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2017学年高中数学人教A版选修2-3课堂导学:1.1.3分类加法计数原理和分步乘法计数原理(三) Word版含解析


课堂导学 三点剖析 一、“分类”与“分步”是区分两个计数原理的唯一标准 【例 1】某同学有若干本课外参考书,其中外语 5 本,数学 6 本,物理 2 本,化学 3 本,他 欲带参考书到图书馆看书. (1)若从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的带法? (2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本,有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法? 思路分析:(1)中“带一本参考书”应运用加法原理; (2)中“各带一本参考书”应运用乘法原理; (3)中“第 2 本不同学科的书”应分情况讨论,具有综合性. 解析:(1)要完成的事是“带一本参考书”,由于无论带哪一学科的书都完成了这件事,因此 是分类问题,应用加法原理得 5+6+2+3=16(种)不同的带法. (2)要完成的事是“外语、数学、物理和化学各带一本”.因此,选一个学科中的一本书只完成 了这件事的一部分, 只有几个学科的书都选定了之后, 才完成这件事, 因此是分步计数问题, 应用乘法原理,有 5× 6× 2× 3=180(种)不同的带法. (3)要完成的事是“带 2 本不同学科的书”,因此要分情况考虑,即先考虑是带哪两个学科的 书, 如带外语、 数学各一本, 则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分, 因此要用乘法原理,即有 5× 6=30 种选法.同样地,外语、物理各选一本,有 5× 2=10 种选法. 选外语、化学各一本有 5× 3=15 种选法……,从而上述每种选法都完成了这件事.因此这些选 法种数之间还应用加法原理,共有 5× 6+5× 2+5× 3+6× 2+6× 3+2× 3=91(种) 二、两个计数原理的综合应用——分类和分步的先后问题 【例 2】从 1 到 200 的自然数中,各个数位上都不含数字 8 的自然数有多少个? 分析:由题设条件要先分类,第一类考虑一位数中有多少不含数字 8 的自然数;第二类考虑 两位数中有多少个不含数字 8 的自然数,此类中又要分个数和十位数两步,即要分步;第三 类考虑三位数中有多少个不含数字 8, 也要分个位、 十位、 百位三步.故应先用分类计数原理, 在每一类中需要分步的再用分步计数原理求解. 解析:由题意分三类解决,第一类:一位数中有 8 个大于 0 且不含数字 8 的自然数.第二类: 两位数中有多少不含数字 8 的自然数,此类需要分两步,第一步:个位上除 8 之外有 9 种选 法, 第二步: 十位数上除 0 和 8 之外有 8 种选法, 要根据分步计数原理, 得第二类数中有 8× 9=72 (个)数符合要求.第三类:三位数中有多少不含数字 8 的自然数,此类需要分两个小类,一类 是百位数为 1 的三位数,此类需分三步,第一步:个位上除 8 之外有 9 种选法;第二步:十 位数上除 8 之外有 9 种选法;第三步:百位数为 1,有 1 种选法.根据分步计数原理,得此类 数中有 9× 9=81(个)数符合要求.另一类是百位数为 2 的三位数,即 200,就是 1 个,由分类计 数原理得此时第三类的三位数中有 81+1=82(个)不含数字 8 的自然数. 故先用分类计数原理再结合分步计数原理, 得从 1 到 200 的自然数中各个数位上都不含数字 8 的自然有 N=8+72+82=162(个). 三、用两个计数原理解题时,要注意化归思想和分类讨论思想的使用 【例 3】求与正四面体四个顶点距离之比为 1∶1∶1∶2 的平面的个数. 解析:设正四面体的顶点为 A,B,C,D,到这四

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