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数列通项的求法专题

求数列通项的常见方法
姓名 一、数列的通项
题型 1:观察法求通项
观察法是求数列通项公式的最基本的方法,其实质就是通过观察数列的特征,找出各项共同的构成规 律,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数之间的关系,从而确定出数列的通项. 【例 1】已知数列

学号

1 1 5 13 29 61 , ,? , ,? , ,….写出数列的一个通项公式. 2 4 8 16 32 64

题型 2:定义法求通项
【例 2】等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a5 .
2

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 求数列 ?an ? 的通项公式.

题型 3:应用 Sn 与 an 的关系求通项 有些数列给出{ an }的前 n 项和 Sn 与 an 的关系式 Sn = f (an ) ,利用该式写出 Sn?1 ? f (an?1 ) ,两式做 差,再利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 导出 an ?1 与 an 的递推式,从而求出 an 。
利用公式 an ? ?

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

【例 3】(09 全国)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 2 . (Ⅰ)设 b ? a ? 2a ,证明数列 {b } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {a } 的通项公式; n n n n ?1 n

1

【课堂练习】

1. (07 福建)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 2.(07 重庆)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 , 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 ?bn ? 满足 an (2 n ?1) ? 1 , 并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和, 求证:3Tn ?1 ? log 2 (an ? 3),n ? N .
b

3.若 log2 (Sn ? 1) ? n ,求 ?an ? 的通项公式
2 4.正项数列 {an } 满足: a1 ? 1, Sn 是其前 n 项之和,且 Sn?1 ? Sn ? an ,求 Sn、an ; ?1

题型 4:利用递推公式求通项
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题, 有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型 1:递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 【例 4】已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

【课堂练习】 1. (03 全国)已知数列| an |满足 a1 ? 1, an ? 3
n?1

? an?1 (n ? 2) (I)求 a2 , a3 ; (II)证明: a n ?
1 n C. 2 ? n ln n

2. (08 四川)设数列 ?an? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an = 3.(08 江西)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n ) D. 1 ? n ? ln n

3n ? 1 2

2

类型 2:递推公式为 an?1 ? f (n)an

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 2 n a n ,求 an 。 【例 5】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1
解法:把原递推公式转化为

类型 3:递推式: an?1 ? Aan ? B 解法:只需构造数列 an?1 ? p ? A(an ? p) .其中 p ?

B A ?1

【例 6】设数列 ?an ? : a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 2 ,求 an .

类型 4:递推公式为 an?1 ? pan ? q

n

(其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。

(或 an?1 ? pan ? rq ,其中 p,q, r 均为常数)
n

解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得: 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ?

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

an p 1 ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型 3 的方法解决。 n ) q q q 5 1 1 n ?1 【例 7】已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 解析:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 n ?1 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 bn 2 2 1 n 1 n n bn ? 3 ? 2( ) n , 令 bn ? 2 ? an , 则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 3 2 3 3 2

类型 5:递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san )

?s ? t ? p ,再应用前面类型 3 的方法求解。 ?st ? ?q 2 1 【例 8】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 2 1 解析:由 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3
其中 s,t 满足 ?
3

2 ? 1 s?t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 ?? 即 an?2 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? 3 1或? t?? ?st ? ? 1 ? ? 3 ?t ? 1 ? ? 3 ? 1 ?s ? 1 ? 1 ? ?s ? ? 这里不妨选用 ? ,则 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) ? ?an?1 ? an ?是 3) 1 (也可选用 ? 3 t?? ? ? 3 ?t ? 1 ?
1 1 n?1 的等比数列,所以 a n ?1 ? a n ? (? ) ,应用类型 1 的方法, 3 3 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 1 1 ? (? ) n?1 1 0 1 1 1 n?2 7 3 1 n?1 3 ? 即 a n ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) , 又? a1 ? 1 , 所以 a n ? ? (? ) . 1 3 3 3 4 4 3 1? 3
以首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ? 点评:已知数列的递推公式求其通项公式,应用到的方法非常多,关键是要分析清楚所给出的递推公式形 式,然后选择合理的变形.

题型 5:待定系数法求通项
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求 较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知 为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. 【例 9】已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n

分析: 本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5 转化为 an?1 ? 5
n

n?1

? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列

{an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n }的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
解析:设 an?1 ? x ? 5
n?1

? 2(an ? x ? 5n )
n


n n?1

将 an?1 ? 2an ? 3? 5 代入④式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5

? 2an ? 2x ? 5n ,等式两边消去 2an ,

得 3 ? 5n ? x ? 5n ?1 ? 2 x ? 5n ,两边除以 5n ,得 3 ? 5x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入④式 得 an?1 ? 5
1 n?1

? 2(an ? 5n )


n

an?1 ? 5n?1 ? 2, 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则 an ? 5n
则数列 {an ? 5 }是以 a1 ? 5 ? 1 为首项, 以 2 为公比的等比数列, 则 an ? 5 ? 2
n 1 n n?1

, 故 an ? 2

n?1

? 5n 。

点评:待定系数法求解数列的通项公式同函数中用待定系数法球函数解析式类似,它要求必须已知或者能 够由条件判断出通项公式(解析式)的结构类型.

4


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