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2019最新人教A版高中数学选修1-1课件1.1.2~1.1.3四种命题——四种命题间的相互关系优质课件_图文

高中数学课件
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1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题间的相互关系

【学习要求】 1.了解四种命题的概念. 学科网

本 2.认识四种命题的形式,会写出某命题的逆命题,否命题和逆否

讲 栏

命题.

目 开

3.理解四种命题的关系.

关 4.会利用命题的等价性解决问题.

【学法指导】

在本节的学习中,不要去死记硬背形式化的定义与模式,而应

多通过具体实例,发现四种命题形式间的逻辑关系,并能利用

这种关系对命题真假作出判断,从而体会正难则反思想的应用.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.四种命题的概念

一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别



是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题

讲 栏

叫做 互逆命题 .其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原

目 开

命题的 逆命题 .



也就是说,如果原命题为“若 p,则 q”,那么它的逆命

题为“若 q,则 p” .

填一填·知识要点、记下疑难点

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命

题的条件的否定和结论学科的网 否定,我们把这样的两个命题叫做



互否命题 .如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个

讲 栏

叫做原命题的 否命题 .

目 开 关

也就是说,如果原命题为“若 p,则 q”,那么它的否命题

为 “若┐p,则┐q”

.

填一填·知识要点、记下疑难点

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命

题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做

本 互为逆否命题 .如果把其中的一个命题叫做原命题,那么

讲 栏

另一个叫做原命题的 逆否命题 .

目 开

也就是说,如果原命题为“若 p,则 q”,那么它的逆否命

关 题为 “若┐q,则┐p” .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.四种命题的相互关系

“若p,则q” 原命题

互逆

“若q,则p” 逆命题

本 讲 栏 目 开 关

互否

为逆

互 否









互 否

否命题 “若┐p,则┐q” 互逆

逆否命题 “若┐q,则┐p”

填一填·知识要点、记下疑难点

3.四种命题的真假性之间的关系(研究课本 P7 的探究)

(1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性.

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有

本 讲

关系 .









研一研·问题探究、课堂更高效

探究点一 四种命题的概念

问题 1 观察下列四个命题:

本 讲

(1)若两个角是对顶角,则它们相等;

栏 目

(2)若两个角相等,则它们是对顶角;

开 关

(3)若两个角不是对顶角,则它们不相等;

(4)若两个角不相等,则它们不是对顶角.

命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?

研一研·问题探究、课堂更高效

答案 对于命题(1)和命题(2),其中一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件.

本 讲

对于命题(1)和(3),其中一个命题的条件和结论分别是另一

栏 个命题的条件的否定和结论的否定;





关 对于命题(1)和(4),其中一个命题的条件和结论分别是另一

个命题的结论的否定和条件的否定.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 2 若(1)为原命题,则(2)为(1)的________命题,(3)为 (1)的________命题,(4)为(1)的________命题.

答案 逆 否 逆否







目 开

问题 3

在四种命题中,原命题是固定的吗?



答案 不是,任何一个都能作为原命题.

研一研·问题探究、课堂更高效

例 1 把下列命题写成“如果 p,则 q”的形式,并写出它

们的逆命题、否命题与逆否命题.

(1)正数的平方根不等于 0;

(2)当 x=2 时,x2+x-6=0.

解 (1)原命题:“如果一个数是正数,则这个数的平方根不等于 0”.

本 讲

逆命题:“如果一个数的平方根不等于 0,则这个数是正数”.

栏 目

否命题:“如果一个数不是正数,则这个数的平方根等于 0”.

开 逆否命题:“如果一个数的平方根等于 0,则这个数不是正数”.



(2)原命题:“如果 x=2,则 x2+x-6=0”.

逆命题:“如果 x2+x-6=0,则 x=2”.

否命题:“如果 x≠2,则 x2+x-6≠0”.

逆否命题:“如果 x2+x-6≠0,则 x≠2”.

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小结 写已知命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和 结论,然后根据四种命题的结构写出所求命题.

跟踪训练 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命

题,并判断它们的真假:

本 讲

(1)实数的平方是非负数;

栏 目

(2)若 x、y 都是奇数,则 x+y 是偶数.



关 解 (1)原命题是真命题.

逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.
否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.

真命题.

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(2)原命题是真命题.

逆命题:若 x+y 是偶数,则 x、y 都是奇数,是假命题;

本 讲

否命题:若 x、y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数,是假命题;

栏 目

逆否命题:若 x+y 不是偶数,则 x、y 不都是奇数,是真命题.





研一研·问题探究、课堂更高效

探究点二 四种命题的关系

问题 1 通过以上学习,你认为如果原命题为真,那么它的

逆命题、否命题的真假性是怎样的?

本 讲

答案

原命题为真,它的逆命题,否命题不一定为真.两个命

栏 目

题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.





研一研·问题探究、课堂更高效

问题 2 原命题为真,它的逆否命题的真假性如何?
答案 原命题为真,它的逆否命题一定为真,两个命题互为 逆否命题,它们的真假性相同.

