面 ADEF ? 平面 ABCD,平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,DE ? AD 所以 DE ? 平面 ABCD
BC ? DE ,又 BD ? DE ? D

??4 分

故 BC ? 平面 BDE z E F

??5 分

M H N C y

D A x B

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? 平面 ABCD, AD ? CD ,所以 DE,DA,DC 两两垂直. 以 D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系 D ? xyz ,则 C (?,?,? ) , B(?,?,? ) , E (?,?,?) ,

? ? ? ? M (?,?, ) , N ( , ,?) , BC ? (??,?,?) , MC ? (?,?,? ) ??7 分 ? ? ? ? ?? x ? y ? ? ? ? ? n ? BC ? ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BMC 的法向量,则 ? ,即 ? y? z?? ? ? ? n ? MC ? ? ? ?
可取 n ? (?,?,?) , 又 MN ? ( , , MN ?? - , - ) ,所以 cos ? n ??9 分

? ?

? ?

? ?

n ? MN | n || MN |
? ?

??

? ?

??11 分

直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值为

??12 分

- 15 -

考点:1、线面垂直;2、直线与平面所成的角;3、空间向量在立体几何中的应用. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x? y? ? ? ?( a ? b ? ? ) 的左、右焦点分别为 F? (-? , ?)、 a ? b?

F? (? , ? ) ,过 F? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△ ABF? 的周长为 ? ? .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

? ) 作与直线 l 平行的直线 m,且直线 m 与抛物线 y ? ? ? x 交于 P、Q 两点,若 (Ⅱ)过点 ( ?,
A、P 在 x 轴
上方,直线 PA 与直线 QB 相交于 x 轴上一点 M,求直线 l 的方程. 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)由已知条件可得 a 和 c 的值,利用 a ? b ? c 可得 b 的值,进而可得椭圆 C
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1; (II) x ? ?1 或 x ? 2 y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

2

的方程; (II)先设 ? 、 ? 、 ? 、 Q 的坐标和直线 l 、 m 的方程,由已知条件可得

y1 y3 ? , y2 y4

? x ? ty ? ? (? ? ? ) ? ?t ? ? x ? ty ? ? ? ? 再由 ? x ? 消去 x ,化简可得 ,由 ? ? 消去 x,化简可得 ? ? ? ? y ?? t ?? ?y ? ?x ? ? ?
(? ? ? ) ?

?

? - t ? ,进而可得 t 的值,即可得直线 l 的方程.

试题解析: (Ⅰ)依题意, ?a ? ? ? , a ? ? b ? ? ? ??2 分 所以 a ? ? , b ? ? a ? ? ? ? ? 故椭圆 C 的方程为 ??3 分 ??4 分

x? ? y? ? ? ?

(Ⅱ)设 A( x?,y? ),B( x ?,y ? ),P ( x ?,y ? ),Q( x ?,y ? ) 直线 l 的方程为: x ? ty ? ? ,直线 m 的方程为 x ? ty ? ? 依题意得

| AF? | | MF? | | BF? | ? ? | PN | | MN | | QN |
??5 分



y y | y? | | y ? | y y ? ,可得 ? ? ? ,令 ? ? ? ? ? (? ? ? ) , | y? | | y? | y? y? y? y?

- 16 -

? x ? ty ? ? ? 由 ? x? 消去 x,得 (t ? ? ?) y ? ? ?ty ? ? ? ? , ? ? y ? ? ? ? ?
?t ? y ? y? ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ,把 y ? ? y 代入,整理,得 (? ? ? ) ? - ? t ① 则? ? ? ? ? t? ? ? ? y? y ? ? ? ? ? t ?? ?
? x ? ty ? ? 由? ? 消去 x,得 y ? ? ?ty ? ?? ? ? , y ? ? x ?
则?

??6 分

??8 分

??9 分

? y? ? y? ? ?t (? ? ? ) ? ? -t ? ② ,把 y ? ? ? y ? 代入,整理,得 ? y y ? ? ? ? ? ? ?
?t ? t? ? ? ? t ? ,解得 t ? ? 或 t ? ? 或 t ? ? ?

??10 分

由①②消去 ? ,得

??11 分

故直线 l 的方程为: x ? ?? 或 x ? ? y ? ? ? ? 或 x ? ? y ? ? ? ? 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系.

