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[中学联盟]广东省 新课标人教A版高中数学复习课件:数列通项公式的求法(共21张PPT)_图文

数列通项公式的求法 数列的通项公式的定义:如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的函数 关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的通项公式,即 an ? f (n) 数列通项公式的求法,主要有,观察法, 公式法,另外还有,待定 系数法;由数列的递推公式求通项公式法,迭加法,迭乘法,换元法等. 注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也 并非是唯一的. 数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示: (1)给出最初的n项或一项. (2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫 做递推法,后者称为该数列的递推公式. 一、观察法 (1) 1,?1,1,?1,1,?1?? ( 2) 1,0,1,0,1,0, ?? 写出下列数列的一个通项公式 (3) 3,5,3,5,3,5, ?? 1 ? (?1) n?1 1 2 3 4 5 n ?1 ( 4) , , , , , ?? (1)an ? (?1) (2)an ? 2 3 4 5 6 2 1 1 1 1 1 (3)an ? 4 ? (?1)n (4)an ? n (5) , , , , , ?? 2 6 12 20 30 n ?1 5 13 33 81 1 1 (5)an ? (6) an ? n ? n ?1 (6) 2, 2 , 4 , 8 , 1 6 , ?? n(n ? 1) 2 15 24 35 48 63 2 ( 7 ) , , , , , ?? (n ? 3) ? 1 2 5 1 0 1 7 2 6 (7 ) an ? n2 ? 1 (1) 1,?7,13,?19,25, ?? ( 2) 9,99,999,9999 , ?? 写出下列数列的一个通项公式: (3) 7,77,777,7777 , ?? (1) an ? (?1)n?1 (6n ? 5) 1 3 1 7 9 7 ( 4 ) , , , , , ?? n n ( 3 ) a ? ( 10 ? 1 ) (2) an ? 10 ?1 4 7 2 13 16 n 9 2 4 8 16 2n ? 1 (5) a ? ( 2 ) n (5) , , , , ?? ( 4) a n ? n 3 3 9 27 81 3n ? 1 1 3 5 7 2n ? 1 ( 6 ) , , , , ?? ( 6) a n ? n 2 4 8 16 2 2 8 15 24 ( n ? 1 ) ?1 n ?1 ( 7 ) 1 , ? , ,? , ?? (7) an ? (?1) 5 7 9 二、公式法: 2n ? 1 三、累差迭加法:基本原理是等差数列推导通项公式。 (1) 求数列1,3,6,10,15,?的一个通项公式 法一:原数列可写为 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,??, 故其通项公式为 n(n ? 1) an ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 2 法二:由已知条件,得 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4, ?? an ? an ?1 ? n. 将上述n ? 1个等式相联系加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n. ? an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2 (2) 求数列a1 ? 3, an?1 ? an ? 2n?1的通项公式 解 :? a1 ? 3, an ?1 ? an ? 2n ?1 ? a2 ? a1 ? ?21?1 ? ?20 a3 ? a2 ? ?22?1 ? ?21 a4 ? a3 ? ?23?1 ? ?22 a4 ? a3 ? ?23?1 ? ?2 2 ? ? an ? an?1 ? ?2n?2 ? 将上述各式相加 ,得 an ? a1 ? ?(20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?2 ) ? an ? a1 ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?2 ) 若数列?an ?满足an?1 ? an ? f (n), 其中f (n)是等差数列或 等比数列 , 则可用 累差迭加法 求和. 四、迭乘法:基本原理是等比数列推导通项公式。 1 ? 2n ?1 ? 3? ? 4 ? 2n ?1 1? 2 (1) 求数列1,3,27,729,59049 ?的一个通项公式 a3 a a4 从已知分析得: 2 ? 3, ? 9 ? 32 , ? 27 ? 33 , a1 a2 a3 a5 an?1 an ? 81 ? 34 , ? ? 3n?2 , ? 3n?1 a4 an ? 2 an?1 ? a2 a3 a4 a5 an?1 an ? ? ? ? ? ? 31 ? 32 ? 33 ? 34 ?3n?2 ? 3n?1 a1 a2 a3 a4 an?2 an?1 n ( n ?1) an 1? 2?3??? n ?1 ? ?3 ?3 2 a1 ? an ? a1 ? 3 n ( n ?1) 2 ?3 n ( n ?1) 2 若数列?an ?满足 五、递推法。 an ?1 ? f (n),则可用 迭乘法. an (1)数列?an ? 中前n项和为Sn ? 2n2 ? 3n ?1, 求通项an . 解(1)当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 ?12 ? 3?1 ?1 ? ?2, (2)当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n 2 ? 3n ? 1) ? ?2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 1? ? 2n 2 ? 3n ? 1 ? 2n 2 ? 4n ? 2 ? 3n ? 3 ? 1 ? 4n ? 5 经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为 (一)已知前n项和公式求通项公式 ? ? 2, 当n ? 1时 an ? ? ? 4n ? 5, 当n ? 2时 ?an ?的前项和为Sn ? 3n2 ? 2n, 求通项公式an

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