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人教A版高中数学选修1-1课件1.1.2、3四种命题及其相互关系_图文

高中数学课件
灿若寒星整理制作

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

1.了解四种命题的概念. 2.认识四种命题的结构,会写某命题的逆命题、否命题和逆 否命题. 3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系. 4.会利用命题的等价性解决问题.

1.结合命题真假的判定,考查四种命题的结构.(重点、难 点)
2.对条件式的结论进行否定.(易错点) 3.理解四种命题的关系.(重点) 4.等价命题的应用.(难点)

下列语句中是命题的有,是①真②命④题的是.(填序号) ④ ①四边相等的四边形是平行四边形; ②ax2+bx+c=0是一元二次方程; ③2是质数吗? ④x2+x+1>0.

1.四种命题

栏目 内容
名称

定义

表示形式

互逆命题

对于两个命题,如果一个命题

的条件结和论结论条分件别是另一个命 原命题为“若p,

题的和,那么这样互的逆两命个题命题 叫做.其中一个命题叫原命题,

则q”;逆命题为 “”若q,则p

另一个叫做原命逆题命的题.

栏目 内容

定义

表示形式

名称

互否命题
互为逆否 命题

对于两个命题,其中一个命题的条 件和条和,件结这的论样否恰的定好两是个结另命论一题的个叫否命做定题互的否命 题.如果把其中的一个命题叫做原 命题,那么另一个叫做否原命命题题的.
对于两个命题,其中一个命题的条 件和结论恰好是另一个命题的
结和论,的这否样定的两个条命件题的叫否做定互为逆否 命题.如果把其中的一个命题叫做 原命题,那么另一个叫做原命题的.

原命题为“若p, 则q”;否命题 为“ ” 若綈p, 则綈q
原命题为“若p, 则q”;逆否命 题为“若綈q, 则綈p”

逆否命题

2.四种命题之间的相互关系

3.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况.

原命题 真 真 假 假

逆命题 真 假 真 假

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有的相真同假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性.没有 关系

1.命题“若p,则綈q”的逆否命题是( )

A.若p,则q

B.若綈p,则q

C.若q,则綈pD.若綈q,则綈p

答案: C

2.命题“若a>2,则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析: 若a>2,则a>6是假命题;逆命题:若a>6,则a>2 是真命题;否命题:若a≤2,则a≤6是真命题;逆否命题:若a≤6, 则a≤2是假命题.

答案: B

3.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为________. 答案: 若a≤b,则2a≤2b-1

4.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的 逆命题、否命题和逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0; (2)当a≤2时,f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增. 解析: (1)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0. 逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数. 否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0. 逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.

(2)原命题:若a≤2,则f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递 增.
逆命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增,则a≤2. 否命题:若a>2,则f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上不单调递 增. 逆否命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上不单调递增,则 a>2.

(2011·陕西高考)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b

解析: 命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|= |b|,则a=-b”,故选D.
答案: D

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线 垂直于该平面;
(2)如果x>10,那么x>0. [解题过程] (1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么这条直 线垂直于该平面内的两条相交直线; 否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么 这条直线不垂直于该平面; 逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直 于该平面内的两条相交直线.

(2)逆命题:如果x>0,那么x>10; 否命题:如果x≤10,那么x≤0; 逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.

[题后感悟] (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条 件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据 四种命题的结构写出所求命题.
(2)交换原命题的条件和结论,得到逆命题.同时否定原命 题的条件和结论,得到否命题.交换原命题的条件和结论,并 且同时否定,得到逆否命题.

1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实根; (2)“若x=2,则x2+x-6=0”; (3)垂直于同一平面的两直线平行. 解析: (1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n <0. 否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根. 逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0.

(2)逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”. 否命题:“若x≠2,则x2+x-6≠0”. 逆否命题:“若x2+x-6≠0,则x≠2”. (3)原命题:若两直线垂直于同一平面,则两直线平行. 逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一 个平面. 否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直 线不平行. 逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直 于同一平面.

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并 判断其真假.
(1)若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac; (2)函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是减函数时, loga2<0.

[策略点睛]

[解题过程] (1)

名称 原命题 逆命题 否命题 逆否命题

命题

真假

若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac



若实数a,b,c满足b2=ac,则a,b,c成 等比数列



若实数a,b,c不成等比数列,则b2≠ac 假

若实数a,b,c且b2≠ac,则a,b,c不成 等比数列



(2)

名称

命题

真假

原命题 逆命题

若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上 是减函数,则loga2<0



若loga2<0,则函数y=logax(a>0且a≠1)在(0, +∞)上是减函数



否命题

若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上 是增函数,则loga2≥0



逆否命题

若loga2≥0,则函数y=logax(a>0且a≠1)在 (0,+∞)上是增函数



[题后感悟] (1)如何写出一个命题的另外三种形式?①分清 原命题的条件p和结论q;不是“若p,则q”形式时,最好改写 成“若p,则q”的形式;②“若p,则q”与“若q,则p”互逆, 与“若綈p,则綈q”互否,与“若綈q,则綈p”互为逆否.
(2)如何判断四种命题的真假? 互为逆否的命题同真假.特别地,一个命题的“逆命题” 和“否命题”互为逆否命题.