??12 分

x? 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ? ln( x ? ?) ? . x ?? (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的 x ≥0,都有 f ( x ) ≤ ax ,求 a 的最小值; (Ⅲ)已知数列 {an } 中, a? ? ? ,且 (? ? an ?? )(? ? an ) ? ? ,若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 求证:

Sn ?

an ? ? ? ln an ?? . ? an

【答案】 (I)函数 f ( x ) 在 (?? (II) 2 ; , - ? ? ? ) 上单调递减,在 (-? ? ? ,??) 单调递增; (III)证明见解析.

- 17 -

当 ? ? ? x ? ?? ? ? 时, f ?( x ) ? ? ,当 x ? ?? ? ? 时, f ?( x ) ? ? 所以函数 f ( x ) 在 (?? , - ? ? ? ) 上单调递减,在 (-? ? ? ,??) 单调递增. (Ⅱ)设 g ( x ) ? 2 ln( x ? 1) ?

??2 分 ??3 分

x2 ? ax ,则 x?1

g ?( x ) ?

( x ? ?) ? ? ?( x ? ?) ? ? x? ? ?x ? ? ? ? a ? ? a ? ?( ? ?) ? ? ? ? a ? ? x ?? ( x ? ?) ( x ? ?)

因为 x ≥0,故 ? ? ? ?(

? ? ?) ? ? ? x ??

??5 分

(ⅰ)当 a ? 2 时, ? ? a ? ? , g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 单调递减,而 g(0) ? 0 ,所 以对所有的 x ≥0, g ( x ) ≤0,即 f ( x ) ≤ ax ; (ⅱ)当 1 ? a ? 2 时, ? ? ? ? a ? ? ,若 x ? (? ,

??a? ??a ) ,则 g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调 a ??

递增,而 g(0) ? 0 ,所以当 x ? (0 ,

2?a? 2?a ) 时, g( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ax ; a ?1

(ⅲ)当 a ? 1 时, ? ? a ? ? , g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 单调递增,而 g(0) ? 0 ,所以 对所有的 x ? ? , g( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ax ; 综上, a 的最小值为 2. ??8 分

- 18 -

(Ⅲ)由 (? ? an ?? )(? ? an ) ? ? 得, a n ? a n?1 ? a n ? a n?1 ,由 a? ? ? 得, a n ? 0 , 所以

1 a n?1

?

1 1 ? ? 1 ,数列 { } 是以 ? ? 为首项,1 为公差的等差数列, an an a?
??9 分



1 1 1 ? n , a n ? , a n?1 ? an n?1 n

Sn ?

an ? ? n 1 1 1 ? 1? ? ??? ? ln an ?? ? ln(n ? 1) ? 2( n ? 1) 2 3 n ? an
x2 ? 2x , x ? 0 , x?1
??10 分

由(Ⅱ)知 a ? 2 时, 2 ln( x ? 1) ? 即 ln( x ? 1) ? 法一:令 x ?

x2 ? x,x ? 0. 2( x ? 1)

n?1 1 1 1 ? ? , ,得 ln n 2 n ( n ? 1 ) n n 1 1 1 1 即 ln(n ? 1) ? ln n ? ( ? )? 2 n n?1 n
因为

? [ln(k ? ?) ? ln k ? ? ( k ? k ? ?)] ? ln(n ? ?) ? ?(n ? ?)
k ??

n

? ?

?

n

??11 分

所以 ln(n ? 1) ? 故 Sn ? 法二:

n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2( n ? 1) 2 3 n

??12 分

an ? ? ? ln an ?? ? an

??12 分

Sn ?

an ? ? ? ? ? n ? ln an ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? ?) ? ? ? n ?( n ? ?) ? an

下面用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1 时,令 x ? 1 代入 ln( x ? 1) ?

x2 ? ? x ,即得 ? ? ln ? ? ,不等式成立 2( x ? 1) ?

? ? ? k ? ? ? ? ? ln(k ? ?) ? ? ? k ?( k ? ?) ? ? ? ? k ? ? ln(k ? ?) ? ? 则 n ? k ? 1 时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k ?? ?( k ? ?) k ? ?
(2)假设 n ? k (k ? N? , k ? 1) 时,不等式成立,即 ? ? 令x?

x2 ? k?? ? 1 ? ln ? ? x ,得 代入 ln( x ? 1) ? k ?? k ? ? ?( k ? ?)( k ? ? ) 2( x ? 1) k ?1

