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【2012年】高中三角函数公式总表【最新经典版】.

三角公式总表
⒈L 弧长= ? R= 180 ⒉正弦定理:
nπR
a sin A
2

S 扇= 1 LR= 1 R2 ? = n ? ? R
2 2
360

2

=

b sin B
2

=

c sin C
2

= 2R(R
A

为三角形外接圆半径) b =a +c -2ac cos B
2 2 2

⒊ 余 弦 定 理 : a =b +c -2bc cos c =a +b -2ab cos C
2 2 2

cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc

⒋S⊿= 1 a ? h
2
2

a

=

1 2

ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc
2 2 4R

=2R sin A sin B sin C

2

=

a sin B sin C 2 sin A

=

b sin A sin C 2 sin B

2

=

c sin A sin B 2 sin C

2

=pr=

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c )

(其中 p ? 1 ( a ? b ? c ) , r 为三角形内切圆半径)
2

⒌同角关系: ⑴商的关系: tg ? = y = sin ? ①
x cos ?

= sin ? ? sec ? ② ctg ? ?

x y

?

cos ? sin ?

? cos ? ? csc ?

③ sin ? ? ⑤ cos ? ?

y r x r

? cos ? ? tg ? ? sin ? ? ctg ?

④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

r x
r y

?
?

1 cos ?
1 sin ?

? tg ? ? csc ?
? ctg ? ? sec ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc ? ⑶平方关系: sin ⑷ a sin ?
? b cos ? ?
2

? cos ? ? sec ? ? tg ? ? ctg ? ? 1

? ? cos 2 ? ? sec 2 ? ? tg 2? ? csc 2 ? ? ctg 2? ? 1
2 2

a ? b sin( ? ? ? )
? b a

(其中辅助角 ? 与点(a,b)

在同一象限,且 tg ?


? 0, A ? 0 )

⒍函数 y= A sin( ? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ? (
1

振幅 A,周期 T= 2? , 频率 f= 1 , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ?
?
T

⒎五点作图法:令 ? x ? ? 依次为 0 ? 依点 ? x, y ? 作图 ⒏诱导公试 sin -?
? -?
?

2

,? ,

3? 2

, 2?

求出 x 与 y,

cos

tg

ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

三角函数值等于 ? 的同 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名不变, 符号看象限

- sin ?

+ cos ? - tg ? - tg ? + tg ?

+ sin ? - cos ? - sin ? - sin ? - cos ?

+?

2? -? 2k ? + ?

+ cos ? - tg ?

+ sin ? + cos ? + tg ?

sin
?
2 ?? ?? ??

con

tg

ctg

三角函数值等于 ? 的异 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名改变, 符号看象限

+ cos ? + sin ? + ctg ? + tg ? + cos ? - sin ? - cos ? - cos ? - sin ? - ctg ? - tg ?

?
2 3? 2 3?

+ ctg ? + tg ? - tg ?

2

??

+ sin ? - ctg ?

⒐和差角公式
① sin( ? ③ tg (?
? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

② cos( ? ④ tg ?

? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

? ?) ?

tg ? ? tg ? 1 ? tg ? ? tg ?

? tg ? ? tg (? ? ? )(1 ? tg ? ? tg ? )

2

⑤ tg (? i). tgA

? ? ??)?

tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? 1 ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ? ? tg ?

其中当 A+B+C=π 时,有:
A 2 tg C 2 ? tg B 2 tg C 2 ?1

? tgB ? tgC ? tgA ? tgB ? tgC

ii). tg

A 2

tg

B 2

? tg

⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ② cos 2? ③ tg 2?
? ? 2 sin ? cos ? ? 2 tg ? 1 ? tg ?
2

? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ?
2 2 2 2

1 ? tg ?
2

1 ? tg ?
2

2 tg ? 1 ? tg ?
2

④ sin

2

? ?

tg ?
2

1 ? tg ?
2

?

1 ? cos 2? 2

⑤ cos 2 ?

?

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ② cos 3? ③ tg 3?
?
? 3 sin ? ? 4 sin ? ? 4 sin ? sin( 60 ? ? ? ) sin( 60 ? ? ? )
3

? ? 3 cos ? ? 4 cos ? ? 4 cos ? cos( 60 ? ? ? ) cos( 60 ? ? ? )
3

3tg ? ? tg ?
3

1 ? 3tg ?
2

? tg ? ? tg ( 60 ? ? ) ? tg ( 60 ? ? )

⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定)
2

?

① sin

?
2

? ?

1 ? cos ? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos

?
2

??

1 ? cos ? 2
? 2 cos
2

④ cos 2 ⑦

?
2

?

⑤ 1 ? cos ?
?
2 ? sin

? 2 sin

2

?
2

⑥ 1 ? cos ?

?
2

1 ? sin ? ?

(cos

?
2

) ? cos
2

?
2

? sin

?
2

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

⒔积化和差公式:
3

sin ? cos ? ?

1 2 1

?sin( ?

? ? ) ? sin( ? ? ? ) ?

cos ? sin ? ?

1 2 1

?sin( ?

? ? ) ? sin( ? ? ? ) ?

cos ? cos ? ?

2

?cos( ?

? ? ) ? cos( ? ? ? ) ?

sin ? sin ? ? ?

2

?cos( ?

? ? ) ? cos ?? ? ? ??

⒕和差化积公式: ① sin ? ③ cos ?
? sin ? ? 2 sin

? ??
2 2

cos

? ??
2

② sin ? ④ cos ?

? sin ? ? 2 cos

? ??
2 2

sin

? ??
2

? cos ? ? 2 cos

? ??

cos

? ??
2

? cos ? ? ? 2 sin

? ??

sin

? ??
2

⒖反三角函数: 名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 函数式
y ? arcsin x
y ? arccos x

定义域
?? 1,1? 增
?? 1,1? 减

值域
? ? ?? ? , ? 2 2? ? ?

性质
arcsin(-x) ? -arcsinx



?0, ? ?
? ? ? ? ?? , ? ? 2 2?

arccos( ? x ) ? ? ? arccos x

y ? arctgx

R R

增 减

arctg(-x) ? - arctgx



y ? arcctgx

?0 , ? ?

arcctg ( ? x ) ? ? ? arcctgx

⒗最简单的三角方程 方程
sin x ? a

方程的解集
a ?1

?x | x ? 2 k ?

? arcsin a , k ? Z ?
k

a ?1
cos x ? a

?x | x ? k ? ? ?? 1?
?x | x ? 2 k ? ?x | x ? 2 k ?
?x | x ? k ?
4

arcsin a , k ? Z

?

a ?1 a ?1

? arccos a , k ? Z ? ? arccos a , k ? Z ?

tgx ? a

? arctga , k ? Z ?

ctgx ? a

?x | x ? k ?

? arcctga , k ? Z ?

5


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