2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真 假.
(1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形; (3)若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,则该二次函 数图象与x轴有公共点.

解析: (1)该命题为假.因为当c=0时,ac2=bc2. 逆命题:若ac2>bc2,则a>b,为真. 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,为真. 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,为假. (2)该命题为真. 逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互 补,为真. 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内 接四边形,为真.

逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对 角不互补,为真.
(3)该命题为假.∵当b2-4ac<0时,二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根,因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共 点.
逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点, 则b2-4ac<0,为假.
否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac≥0,则该 二次函数图象与x轴没有公共点,为假.
逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共 点,则b2-4ac≥0,为假.

判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a +1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.

解答本题可先写出已知命题的逆否命题,再利用判别式 求出a的范围,然后判断命题的真假,另外也可利用集合的包 含关系判断.

[规范作答] 方法一:原命题的逆否命题:已知a,x为实数, 若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空 集. … … … … … … … … … … … … … … … … … 4分
判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. … … … 6分 因为a<1,所以4a-7<0. … … … … … … … … … 8分 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点, 所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. … … … … … … … … … 12分

方法二:命题 p:关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有非空解集.命题 q:a≥1.
所以 p:A={a|关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有实数解}={a|(2a+1)2-4(a2+2)≥0}={a|a≥74}.
q:B={a|a≥1}.…………………………………8 分 因为 A?B,所以“若 p,则 q”为真.
所以“若p,则q”的逆否命题“若綈q,则綈p”为真. 即原命题的逆否命题为真. … … … … … … … … 12分

[题后感悟] (1)由于原命题与其逆否命题是等价的,因此当 证明原命题感到困难或对原命题不易判断真假时,可考虑证明 或判断它的逆否命题是否成立.
(2)利用逆否命题与原命题等价,可以省去否定条件和结论 时的过程,简化问题的求解.

3.证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,若f(a)+ f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
证明: 证法一:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是R 上的增函数,a,b∈R,
若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).” 若a+b<0,则a<-b,b<-a, 又∵f(x)在R上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),

即逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题. 证法二:假设a+b<0,则a<-b,b<-a, 又∵f(x)在R上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾. 因此假设不成立,故a+b≥0.

1.正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题
一般地用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和綈q 分别表示p和q的否定,因此,若原命题为:“若p,则q”,则 其逆命题为:“若q,则p”;否命题为:“若綈p,则綈q”; 逆否命题为:“若綈q,则綈p”.

为了便于书写各种命题,当原命题不是“若p,则q”的形 式时,应先将命题写成规范形式“若p,则q”,然后再进行书 写.例如:写出命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题、 否命题、逆否命题.由于原命题不是以“若p,则q”的形式给 出,因此先把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若函 数f(x)为偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”,则:
逆命题:若f(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)为偶函数; 否命题:若函数f(x)不是偶函数,则f(x)的图象不关于y轴对 称;
逆否命题:若f(x)的图象不关于y轴对称,则函数f(x)不是偶 函数.

2.四种命题的真假判断 (1)原命题为真,它的逆命题可以为真,也可以为假. (2)原命题为真,它的否命题可以为真,也可以为假. (3)原命题为真,它的逆否命题一定为真. (4)互为逆否的命题是等价命题,它们同真同假,同一个命 题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题,所以它们同真同 假. [特别提醒] 原命题的逆命题和原命题的否命题的真假性相 同.

◎用“若p,则q”的形式写出(1)的原命题,(2)的否命题. (1)负数的平方是正数. (2)正方形的四条边相等. 【错解】 (1)原命题:若一个数是负数的平方,则这个数 是正数. (2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边都不 相等.

【错因】 (1)分不清命题的条件和结论.在原命题中,把 “负数的平方”这个结论当成条件.一个数是负数,这是所给 实数的属性,应该是条件,平方运算后所得数的属性应该是结 论.
(2)对于(2)的否命题,把“四条边相等”的否定误写成了 “四条边都不相等”.实际上“四条边相等”是“四条边都相 等”的意思.它的否定应该是“四条边不都相等”.
【正解】 (1)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正 数.
(2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不都 相等.

练考题、验能力、轻巧夺冠


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