本 讲

问题 3

四种命题中,真命题的个数可能为多少?



目 开

答案 四种命题中,真命题的个数可能为 0 或 2 或 4.



结论 原命题和逆否命题真假性相同,逆命题和否命题真假 性相同.

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例 2 下列命题:①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命

题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯

形不是平行四边形”的逆否命题;④“若 ac2>bc2,则

a>b”的逆命题.

本 讲

其中的真命题是__________.

栏 目

解析 ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是“若 x,

开 关

y 互为倒数,则 xy=1”,是真命题;

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都

相等的四边形不是正方形”,是真命题;

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题

也是真命题;

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④“若 ac2>bc2,则 a>b”的逆命题是“若 a>b,则 ac2>bc2”,

是假命题.

所以真命题是①②③.

答案 ①②③

本 小结 (1)在判断一个命题的真假时,有两种方法:一是分清

讲 栏

原命题的条件和结论,然后写出有关命题,对其真假进行判

目 开

断;二是不直接写出有关命题,而是根据命题之间的关系进

关 行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同

真同假. (2)不论用哪种方法判断命题的真假,都要和相关的数学知识

结合,因此要熟练掌握相关的数学知识.

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跟踪训练 2 有下列四个命题:

①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的否命题;

②“若 a≥b,则 a2≥b2”的逆否命题;

③“若 x≤3,则 x2-x-6>0”的否命题;

④“对顶角相等”的逆命题.

本 讲

其中真命题的个数是

( B)

栏 目

A.0

B.1

C.2

D.3

开 解析 ①否命题是“若 x+y≠0,则 x、y 不互为相反数”.



真命题.

②原命题为假命题,从而逆否命题为假命题.

③否命题为“若 x>3,则 x2-x-6≤0”.假命题.

④逆命题为“若两角相等,则这两角为对顶角”.假命题.

研一研·问题探究、课堂更高效 探究点三 等价命题的应用

问题 我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以

通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为

真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事? 答案 反证法与逆否证法都是证明命题的方法.它们在以下

本 几个方面是相同的:

讲 栏 目

(1)依据相同,都是利用原命题与逆否命题的等价性; (2)起步相同,都是从非 q(即否定结论)出发;

开 (3)思想相同,都是正难则反的数学思想.

关 但是又有所区别:

(1)目的不同,反证法否定结论的目的是推出矛盾,而逆否证

法否定结论的目的是推出“非 p”.

(2)本质不同,逆否证法实质是证明一个新命题成立,而反证

法是把否定的结论作为新的条件,可以连同原有的条件进行

逻辑推理,直至推出矛盾,从而肯定原命题的结论.

研一研·问题探究、课堂更高效

例 3 证明:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、

b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0.

证明 方法一 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是

(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,

本 讲

若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).”



目 开

若 a+b<0,则 a<-b,b<-a,

关 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),

即逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.

研一研·问题探究、课堂更高效

方法二 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a,

又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).

本 ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).



栏 这与已知条件 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.

目 开

因此假设不成立,故 a+b≥0.



研一研·问题探究、课堂更高效

跟踪训练 3 证明:若 a2-4b2-2a+1≠0,则 a≠2b+1.

证明 “若 a2-4b2-2a+1≠0,则 a≠2b+1”的逆否命题

本 为 “若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”.

讲 栏

∵a=2b+1,

目 开

∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+

关 4b-4b2-4b-2+1=0

∴命题“若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”为真命题.

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,原命题正确.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是

本 A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数

栏 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数

开 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数

D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数

(B )

解析 否命题是既否条件又否定结论.故答案为 B.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.命题“如果 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 ( D )

A.如果 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1

B.如果-1<x<1,则 x2<1

本 C.如果 x>1 或 x<-1,则 x2>1

讲 栏

D.如果 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1

目 解 析 原 命 题 结 论 “ - 1<x<1” 的 否 定 是 “x≤ - 1 或



关 x≥1”,原命题条件“x2<1”的否定是“x2≥1”,故逆否命

题是:若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.命题“若平面向量 a,b 共线,则 a,b 方向相同”的逆否 命题是若___平__面__向__量__a_,__b_的__方__向__不__相__同__,__则___a_,__b_不__共__线__, 它是__假____命题(填“真”或“假”).
4.给出以下命题:

①“若 x2+y2≠0,则 x、y 不全为零”的否命题;

本 ②“正多边形都相似”的逆命题;



栏 ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题.

目 开

其中为真命题的是___①__③___.



解析 ①否命题是“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”.真命题.

②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边

形”,假命题. ③∵Δ=1+4m,若 m>0 时,Δ>0,∴x2+x-m=0 有实根,

即原命题为真.∴逆否命题为真.

1.写四种命题时,可以按下列步骤进行:



(1)找出命题的条件 p 和结论 q;

讲 栏

(2)写出条件 p 的否定┐p 和结论 q 的否定┐q;

目 开

(3)按照四种命题的结构写出所有命题.

关 2.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的真假性相同来判断,

这也是反证法的理论基础.


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