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一元二次不等式及其解法优质课课件


3.2 一元二次不等式及其解法

新课引入

现有电信和联通两家网络服务公司,它们的 资费标准为: 电信公司:每小时收费1.5元(不足一小时按一小时计算) 联通公司:用户上网的第一小时内(含1小时,下 同)收费1.7元,第二小时内收费1.6元,以后每小 时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时, 按17小时计算)(一般来说,一次上网时间不会 超过17小时)所以<不妨设该同学一次上网总小 于17小时> 那么一次上网在多长时间以内能够保证选择 电信比选择联通所需要费用少?

分析:假设一次上网x小时, 则电信公司的收取费用为1.5x(元) 联通收费每小时依次为:1.7 ,1.6,1.5 ,1.4……(元)
∵1.7,1.6,1.5,1.4,…… 是以1.7为首项,以-0.1为公差的等差数列
∴联通公司的收取费用为 x (35 ? x ) ( x ? 17 )

20 x (35 ? x ) 如果能够保证选择电信公司比选择联通公司所需费用少,则有 1.5 x ?

20

整理得

x 2 ? 5x ? 0

这是什么?

新知讲解 一元二次不等式(定义)
2

像 x ? 5x ? 0 这样只含一个未知 数,并且未知数最高次数为2的不等式, 称为一元二次不等式.

那么怎样求一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集呢?
2

我们先来考察与它相对应的二次 2 y ? x ? 5x 以及二次方程 x 2 ? 5x ? 0 函数 的关系 2 x ? 5x ? 0 容易知道方程
的两个根是 (1)当 x

y

? 0 或 x ? 5 时,y ? 0 (2)当 x ? 0 或 x ? 5 时,y ? 0 (3)当 0 ? x ? 5 时,y ? 0
是{x | 0 ? x ? 5}

x1 ? 0, x2 ? 5

0

5

x

结合图像知不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集

引例.画出函数y=x2-x-6的图象,并根据图象回答: (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0),(3, 0) , 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系: 交点的横坐标即为方程的根 。 (2).当x取 x= -2 或 3 时,y=0? y 当x取 x<-2 或 x>3 时,y>0? 当x取 -2 < x <3 时,y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出: o o o o x 2 0 -2 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 ﹛ x|x<-2 或 x>3 ﹜ 解集为 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。

推广:

求一般的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0
2

或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集.并且规定
2 或 ax ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

为一元二次不等式的标准形.

一元二次不等式的解法 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

这张表是我们今后求解一元二次 不等式的主要工具,必须熟练掌握, 其关键是要抓住相应的二次函数的 图像。

记忆口诀:
大于取两边,小于取中间.

求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△ ≥0

b x?? 2a

x< x1或x> x2

知识应用与解题研究
例1:解不等式: x2-2x-15≥0

解:∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2-2x-15=0
y

的两根为: x=-3,或x=5 ∴ 不等式的解集 为:{x│ x ≤-3 或x ≥5}。

。 -3 0

。 5

x

总结出: 解一元二次不等式ax2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0 (a>0) (标准形)的步骤是:
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号, (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;(画出函数图像) (4)(结合函数图象)写出不等式的解集.

简记为:一看—二判—三求—四写

例2:解不等式4x2-4x +1>0
解: 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }

例3:解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф

巩固练习

1、解下列一元二次不等式: 2 2 ? ? ? ? ? x ? 2 ? 0; 1 3 x 7 x 2 0 2 6 x () ; () (3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2

(4) x ? 3x ? 5 ? 0 .
2

1 答案: (1) {x | ? x ? 2} 3
(2){ x | x ? ? 2 ,或x ? 1} 3 2
(3)空集

(4) R

课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法,同学们下去 可以多注意以下两点

? 1、掌握三个二次的关系,注意结合函数图 像,理解并会求一元二次不等式的解集; ? 2、记住解一元二次不等式的步骤;

作业:
课本80页习题3.2 A组第1、2题

一元二次不等式的解法 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ


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