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高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 解读点、线、面间的位置关系素材 新人教A版必修2


解读点、线、面间的位置关系
一、知识点精析 1、平面的概念 (1) “平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念,它与点、线一样,都是从实际生 活中抽象出来的数学概念. (2)平面的无限延展性 平面内包含着无数条直线,而直线是可以无限延伸的,因此平面也必然具有无限延展的 性质.日常接触到的很多平面的实例都只是平面的一部分,用平行四边形来表示平面,也只 能画出平面的一部分. 2.平面的基本性质 (1) “有且只有一个”的含义: “有”说明图形是存在的, “只有一个”说明图形是唯一的.数学中的“只有一个”并不 保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个” ,符合某一 条件的图形既存在,而且只能有一个,就说明这个图形完全是确定的,因此“有且只有一个” 和“确定”是同义词. (2)公理 1 是判定直线在平面内或点在平面内的工具. 例如: A ? ? 、 B ? ? ? AB ? ? ,又如 A ? a , a ? ? ? A ? ? . (3)公理 2 给出了确定两个相交平面的交线的方法.根据公理 2 要找到两个平面的交线, 只要找出它们的两个公共点,经过这两点的直线就是它们的交线,同时公理 2 还可以用来证 明点在直线上,即如果 ? ? ? ? a , A ? ? 且 A ? ? ,则 A ? a ,进而可证明三点共线. (4)公理 3 及其推论是确定平面和判定平面重要的依据. 在立体几何中,常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题,进而利用平面几何知识 来求解,因此要确定诸元素是否在同一个平面内,而公理 3 及其推论正是起着确定平面的作 用. 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的三种位置关系: a.相交:共面,有且只有一个公共点. b.平行:共面,没有公共点. c.异面:不同在任何一个平面内,没有公共点. (2)异面直线的判定方法: a.定义:不同在任何一个平面内的两条直线,称为异面直线. b.判定定理:若 l ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? l ,则直线 AB 和 l 是异面直线. (3)公理 4(平行公理) 、等角定理及推论 公理 4 是论证平行问题的主要根据,也是确定平面的基础.等角定理及其推论是证明空 间两角相等的重要理论依据. (4)异面直线所成的角的概念及其取值范围 a. 异面直线所成的角的定义中, 异面直线 a 和 b 所成的角和 a? 与 b ? 所成的锐角 (或直角) O O 相等,但与点 的位置无关,因此在解具体问题时,可将点 取在 a 或 b 上,或者取几何体 中具有特殊性的点. b.要明确过空间一点 O ,引直线 a 的平行线的方法和依据.因为 O ? a ,所以点 O 和 a 确定一个平面 ? ,在面 ? 内过点 O 作 a ∥ a? ,作 b ∥ b? . c.两条异面直线互相垂直,它们所成的角为 90°,今后再说两条直线互相垂直,它们可
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能相交,也可能异面. d.异面直线所成的角 ? 的范围是 0 ≤? ≤ 90
? ?

二、典例解析 D , A B ∥ D C 例 1 已 知 四 边 形 A B C 中 , AB,BC,DC,AD 所 在 直 线 分 别 与 平 面 ? 交 于 点 E,G,F,H ,求证: E,F,G,H 必共线. 证明:如图 1,∵ AB ∥ CD , ∴ AB,CD 共面. 设 A,B,C,D 确定平面 ? , ∵点 E,F,G,H 分别在直线 AB,CD,BC,AD 上, ∴ E,F,G,H 都在 ? 内, 又∵点 E,F,G,H 在平面 ? 内, ∴点 E,F,G,H 在 ? 和 ? 的交线上,即 E,F,G,H 共线. 说明:要证明多点共线,只需证这些点同在两个相交平面的交线上,这是证点共线的常 用方法之一,其理论依据是公理 2. 例 2 已知:正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, E,F 分别是棱

A1 B1,B1C1的中点,求异面直线 EF 与 AD1 所成角的大小.
解:如图 2,分别连结 AC 1 1 , AC . ∵ E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点,∴ EF ∥ AC 1 1. 又∵在正方体中,

A1 A ∥C1C ,
∴ AC 1 1 ∥ AC .∴ EF ∥ AC . ∴ ?D1 AC 的大小即为所求,连结 CD1 , ∵ △ACD1 为正三角形, ∴ ?D1 AC ? 60 ,
?

