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高中数学必修4公开课课件2.1 平面向量的实际背景及基本概念_图文

第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念. (重点) 2.能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量是否 平行、共线、相等.(重点) 同学们都知道,数学是一门基础学科,是解决其它 一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它 学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它 学科起作用.比如同学们学习的物理,它与数学就有非常 密切的关系. 嘻嘻!大笨 猫! 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度 逃窜,如果猫由B向正东方向以每秒10 米速度追赶,那么猫能否抓到老鼠? 为什么? 唉, 哪儿去了? A B 向量的物理背景与概念 请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方 向的量? 在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在 取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长度、质量 等.还有一些量,如我们在物理中所学习的位移、力是既 有大小又有方向的量,例如:物体受到的重力是竖直向 下的(图2.1-1),物体的质量越大,它受到的重力越大; 物体在液体中受到的浮力是竖直向上的(图2.1-2),物 体浸在液体中的体积越大,它受到的浮力越大;被拉长 的弹簧的弹力是向左的(图2.1-3),被压缩的弹簧的弹 力是向右的(图2.1-4),并且在弹性限度内,弹簧拉长 或压缩的长度越大,弹力越大. 一、向量的定义 既有大小,又有方向的量叫做向量. 数量只有大小,可以进行代数运算、比较大小;向量有方 向,大小,不能比较大小. 思考:时间,路程,功, 速度,加速度是向量 吗?为什么? 二、向量的表示方法 A(起点) B(终点) (1)几何表示法: 有向线段 (起点、方向、长度) (2)字母表示法: a ,b, AB 问题1:“向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说 法对吗? 不对,①向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与 起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同 的向量;②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点 不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 三、向量的有关概念 ??? ? 1.向量的长度(模):向量AB的大小,也就是向量 AB 的长 度(或称模). 记作|AB| 2.两个特殊向量: 零向量---长度为0的向量叫做零向量,记作 0. 单位向量---长度等于1个单位的向量叫作单位向量. 问:在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P, 那么它们的终点的集合组成什么图形? P 例1.如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中 分别用向量表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C 两地的实际距离(精确到1km). 解: AB 表示A地至B地的位移,且 ??? ? AB ? ??? ? AC ? 200km . AC 表示A地至C地的位移,且 280km . 四、向量间的关系 (1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. D A C 记作:a = b B A B D C a b . o (2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如: a b c 平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c 规定:0与任一向量平行. C OA = a O A B . l OB = b OC = c 问:把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ,这时它们是不是平行向量? 各向量的终点与直线l之间有什么关系? 问题2:两个向量是否可以比较大小? 向量不能比较大小,我们知道,长度相等且方向相 同的两个向量表示相等向量,但是两个向量之间只有相 等关系,没有大小之分,“对于向量 或 a ? b ”这种说法是错误的. a、b , a?b 例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中 ???? ??? ? ??? ? 与 OA、 OB、 OC 相等的向量. ???? ??? ? ???? 解:OA ? CB ? DO; ??? ? ??? ? ??? ? OB ? DC ? EO; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OC ? AB ? ED ? FO. 方向相同 长度相等 1.判断下列说法的正误. ???? ??? ? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则A、B、C、D (×) 四点必在同一直线上; ②单位向量都相等; (×) ③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向 量)不相等; ④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. (×) (×) 2.如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是 平行四边形,请分别写出: (1)与CM长度相等且共线的向量;(2)与ED相等的向量; 解:(1)DE、BF、FB、FA、 AF、ED、MC (2)FB、AF、MC B D C F A E M 3.已知边长为2的等边三角形ABC,求BC边上的中线向量 ???? ???? AD 的模 | AD |. ??? ? 答案: | AD |? 3 向量的概念: 向量的表示方法: 零向量、单位向量的概念: 平行向量的定义: 相等向量的定义: 共线向量与平行向量的关系: 无论哪个时代,青年的特点总是怀抱着各 种理想和幻想。这并不是什么毛病,而是 一种宝贵品质。 ——加里宁

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