当前位置:首页 >> 工作总结/汇报 >>

等差数列知识点总结及练习(学生版)


等差数列知识点总结
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1.等差数列的定义 一般地, 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d=(n-m)d=p. 3.等差中项 x+y 如果三个数 x,A,y 组成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项,如果 A 是 x 和 y 的等差中项,则 A= . 2 4.等差数列的常用性质 * (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q, * 则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ). * (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ; 2 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 5.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= ,或等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其前 n 项和公式为 Sn 2 n?n-1? =na1+ d. 2 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 2? 2 ? 7.最值问题 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式: Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,② n?a1+an? ①+②得:Sn= . 2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数 列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; * (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; 2 (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An +Bn. 注: 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.

nd

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n,数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A,B 为常数).

1

回顾:
1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差 d 的值为( A. B. 1 ) C. D.﹣1

2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列

) B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 D.不是等差数列 D.26 D. D.a1a8=a4a5

3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若 an=2,则 n 等于( ) A. 23 B.24 C.25 4.两个数 1 与 5 的等差中项是( ) A. 1 B. 3 C. 2 5. (2005?黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( A. a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 ) C.a1+a8<a4+a5

考点 1:等差数列的通项与前 n 项和
题型 1:已知等差数列的某些项,求某项
【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法 【例 1】已知

?an ?为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ?
,求 ak . ?an ?为等差数列, am ? p, an ? q ( m, n, k 互不相等)

对应练习:1、已知

2、已知

5 个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为 165 ,求这 5 个数.

题型 2:已知前 n 项和 Sn 及其某项,求项数.
【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 a1 及 d

,代入

Sn 可求项数 n ;

⑵利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 【例 2】已知

a1 ? an ,代入 Sn 可求项数 n .

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n
3 n( n ? 1) ? 63 ? n1 ? 6, n2 ? 7 2

S n ? 18n ?

对应练习:3、若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且所有项的和为 780,求这个数列的项数

n.

2

4.已知

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a4 ? 7, Sn ? 100 ,则 n ? .

题型 3:求等差数列的前 n 项和
【解题思路】 (1)利用

Sn 求出 an ,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.

(2)含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论. 【例 3】已知

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? 12n ? n 2 .

(1) ⑵求 ⑶求

a1 ? a2 ? a3



a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

; .

对应练习:5、已知

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S10 ? 100, S100 ? 10 ,求 S110 .

考点 2 :证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有: 1、定义法:

an?1 ? an ? d

( n ? N? ,

d

是常数) ?

?an ?是等差数列;

2、中项法:

2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列; an ? kn ? b ( k , b 是常数) ? ?an ? 是等差数列;
Sn ? An2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?an ? 是等差数列.
Sn (n ? N ? ) . n
3

3、通项公式法:

4、项和公式法: 【例 4】已知

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

求证:数列 解:

?bn ?是等差数列.

对应练习:6、设

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? pnan (n ? N ? ) , a1 ? a2 .
常数

(1)

p 的值;

(2) 证:数列

?an ? 是等差数列.

考点 3 :等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【例 5】1、已知 2、知

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a6 ? 100,则 S11 ? ;

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 Sm?n ? .

对应练习:7、含

2n ? 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( 2n ? 1 n ?1 n ?1 n ?1 A. C. D. B. n n n 2n



8.设

Sn 、 Tn 分别是等差数列 ?an ? 、 ?an ? 的前 n 项和,

S n 7n ? 2 a ,则 5 ? . ? Tn n?3 b5

考点 4: 等差数列与其它知识的综合
【解题思路】1、利用

an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求; Tn 的单调性.
1 2 11 n ? n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11 , 2 2

2、求出 Tn 后,判断 【例 6】已知

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ?

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
4

⑴ 数列

?an ?、 ?bn ?的通项公式;
k 6 ,求使不等式 Tn ? 对 ?n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值. 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

⑵设

Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和, cn ?