故 EF 与 AD1 所成角为 60°. 说明:求异面直线所成的角的问题,关键是抓住平移,将三维空间两直线所成的角的问 题转化为二维平面两相交直线所成角问题来研究. 三、应注意的几个问题 1.注意公理的复习
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公理是人们经过长期观察与实践总结出来的,因此我们在学习公理时,要对图形进行认 真的观察并动手进行验证;同时公理是几何推理的基本依据,也是我们进一步学习和研究空 间图形的基础,所以我们不但要熟记公理的内容,还要知道每个公理的用途和如何用.例如, 公理 1 是用来判断直线是否在平面内的依据,如果要判断一直线 l 在平面 ? 内,就要想办法在 直线 l 上找出不重合的两点 A,B ,证明 A,B 两点均在平面 ? 内. 在这里提醒同学们注意,公理 3 是确定一个平面的依据,我们对公理 3 进一步探究发现, “两条相交直线可以确定一个平面” 、 “两条平行线可以确定一个平面” 、 “一条直线和直线外 一点可以确定一个平面”这些推论都可以作为确定一个平面的依据,而且应用很广. 2.注意数学语言和图形语言的复习 数学语言我们并不陌生,在集合中我们学习过很多.学好立体几何的数学语言,能使立 体几何语言的表达方法简明扼要、清楚明白、符合逻辑;在这里提醒同学们注意:①点 A 在 立体几何中永远是元素,直线 l 和平面 ? 均是集合,因此,有 A ? l , A ? ? , l ? ? 或 A ? l ,

A ? ? , l ? ? ;②直线 l 与平面 ? 相交记作 l ? ? ? A ,它是 l ? ? ? ? A? 的简记并没错误.
图形语言的学习就是如何快速准确地作出空间图形的学习.空间图形是画在一个平面内 的,因此识图和画图的技巧就十分重要.如何根据题目的条件画出图形,需要用实物模型参 考,更需要多观察、多比较、多分析,逐步积累一些画法技巧,同时要注意图形的合理性、 美观性和直观性.有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定,往往借助图形就可以估 算一个大概,这有利于最后经过计算或论证得到结果的验证. 3.注意空间点、线、面之间位置关系的自主探究 学习本节课前,请同学们准备好一个长方体的几何模型.现在拿出你的长方体几何模型, 再拿出一支铅笔(权当直线)或一本书(权当平面) ,通过比划你会很快得出直线与直线、直 线与平面、平面与平面的位置关系. 4.注意与平面几何的比较 对平面图形的研究是讨论立体图形的基础;立体图形的问题常常转化为平面图形的问题 来解决.将立体几何与平面几何的“同类问题”进行比较学习有助于我们学好立体几何.例 如,在平面几何中,两直线的位置关系只有两种,但在立体几何中两直线的位置关系却有三 种;四边相等的四边形在平面几何中的图形是菱形,但在立体几何中的图形是菱形或空间四 边形. 5.立体几何中,通常画平行四边形表示平面,但应注意以下几点: (1)所画的平行四边形是表示它所在的整个平面,需要时我们可以把它扩展出去,这同 画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画图时也只能画一段来表示直线. (2)加“通常”两字的意思,是因为有时根据需要也可用其他的平面图形,如菱形、封 闭的曲线图形等来表示平面. (3) 画表示水平平面的平行四边形时, 通常把它的锐角画成 45°, 横边画成邻边的两倍, 也可根据图形的不同需要来画,并不强求一律.画相交平画时,一定要画出它们的交线. 6.立体几何中,被遮住的部分可画成虚线或不画,为了不产生混淆,立体图形的直观图 中,辅助线和图形中原有的线同样处理,可见部分不画成虚线. 7.对异面直线的概念要着重明确如下几点: (1)两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内,因此它们不相交也不平行. (2)分别在某两个平面内的两条直线,不一定是异面直线,如图 3.

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(3)画异面直线时,以辅助平面作衬托,更为直观,如图4.

8.注意“降维”思想的应用,将空间的问题转化为平面内的问题,将已知条件与所求结 论集中到同一个平面内,很多关系就容易发现了. 9.要注意培养空间意识 同学们在复习立体几何时要有一个意识,即立体几何是平面几何的“升级” .在复习中要 有意识地将平面几何中的“点、线、面”问题“升级”为立体几何中的“线、面、体”问题, 养成这种意识,对以后的空间意识的学习习惯的养成是很有帮助的.

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