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直线的交点坐标与距离公式——上课用_图文

3.3
直线的交点坐标与 距离公式

主要内容
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离

3.3.1
两条直线的交点坐标

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点坐标?
用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写 出这两条直线的方程,然后联立求解.

几何概念与代数表示

几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A

代数表示

A(a, b)

l : Ax ? By ? C ? 0

A的坐标满足方程
l : Aa ? Bb ? C ? 0

A的坐标是方程组的解

? ? ?

A1x A2 x

? ?

B1 B2

y y

? ?

C1 C2

? ?

0 0

据此,我们有

方程组

A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0

一组 无数组 无解

两条直线L1,L2的公共点

一个 无数个 零个

直线L1,L2间的位置关系

相交 重合 平行

小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点,也可能 没有公共点(平行) 3.任意给两个直线方程,其对应的方程组得解 有三种可能可能:
1)有惟一解 2)无解 3)无数多解 4.直线族方程的应用

3.3.2 两点间的距离

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1,y1 )和P2(x2,y2), 利用上述方法求点P1和P2的距离为
| P1P2 |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y 1)2
特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为
| OP |? x2 ? y2

3.3.3 点到直线的距离

已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax +By +C=0,如 何求点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的
垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足.
y
Q

P0 o

x l

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法

求出点R 的坐标 求出点S 的坐标

y

求出P0R

求出P0S

P0Q

?

P0S ? P0R SR

S

利用勾股定理求出SR 面积法求出P0Q

d
P0

Q
R
l

O

x

y

S

? ??

x0,

?

Ax0 ? B

C

? ??

Q l : Ax ? By ? C ? 0

d

y0

P0 (x0,y0)

R

? ??

?

By0 ? A

C

,

y0

? ??

O

x0

x

? 1
2 | P0S || P0R |

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为:
d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

练习、求下列各点到相应直线的距离

①P(0,3),3x ? 4 y ? 0; ②P(?2,0),4x ? 3y ?1 ? 0 :

12 5
9 5

③P(0,0),4x ? 7 y ? 37;

37 65

④P(?1,?2), x ? y ? 0;

65
32

⑤P(2,3), x ?1 ? 0; 1 2

⑥p(1,?1), y ? 2 ? 0. 1

例1.求点P0 ??1,2?到直线 l : 3x ? 2 的距离.
解: d ? 3? ??1?? 2 ? 5
32 ? 02 3 思考:还有其他解法吗?

练习1

d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

1、求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离.

2. 求点B(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离.

3、求点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离.

小结
点到直线的距离公式的推导及其应用
点P(x0,y0)到直线l:Ax +By +C=0的距离为:
d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

3.3.4
两条平行直线间的 距离

1. 怎样判断两条直线是否平行? 2.如何定义两平行线l1和l2间的距离?

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

设l1//l2,如何求l1和l2间的距离?

讨 论:
两条平行直线间的距离怎样求?
平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离

例1 已知直线 l1 : 2x ? 7y ? 8 ? 0 和 l2 : 6x ? 21y ?1 ? 0
l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.

解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

2? 3 ? 7 ? 0 ? 8 14 14 53

? d?

??

22 ? (?7)2

53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例3. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为
d ? | c1 ? c2 | A2 ? B2

小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离
2. 两条平行直线间距离公式