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高州市长坡中学2011届高三下学期期初考试(文数)


高州市长坡中学 2011 届高三下学期期初考试
数学试题(文科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,将正确选项的字母填在答题卡相应的表格中)
2 2 1.若 ? 2 x ? 5 x ? 2>0, 则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | 等于

( D.5-4x ( D. t ? 1 (



A.4x-5

B.-3

C.3

1 2.已知 xy=9, x ? y> ,t=(log3x) (log3y)则
A. 0<t ? 1 B.0<t<1 C.t>1 3.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a4= A.12 B.7 C.9 D.15





4.平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n ? 3) 维向量,n 维向量可用(x1, x2, x3,··xn)表示,设 a ? (a1 , a2 , a3 ,? ? ?an ), b(b1 , b2 , b3 ,? ? ?bn ), 规定 ·

向量

a与b 夹角 ? 的余弦 cos? ?

?a b
i ?1 n i ?1

n

i i n

a ? (1,1,1,1), b ? (?1,1,1,1) 时,

(? ai2 )(? bi2 )
i ?1

cos ? = ( A. ? )

1 2

B.1

C.2

D.

1 2

-—1 -—1 5.已知函数 f(x)是定义 R 在上的奇函数,当 x<0 时, f ( x) ? ( ) , 那么 f (0)+f

1 3

x

(-9)的值







A.3 B.-3 C.2 D.-2 6. 在等比数列{an}中, n 为前 n 项和, S 已知 a5=2S4+3, 6=2S5+3, a 则此数列的公比 q 为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.定义在 R 上的函数 f(x) ,如果存在函数 g (x)=kx+b(k,b 为常数) ,使得 f(x)≥g (x)对一切 实数 x 都成立,则称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数。现有如下 命题: ① 对给定的函数 f(x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个; x ② g(x)=2x 为 f(x)=2 的一个承托函数; ③ 定义域和值域都是 R 的函数 f(x)不存在承托函数。 其中正确命题的序号是 ( )

1
y -

c

A.① B.② C.①③ D.②③ 8.如图在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, P 为 A1D1 的中点,Q 为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值 b,则下列 四个值中不为定值的是 ( ) A.点到平面的距离 B.二面角的大小 C.直线与平面所成的角 D.三棱锥的体积 2 9.设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

[ , ) ,则点 P 横坐标的取值范围为 4 2 1 A. (?? , ] B.[-1,0] 2

? ?

( C.[0,1] D. [ ,?? )



1 2

10.平面 ? 、 ? 、 ? 两两互相垂直,点 A∈ ? ,点 A 到 ? 、 ? 的距离都是 3,P 是 ? 上的 动点,P 到 ? 的距离是到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点到 ? 的距离的最小值 ( A. 3 ? 3 B. 3 ? 2 3 C. 6 ? 3 D. 3 )

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案写在答题卡相应的横线上。 ) 2 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,则其通项 an= 。 12.已知双曲线

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的离心率是 e ? ,则该双曲线两渐近线夹 2 3 a b

角是 。 —1 —1 13.设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f (x) f(4)=0,则 f , (4)= 。

? ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ? 14.若 ?( x, y ) | ?3 ? x ? 0 ? ?x ? y ? 0 ? ?
15.给出下列命题

? ? 2 2 2 ? ? {( x, y ) | x ? y ? m (m>0) ,则实数 m 满足条件 ? ?


① 非零向量 a 、 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 30°; ② a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x-1|的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为 y=|x|;

2

④若( AB ? AC )( AB ? AC )=0,则△ABC 为等腰三角形 · 以上命题正确的是 。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明和演算步骤。将答案 写在答题卡相应处) 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | ( x ? 2)[x ? (3a ? 1)]<0}, B ? {x | (1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)当 a>1,求使 B ? A 的实数 a 的取值范围。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cosx, sin x),b ? (? cos x, cos x), c ? (?1,0). (1)若 x ?

x ? 2a <0}, 其中 a≠1 x ? (a 2 ? 1)

?
6

,球向量 a, c 的夹角;

(2)当 x ? [

? 9?
2 , 8

] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1 的最大值。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 9 x( x 2 ? 3ax ? )( a ? R) 3 2

(1)若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0,求 m 的值。 (2)若函数 f(x)在(1,2)内是增函数,求 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F 为棱 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中点。 (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1; (3)求平面 AFC1 与与平面 ABCD 所成二面角的大小。

20. (本小题满分 13 分) 已知 A(-2,0) B(2,0) 、 ,点 C、点 D 满足 | AC |? 2, | AD |?

