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惠州市2017-2018学年第一学期期末考试高二数学试题(理科)

惠州市 2017—2018 学年第一学期期末考试

高二数学试题(理科)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息 点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上, 写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. (1)设命题 p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ,则 ? p 为( A. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 C. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 (2)函数 y ? ( x ? 2) 2 在 x ? 1 处的导数等于( A. ? 1 B. ? 2
2 2

) B. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ) D. ? 4
2

C. ? 3

(3)已知△ABC 的顶点 B, C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3

且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是(
A. 2 3 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.6
2


D.12

C. 4 3 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(4)设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的(

(5) 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,?,x10 ,其均值和方差分别为 x 和

s 2 ,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方
差分别为(
2

)
2

A. x , s ? 100

B. x ? 100 , s ? 100
2

2

C. x, s 2

D. x ? 100, s

2

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(6)已知平面 ? 的法向量是 (2,3,?1) ,平面 ? 的法向量是 (4, ? ,?2) ,若 ? ? ? , 则 ? 的值是( ) A. ? 6 B.6 C. ?

10 3

D.

10 3

(7)计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即“逢 2 进 1” ,如 ( 1000 ) 2 表示 二进制数,将它转换成十进制形式是 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 9 ,那么将二进制数
3 1 0

( 111?11) 2 转换成十进制形式是( ?? ?? ?
10 个1



A. 2 9 ? 2

B. 210 ? 2

10 C. 2 ? 1

D. 2 9 ? 1

(8)某校高二年级有 1221 名同学,现采用系统抽样方法抽取 37 名同学做问卷调查,将 1221 名同学按 1,2,3,4,...,1221 随机编号,则抽取的 37 名同学中,标号落入区 间[496,825]的人数有( A.12 人 ) C.10 人 D.9 人

B.11 人

(9) 若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,则点 P(m, n) 在直线 x ? y ? 4 上的概 率是( A. ) B.

1 3

1 4

C.

1 6

D.

1 12
)

(10) 如图程序框图中,若输入 m ? 4, n ? 10 ,则输出 a,i 的值分别是( A.12,4 B.16,5 C.20,5 D.24,6

(11)某中学早上 8 点开始上课,若学生小明与小方均在早上 7:40 至 8:00 之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小明比 小方至少早 5 分钟到校的概率为( ) A.

9 32

B.

1 2

C.

3 64

D.

5 64

(12) 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单 位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2
高二数学试题(理科)



B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2
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二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)函数 f ( x) ? ? x 3 ? 4 x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 (14)如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的 得分情况画出的茎叶图.若甲运动员的中位数为 a,乙运动 员的众数为 b,则 a ? b ? ________. (15) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 和 N 分别是 .

A1 B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为



(16)已知抛物线 y 2 ? 12x 的焦点为 F,若点 A,B 是该抛物线上的点, ?AFB ?

?
2




线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则

MN AB

的最大值为

三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、3、4。现 从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (2)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片, 求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率.

(18) (本小题满分 12 分) 某种产品的广告支出 x(单位: 万元)与销售收入 y(单位: 万元)之间有下列所示的对应数据. 广告支出 x/万元 销售收入 y/万元 (1)求出 y 与 x 的回归直线方程; (2)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少? 1 12 2 28 3 42 4 56

(参考公式: b ?

?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x) 2

?x
i ?1

,a ? y ? b x)

?

?

2 i

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(19) (本小题满分 12 分) 为了调查某校学生体质健康达标情况,现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学 生进行体育测试.根据体育测试得到了这 m 名学生的各项平均成绩(满分 100 分),按照以 下区间分为七组: [30,40) , [40,50), [50,60), [60,70) , [70,80), [80,90) , [90,100] ,并得 到频率分布直方图(如图).已知测试平均成绩在区间[30,60)内有 20 人. (1)求 m 的值及中位数 n; (2)若该校学生测试平均成绩小于 n,则学校应适 当增加体育活动时间.根据以上抽样调查数据,该 校是否需要增加体育活动时间?

(20) (本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A 、 B 两点.
2

(1)若 AF ? 4 ,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值.

(21)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3, PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)证明 MN∥平面 PAB; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.

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(22) (本小题满分 12 分)

x2 y2 如图, 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 过点 F 的直线交椭圆于 A ,B 两 a b
点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60° . (1)求该椭圆的离心率; (2)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点. 记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

y A G O F D B E x

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