- 19 -

k ? k k?? ? ? ? ln(k ? ?) ? ? ln ? ?( k ? ?) k ? ? ?( k ? ?) k ? ? ?( k ? ?)( k ? ? ) k (k ? ?) ? ? k ?? ? ln(k ? ? ) ? ? ln(k ? ? ) ? ?( k ? ?)( k ? ? ) ?( k ? ? ) ? ? ? ? ? ? ln(k ? ? ) ? 即?? ? ? ? ? ? ? ? k k ?? ?( k ? ? ) ? ? ? n 由(1) (2)可知不等式 ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? ?) ? 对任何 n ? N? 都成立. ? ? n ?( n ? ?) ln(k ? ?) ?
故 Sn ?

an ? ? ? ln an ?? ? an

??12 分

考点:1 利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的最值; 3、数列的通项公式;4、 数列的前 n 项和;5、不等式的证明. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

?B ? ??? , 如图, 在△ABC 中, 以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D , 过点 D 作⊙O 的切线交 BC
于 E , AE 交⊙O 于点 F . (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF . C D E A F B

O

.

【答案】(I)证明见解析; (II)证明见解析. 【解析】 试题分析: (I)连接 ? D ,由 ?? 是 ? ? 的直径得 ?D ? ?C ,由 ?? ? 90 得 ?? ? ?D ,进
?

而可得 ?C ? ?D ,即可证 ? 是 ? C 的中点; (II)连接 ? F ,利用直角三角形的射影定理可得

AB 2 ? AE ? AF , AB 2 ? AD ? AC ,进而可证 AD ? AC ? AE ? AF .

- 20 -

试题解析: (Ⅰ)证明:连接 BD 因为 AB 为⊙O 的直径 所以 BD ? AC 又 ?B ? 90 ? 所以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 E 因此 EB ? ED ??2 分

?EBD? ?EDB, ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C
所以 ? CDE ? ? C 得 EC ? ED 因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 ??5 分

(Ⅱ)证明:连接 BF,可知 BF 是 Rt △ABE 斜边上的高,可得△ABE∽△AFB 于是有

AB AE ,即 AB 2 ? AE ? AF , ? AF AB

??8 分

同理可证 AB 2 ? AD ? AC 所以 AD ? AC ? AE ? AF 考点:1、直径所对的圆周角;2、切线长;3、直角三角形的射影定理. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? ? , 点 M (? , ) . 以极点 O 为原点, ??10 分

?

?

以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为 - ? 的直线 l 过点 M,且与曲线 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到 A,B 两点的距离之积.

? 2 t ?x ? ? ? 2 2 【答案】(I) y ? x , ? ( t 为参数) ; (II) 2 . ? y ? 1? 2 t ? ? 2
【解析】 试题分析: (I) 利用 x ? ? cos? ,y ? ? sin ? 代入曲线 C 的方程可得曲线 C 的直角坐标方程, 点 ? 的极坐标化为直角坐标,算直线 l 的倾斜角,即可得直线 l 的参数方程; (II)先将直线 l

- 21 -

的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 ,再利用参数的几何意义可得点 ? 到
2

? , ? 两点的距离之积.
试题解析: (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin? ,由 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 得 ? 2 sin2 ? ? ? cos ? . 所以 y 2 ? x ,即为曲线 C 的直角坐标方程; ??2 分 ??3 分

1), 点 M 的直角坐标为 ( 0 ,

3? ? ? x ? t cos 4 ?? 直线 l 的倾斜角为 故直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 3? ? ? y ? 1 ? t sin 4 ?

? 2 x?? t ? ? 2 即? (t 为参数) ??5 分 ?y ?1? 2 t ? 2 ? ? 2 x?? t ? ? 2 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 ? (t 为参数)代入曲线 C 的方程得 ?y ?1? 2 t ? 2 ?
(1 ? 2 2 2 t) ? ? t ,即 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 , 2 2
??7 分

? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ,
设 A、B 对应的参数分别为 t 1、t 2 ,则 ?

? ? t 1 ? t 2 ? ?3 2 ? ? t1 ? t 2 ? 2

??8 分

又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A,B 两点的距离之积 | MA | ? | MB |?| t 1 || t 2 |?| t 1 ? t 2 |? 2 ??12 分

考点:1、极坐标方程与直角坐标方程的互化;2、参数方程;3、参数的几何意义. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

x ?? ? x, ? 已知函数 f ( x ) ? ? ? , g( x ) ? af ( x )? | x ? ? | , a ? R . , ? ? x ? ? ? ? x
? ?) 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅰ)当 a ? ? 时,若 g( x ) ? | x ? ? | ? b 对任意 x ? (?,
(Ⅱ)当 a ? ? 时,求函数 y ? g ( x ) 的最小值. 【答案】(I) ? ?1, ??? ; (II) 0 .

- 22 -

- 23 -


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