对应练习:9.已知 ⑴

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) .
数列

?an ?的通项公式;

⑵数列

?an ?中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若存在,求最小的正整数

k ,若不存在,说明理由.

课后练习:
1.(2010 广雅中学)设数列 A.

?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?8 , a15 ? 5 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则
C.

S10 ? S11 B. S10 ? S11

S9 ? S10

D.

S9 ? S10

2.在等差数列 3.数列

?an ?中, a5 ? 120,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? .

?an ?中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ? . ?an ?共有 10 项,其奇数项之和为 10 ,偶数项之和为 30 ,则其公差是.

4.已知等差数列 5.设数列

?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ?1 ,则通项 an ? .

6.从正整数数列 1,2,3,4,5, ? 中删去所有的平方数,得到一个新数列,则这个新数列的第 1964 项是.

5


相关文章:
等差数列知识点总结及练习(精华word版).doc
等差数列知识点总结及练习(精华word版) - 等差数列的性质总结 1.等差数列
等差数列知识点总结及练习(含答案)_图文.pdf
等差数列知识点总结及练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。等差数列知识点总结及练习(含答案),等差数列知识点,等差数列题目及答案,等差数列知识点总结,等差数列...
等差数列知识点总结及练习.doc
等差数列知识点总结及练习 - 等差数列 【知识点】 1.等差数列的定义:一般地,
等差数列知识点归纳和习题.doc
等差数列知识点归纳和习题_数学_高中教育_教育专区。等差数列知识点归纳和习题 ...练习 1.根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7……; (4)9...
等差数列知识点总结及配套练习.doc
等差数列知识点总结及配套练习 - 等差数列定义与性质 1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数)( n ? 2 ); 2.等差数列通项公式: an ? a1 ? (...
等差数列知识点总结及练习(含答案).doc
等差数列知识点总结及练习(含答案) - 1.等差数列的定义: an ? an?1
高中数列知识点总结及练习题附答案.doc
高中数列知识点总结及练习题附答案 - 数列知识总结 ① S n ? a1 ? a
等差数列知识点总结.doc
等差数列知识点总结_数学_高中教育_教育专区。等差...定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它...bn ? 为等差数列 练习: 1.等差数列 {a n } ...
高中数列知识点总结及练习题.doc
高中数列知识点总结及练习题 - 数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式:
等差数列知识点总结.doc
等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1.等差数列的定义 一般地,如果...对应练习: 1、已知 ?an ? 为等差数列, am ? p, an ? q ( m, n, k...
高中数列知识点总结及练习题附答案.doc
高中数列知识点总结及练习题附答案 - 数列知识总结 ① S n ? a1 ? a
高一数学等差数列知识点及练习题(人教版).doc
高一数学等差数列知识点及练习题(人教版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。内
等差等比数列知识点总结和练习题(含答案).doc
等差等比数列知识点总结和练习题(含答案) - (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 an } ...
等差数列知识总结与练习题.doc
等差数列知识总结与练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 等差数列
等差等比数列知识点总结.doc
等差等比数列知识点总结 1.等差数列: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数 d ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 d...
等差数列知识点+基础练习题.doc
等差数列知识点+基础练习题 - 等差数列知识点 1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) ( n ? 2) ; 2.等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ?...
数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题.doc
数列复习基本知识点及经典结论总结 1、数列的概念:数列是按一定次序排成的一列...2.等差数列的有关概念: 1、 等差数列的定义:即 a n ? an?1 ? d (n ...
(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案).doc
(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案) - 2013 一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n ...
人教A版数学必修五《等差数列》知识点及练习题.doc
人教A版数学必修五《等差数列》知识点及练习题 - 学大教育广州技术有限公司佛山分公司高中数学必修 5:等差数列 知识点及练习题(人教版) 一.等差数列基本概念 1....
等比数列知识点总结与典型例题 (精华版).doc
等比数列知识点总结与典型例题 (精华版) - 等比数列知识点总结与典型例题 1、