1 ( AB ? AC ). 2

(1)求点 D 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆与 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程。 5
3

21. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列{bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。

参考答案
一、选择题 1.C 2.A 二、填空题 11.2n-10 3.B 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A

12.

? 3

13.-2

14. m ? 5

15.①③④

三、解答题 16.解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) B=(4,5) , ∴A∩B=(4,5) 2 (2)∵B=(2a,a +1) ∵a>1,∴A=(2,3a+1) 要使 B ? A, 必须 ?

········ 分 ········4

?2 a ? 2

此时1<a ? 3 2 ?a ? 1 ? 3a ? 1
········ ········12 分

综上可知,使 B ? A ,的实数 a 的取值范围 (1,3] 17.解: (1)当 x ?

?
6

时,

cos ? a, c ??

a?c | a |?| c |

?

? cos x cos2 x ? sin 2 x ? (?1) 2 ? 0 2
5? . ∵ 0 ?? a, c ?? ? , 6
······· 分 ·······6

? ? cos x ? ? cos
5? ∴ ? a, c ?? 6

?
6

? cos

4

(2) f ( x) ? 2a ? b ? 1 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x) ? 1 = 2 sin x cos x ? (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ?
2

2 sin( 2 x ?

?
4

)

∵ x ?[

? 9?
2 , 8

],

∴ 2x ?

?
4

?[

3? ,2? ] 4

故 sin(2 x ? ∴当 2 x ? 18.解:

?
4

) ? [?1,

2 ], 2
········ ········12 分

?
4

?

3? ? , 即x ? 时, f ( x) max ? 1 4 2

(1)∵ f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x 3
·········2 分 ········ ········· 分 ········ 3

∴ f ' ( x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3

则过点 P(1,m)的切线斜率为 k ? f ' (1) ? ?1 ? 4a 又∵切线方程为 3x-y+b=0 ∴-1-4a=3,即 a=-1

········· 分 ·········4 ········· 分 ·········5

2 3 2 ∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 3x 3

又∵P(1,m)在 f(x)的图像上,∴ m ? ? 分 (2)∵函数 f(x)在(1,2)内是增函数 分

1 3

········· · · · · · · · · ·6

········· · · · · · · · · ·7

∴ f ' ( x) ? 2x ? 4ax ? 3 ? 0 对一切 x∈(1,2)恒成立
2

即 4ax ? 2 x ? 3,? a ?
2

x 3 1 5 ? ? (? , ) 2 4x 4 8 x 3 x 3 1 5 y? ? 在(1,2)内是增函数, ? ? ? (? , ) 2 4x 2 4x 4 8
1 4

········· 分 ········ 9 · · · · · · · · ·11 ········

分 ∴a ? ?

19.解法一: (1)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN。因为 F 是 BB1 的中点, 所以 F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点。··2 分 ·· 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN。·· 分 ···3 又 MF ? 平面 ABCD,AN ? 平面 ABCD。 ∴MF∥平面 ABCD。 ··5 分 · (2)证明:连 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知 A1A⊥平面 ABCD,

5

又∵BD ? 平面 ABCD, ∴A1A⊥BD。 ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD。 又∵AC∩A1A=A,AC,AA ? 平面 ACC1A1。 ∴BD⊥平面 ACC1A1。 ·········7 分 ········ 在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN,所以四边形 DANB 为平行四边形 故 NA∥BD,∴NA⊥平面 ACC1A1,又因为 NA ? 平面 AFC1 ∴平面 AFC1⊥ACC1A1 (3)由(2)知 BD⊥ACC1A1,又 AC1 ? ACC1A1, ∴BD⊥AC1,∴BD∥NA,∴AC1⊥NA。 又由 BD⊥AC 可知 NA⊥AC, ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角。 分 在 Rt△C1AC 中,tan CAC1

