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2016新课标创新人教A版数学必修5 1.1正弦定理和余弦定理


第 1 课时 正 弦 定 理

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P2~P4,回答下列问题: a b (1)观察教材图 1.1-1,在 Rt△ABC 中,根据三角函数的定义可知 sin A= ,sin B= , c c a b c sin C=1.由此你能发现 , , 之间的大小关系是什么? sin A sin B sin C 提示: a b c = = . sin A sin B sin C

a b c (2)教材图 1.1-2 中的△ABC 为锐角三角形, , , 之间的大小关系是什么? sin A sin B sin C 提示: a b c = = . sin A sin B sin C

a b c (3)如图,△ABC 为钝角三角形, , , 之间又有什么样的大小关系? sinA sin B sin C

提示:

a b c = = . sin A sin B sin C

2.归纳总结,核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

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(2)解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [问题思考] (1)在△ABC 中 sin A=sin B,则 A=B 成立吗? (2)在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c 成立吗? (3)在△ABC 中,若 A>B,是否有 sin A>sin B?反之,是否成立? 提示:(1)由于在△ABC 中,sin_A=sin_B,有 a=b,则 A=B,故(1)成立. (2)由正弦定理知 sin_A∶sin_B∶sin_C=a∶b∶c 正确,即(2)成立. a b (3)∵A>B,∴a>b.又∵ = ,∴sin A>sin B. sin A sin B 反之,若 sin A>sin B,则 a>b,即 A>B.故 A>B?sin A>sin B. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)正弦定理的内容: ; (2)三角形的构成元素有: ; (3)在△ABC 中,已知任意两个角与一边,如何能求出其他元素? ; (4)在△ABC 中,已知任意两边及其中一边的对角,如何能求出其他元素? .

1.如图,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.

[思考 1] 若已知∠A=α,∠B=β,c=m,能求出∠C,a,b 的值吗?如何求解? 名师指津:可以.可先由三角形内角和定理 A+B+C=180°,求出∠C.然后利用正弦

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定理

求出 a 和 b 的值.

[思考 2] 若已知∠A=α, ∠B=β, a=n, 能求出三角形的其它未知元素吗?如何求解? 名师指津:可以.由三角形内角和定理 A+B+C=180°,得 C=180°-(A+B),然后 利用正弦定理 求出 b 和 c 的值.

[名师点拨] 通过以上问题思考可知,在△ABC 中,若已知任意两角及一边,能求出该 三角形的其他剩余元素.(请看讲 1) ?讲一讲 1.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c.(链接教材 P3-例 1) [尝试解答] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°) b a asin B 8×sin 60° =45°.由 = 得,b= = =4 6. sin B sin A sin A sin 45° 由 a c asin C 8×sin 75° = 得,c= = sin A sin C sin A sin 45°

8× =

2+ 6 4 =4( 3+1).∴A=45°,b=4 6,c=4( 3+1). 2 2

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. 注意:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特 殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解. ?练一练 1.在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形. 解:∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°. 由 a c = 得 sin A sin C

csin A 10×sin 45° a= = =10 2. sin C sin 30° 由 b c = 得 sin B sin C

csin B 10×sin 105° b= = =20sin 75°, sin C sin 30°

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∵sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= ∴b=20× 2+ 6 =5 2+5 6. 4 2+ 6 , 4

观察知识点 1 中的△ABC. [思考] 若已知 a=m,b=n,A=α,能求出△ABC 的其他元素吗?如何求解? 名师指津:能.先由正弦定理 a b = ,求出 sin_B 的值,进而求出∠B.然后利用三 sin A sin B

a c 角形内角和定理求出 C=π-(A+B),最后再用正弦定理 = 求出 c 的值即可. sin A sin C [名师点拨] 在△ABC 中,已知任意两边及一边的对角,能求出△ABC 的其他所有元 素.(请看讲 2) ?讲一讲 2.在△ABC 中,已知 c= 6,A=45°,a=2,解这个三角形.(链接教材 P4-例 2) a c [尝试解答] ∵ = , sin A sin C csin A ∴sin C= a = 6×sin 45° 3 = , 2 2

∴C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,B=75°, 6sin 75° csin B b= = = 3+1; sin C sin 60° 当 C=120°时,B=15°, 6sin 15° csin B b= = = 3-1. sin C sin 120° ∴b= 3+1,B=75°,C=60°或 b= 3-1,B=15°,C=120°.

