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人教版高中数学选修2.3.1双曲线及其标准方程2ppt课件_图文

2.3.1 双曲线及其标准方程(2) 1、复习回顾:双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 通常|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0). 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲 线的焦距. M 符号表示: | |MF1|-|MF2| | = 2a ( 2a<|F1F2| ) F1 F2 (1) 若常数2a=0,则点的轨迹是什么? 常数2a=| | MF1|-|MF2| |=0, 此时点的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线 (2)定义中为什么要正常数2a<|F1F2|呢? F1 O F2 M ①2a能否等于|F1F2|? P F1 F2 Q 2a= | | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的射线F1P, F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。 ②2a能否大于|F1F2 |呢? 此时无轨迹。 所以定义中的常数2a必须为正,且2a<|F1F2|. 2、双曲线的标准方程 x2 a2 y2 ? b2 ? 1 (a>0,b>0) F1 y M o F2 x 这个方程叫做双曲线的标准方程 , 它所表示的双曲线的焦点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2+b2. 在上面我们所得到的双曲线方程中,只要互换x, y,便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程: y2 x2 ? 2 a b2 ? 1 (a>0,b>0) M y F2 x o F1 它的焦点是 F1(0,-c),F2(0,c), a、b、c的关系仍是 c2=a2+b2. 小结:(1)双曲线标准方程中有两个待定常数a、b,因此, 求双曲线方程时,一般应有两个已知条件;但在不知道 焦点所在轴的情况下,应分两种情况进行讨论. (2)方程中a,b,c皆为正数且c最大, 它们符合勾股 定理的结构,c2=a2+b2. (3)哪个二次项系数是正的,焦点就在相应的哪个轴上. 焦点在x轴 x2 a2 y2 ? b2 ? 1 (a>0,b>0) 焦点在y轴 y2 x2 (a>0,b>0) ? ? 1 2 2 a b 求双曲线的标准方程 与求椭圆的标准方程的方法一样,若由题设条件易于确定方程 的类型,可先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b 的值,即“先定型,再定量”.若两种类型都有可能,则应进 行分类讨论. 例1 (1)求焦点是 F1(0, -4), F2(0,4)且过点 P(2 2, -6)的双曲线的标准方程; 9 (2)求焦点在 y 轴上, 且过点 P1(3, -4 2), P 2( , 4 5)的双曲线的标准方程. 【思路点拨】 b的值. (1)是利用待定系数法求双曲线的标准方程,待定 系数法的关键在于先定位,即确定方程的形式,再定量,即确定a、 (2)是典型的待定系数法求方程问题, 列方程组容 1 1 易,但解出 a 、b 难,可将 2、 2作整体换元, a b 2 2 方程组就简化了. y2 x2 【解】 (1)设所示标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0) a b 且 c=4, ∵曲线过点 P(2 2,-6), ?36 8 ? 2 - 2=1, b ∴有? a ? 2 2 ?a +b =16, ?a2=12, ∴? 2 ?b =4, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 12 4 y2 x2 (2)设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0). 因 a b 为 P1,P2 在双曲线上,所以 P1,P2 的坐标适合 9 ? ?32 2 - 2=1, b ?a 方程, 所以有? 81 ?25 2- 2 = 1, ? a 16 b ? ?32m-9n=1, ? 程组可化为? 81 25m- n=1, ? 16 ? 2 ? a =16, ? ? 2 ? b =9. ? 1 1 令 m= 2 , n= 2.则方 a b ? ?m= 1 , 16 ? 解得? 1 ? n= . ? 9 ? 即 y2 x2 ∴所求方程为 - =1. 16 9 利用定义法求方程 利用定义法求双曲线的标准方程,首先找出两个定点(即双曲线 的两个焦点);然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差 (或差的绝对值)是否为常数,这样确定c和a的值,再由c2=a2+b2 求b2,进而求双曲线的方程. 例2 动圆M与两定圆F1:x2+y2+10x+24=0,F2:x2+y2-10x -24=0都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【思路点拨】 外切:圆心距等于半径和 → |MF2|-|MF1|=6 → 点M轨迹是双曲线一支 → 方程 【解】 将圆的方程化成标准式: F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1, F2:(x-5)2+y2=72,圆心F2(5,0),半径r2=7. 由于动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切, 所以|MF1|=r+1,|MF2|=r+7, ∴|MF2|-|MF1|=6, ∴点 M 的轨迹是双曲线的左支,且焦点 F1(- 5,0),F2(5,0), ∴c=5,且 a=3,∴b =c -a =5 -3 =16. x2 y2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 - =1(x<0). 9 16 2 2 2 2 2 变式1:两焦点距离是8,双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为 6. 变式2:双曲线经过两点 与 . (?2,1) 变式3:与双曲线 且经过点 2 y 相同焦点,并 x2 ? ?1 5 4 求下列动圆圆心的轨迹方程: (1)与圆 C: C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相内切,且过点 A(2,0) ; (2)与圆 C1 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1 和圆 C2 : x2 ? ( y ?1)2 ? 4 都外切; (

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