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高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案 新人教A版必修4

1.2.1 任意角的三角函数
课前预习学案 一、预习目标: 1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法. 二、预习内容: 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 二、重点、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学习过程 (一)复习: 1、初中锐角的三角函数______________________________________________________ 2、在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正 切依次为_______________________________________________ (二)新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设 α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为

( x, y ) ,它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么
(1)比值_______叫做α 的正弦,记作_______,即________ (2)比值_______叫做α 的余弦,记作_______,即_________ (3)比值_______叫做α 的正切,记作_______,即_________; 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?

3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ①正弦值

( y ? 0, r ? 0 ) ; ②余弦值

y 对于第一、二象限为 _____ ( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为 ____ r
x 对于第一、四象限为 _____ ( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为 ____ r

( x ? 0, r ? 0 ) ; ③正切值

y 对于第一、 三象限为_______ ( x , y 同号) , 对于第二、 四象限为______ ( x, y x

异号) . 4.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:__________________________ 即有:_________________________ _________________________ _________________________ 5.当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足_______________时,有三角函数正弦、 余弦、 正切值的几何表示——三角函数线。 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 ( x , y ) 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或 P 其反向延长线交与点 T .

y P
M

y P A T

T A

o
y

x

o

M
(Ⅰ)

x

(Ⅱ)

T
A

y
M A

M

o

x

o

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ?, MP cos ? ? ? ? x ? OM _______ , ________ r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ?. AT _________ x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

(三)例题 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。

0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 变式训练 1:已知角 ? 的终边过点 P

例 2.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

3? . 2

变式训练 2:求 3 的正弦、余弦和正切值.

5?

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值。

变式训练 3: 求函数 y ? cos x ? tan x 的值域

cos x

tan x

例 4..利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1.

sin

2? 4? 与 sin 3 5

2. tan

2? 4? 与 tan 3 5

(四) 、小结

课后练习与提高

一、选择题

1. 为(

? 是第二象限角,P( x , 5 )为其终边上一点,且


cos? ?

2 x 4 ,则 sin ? 的值

A.

10 4

B.

6 4

C.

2 4

D.

?

10 4

2.

? 是第二象限角,且

cos

?
2

? ? cos

?

? 2 ,则 2 是(
C. 第三象限角

) D. 第四象限角

A. 第一象限角

B. 第二象限角

? ? ??? , 2 那么下列各式中正确的是( 3、如果 4 ) A. cos ? ? tan ? ? sin ? B. sin ? ? cos ? ? tan ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? D. cos ? ? sin ? ? tan ?
二、填空题

o s ? ? 0 ,sin ? ? 0 , 4. 已知 ? 的终边过 ( 3a ? 9,a ? 2 ) 且c 则 ? 的取值范围是
5. 函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 6. sin 2 ? cos 3 ? tan 4 的值为 三、解答题 7. 已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为( ? 3, y ) ( y?0) ,且 cos?和 tan ? 。



(正数,负数,0,不存在)

sin ? ?

2 y 4 ,求


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