· · 10 ·

C1C 1 , ··12 分 · ? CA 3

故∠C1AC=30° ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°。 ··12 分 · 解法二: 设 AC∩BD=0,因为 M、O 分别为 C1A、CA 的中点,所以,MO∥C1C, 又由直四棱柱知 C1C⊥平面 ABCD,所以 MO⊥平面 ABCD。 在棱形 ABCD 中,BD⊥AC,所以,OB、OC、OM 两两垂直。 故可以 O 为原点,OB、OC、OM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴如图建立空间直角坐 标系 若设|OB|=1,则 B(1,0,0) 1(1,0,2) ,B , A(0, ? 3 ,0) ,C(0, 3 ,0) 1(0, 3 ,2) ,C 。 (1)由 F、M 分别为 B1B、C1A 的中点可知:F(1,0,1) , M(0,0,1) ,所以 MF ? (1,0,0)= OB. 又 MF与OB 不共线,所以,MF∥OB。 ∵MF ? 平面 ABCD,OB ? 平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD。 ··6 分 · (2) OB ? (1,0,0)为平面的法 ACC1A1 的法向量。 设 n( x, y, z ) 为平面 AFC1 的一个法向量 则 n ? AF, n ? MF. 由 AF ? 1 3, MF ? 1 0, 得 ? (, 1 ), ( ,0), 令 y=1,得 z= ? 3 ,此时 n(0,1,? 3) ··3 分 ·

? x ? 3 y ? z ? 0, ?x ? 0
··9 分 ·

6

由于 n ?OB ? (0,1,? 3) ? (1,0,0) ? 0 ,所以,平面 AFC1⊥平面 ACC1A1。 分

· · 10 ·

(3) OM ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的法向量,设平面 AFC1 与平面 ABCD 所成的二面角 的大小为 ? , 则 | cos ? |?| cos <OM , n> |?

| OM ? n | | OM || n |

?|

? 3 3 |? 1? 2 2

所以 ? =30°或 150°。 即平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°。 ··11 分 · 20.解: (1)设 C、D 点的坐标分别为 C(x0,y0) ,D(x,y) ,则 AC =(x0+2,y0) AB =(4, , 0) 则 AB ? AC ? (x0+6,y0) ,故 AD ?

x y 1 ( AB ? AC) ? ( 0 ? 3, 0 ) 2 2 2

··2 分 ·

? x0 ? 2 ?3? x?2 ? x0 ? 2 x ? 2, ? , 解得? 又 AD ? ( x ? 2, y ), 故? ? y 0 ? 2 y. ? y0 ? y ?2 ?
代入 | AC |?

··4 分 ·

2 ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? 2 得 x2+y2=1,即为所求点 D 的轨迹方程

··6 分 · ①

(2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y=k(x+2) 又设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a 2>4). a2 a ? 4
2 2



因为直线 l 与圆 x +y =1 相切,故

| 2k |

1 ? 1 ,解得 k 2 = . 3 k 2 ?1
2 2 2 2 2 4 2

将①代入②整理得, (a k ? a ? 4) x ? 4a k x ? 4a k ? a ? 4a ? 0,
2 2 2
2 而 k = . 即 (a ? 3) x ? a x ?

1 3

2

2

2

3 4 a ? 4a 2 ? 0, 4

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2= ?

a2 , a2 ? 3

a2 4 ? 2 ? (a 2>3), a 2 =8,经检验,此时△>0. 由题意有 2 求的 5 a ?3
故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4
7

··13 分 ·

21.解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4 (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *) ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴

··3 分 ·

an ? 2(n ? 2, n ? N *),即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2n a n ?1

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, ··8 分 · n (3)∵cn=(2n-1)2 2 3 n ∴Tn=a1b1+ a2b2+·· anbn=1×2+3×2 +5×2 +·· ·· ··+(2n-1)2 , 2 3 n n+1 ∴2Tn=1×2 +3×2 +·· ··+(2n-3)2 +(2n-1)2 2 3 n n+1 因此:-Tn=1×2+(2×2 +2×2 +··+2×2 )-(2n-1)2 , · 3 4 n+1 n+1 即:-Tn=1×2+(2 +2 +·· ··+2 )-(2n-1)2 , n+1 ∴Tn=(2n-3)2 +6 · ·14 分

8


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