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

?练一练 2.根据下列条件解三角形: (1)a=10,b=20,A=60°; (2)a=2 3,b=6,A=30°. bsin A 20·sin 60° 解:(1)由正弦定理得,sinB= = a 10 = 3>1,∴三角形无解. (2)由正弦定理得, bsin A 6sin 30° 3 sin B= = = , a 2 2 3 ∴B=60°或 120°. 当 B=60°时,C=90°, asin C 2 3sin 90° c= = =4 3; sin A sin 30° 当 B=120°时,C=30°, asin C 2 3sin 30° c= = =2 3. sin A sin 30° ∴B=60°,C=90°, c=4 3或 B=120°,C=30°,c=2 3.

?讲一讲 cos A cos B cos C 3.在△ABC 中,若 = = ,试判断△ABC 的形状.(链接教材 P10-B 组 a b c T2) [思路点拨] 由正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系式,得出内角关系. [尝试解答] 法一:由正弦定理, 令 a b c = = =k(k>0), sin A sin B sin C

得 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k≠0), 代入已知式子得 cos A cos B cos C = = . ksin A ksin B ksin C ∴ sin A sin B sin C = = . cos A cos B cos C

∴tan A=tan B=tan C. 又∵A、B、C∈(0,π),

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∴A=B=C.∴△ABC 为等边三角形. 法二:由正弦定理得 a b c = = . sin A sin B sin C

cos A cos B cos C 又∵ = = , a b c ∴ ∴ 即 a cos A b cos B c cos C · = · = · . sin A a sin B b sin C c cos A cos B cos C = = . sin A sin B sin C sin A sin B sin C = = . cos A cos B cos C

∴tan A=tan B=tan C. 又∵A、B、C∈(0,π), ∴A=B=C.∴△ABC 为等边三角形.

(1)根据边角关系判断三角形形状的途径: ①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系, 通过因式分解、 配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状; ②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系, 通过三角恒等变形, 得出 内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π这个蕴含的结论. 在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. (2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三 角形或锐角三角形, 要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. ?练一练 3.在△ABC 中,a2tan B=b2tan A,试判断三角形的形状. 解:在△ABC 中,由正弦定理,得 a b = , sin A sin B

a sin A a2 sin2A ∴ = .∴ = .又∵a2tan B=b2tan A, b sin B b2 sin2B a2 tan A tan A sin2A ∴ 2= ,∴ = .∴sin Acos A=sin Bcos B.即 sin 2A=sin 2B. b tan B tan B sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. ———————————————[ 升]—————————————— 1.本节课的重点是正弦定理的应用,难点是正弦定理的推导. 2.本节课要牢记正弦定理及其常见变形: 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 课 堂 归 纳 · 感 悟 提

a b c (1) = = =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径); sin A sin B sin C (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a+b+c a b c (3) = = = ; sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C (4)在△ABC 中,sin A>sin B?A>B?a>b. 3.要掌握正弦定理的三个应用: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角,见讲 1. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角,见讲 2. (3)判断三角形的形状,见讲 3. 4.本节课的易错点有两处: (1)已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能出现无解或两解的情况,如讲 2. (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”,如练 3.

第 2 课时 余 弦 定 理

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P5~P8,回答下列问题: (1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,那么,这个三角形的大小、形状能完 全确定吗? 提示:根据三角形全等的判定方法,可知这个三角形的大小、形状完全确定. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)如图在△ABC 中,若 a=m,b=n,C=α,能利用前一节课我们所学的正弦定理求边 AB 的长吗?

提示:不能.因为应用正弦定理必须具备“一条边及其对角”的条件. (3)上述问题 2 能用平面向量的知识解决吗?请参照教材第 5 页图 1.1-3 的方法给出证 明.

2.归纳总结,核心必记 (1)余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C. (2)余弦定理的推论 b2+c2-a2 在△ABC 中,cos A= , 2bc a2+c2-b2 cos B= , 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab [问题思考] 若△ABC 为钝角三角形,且 A>90°,则三边 a,b,c 满足什么关系? 提示:∵a,b,c 为△ABC 的三边,且 A>90°, b2+c2-a2 ∴cos_A<0,即 <0.∴b2+c2<a2. 2bc [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)余弦定理的内容:

; (2)余弦定理的推论:

; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(3)余弦定理和勾股定理的关系:



[思考] 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式,从方程的角度看已知其中 三个量,可求第四个量,如果已知△ABC 的两边 a,b 和其夹角 C,如何求其他元素? 名师指津:可先利用余弦定理求出第三边,然后利用正弦定理求角. ?讲一讲 1.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( 3+1),解此三角形.(链接教材 P7-例 3) [尝试解答] 由余弦定理得, b2=a2+c2-2accos B=82+[4( 3+1)]2-2×8×4( 3+1)· cos 60° 1 =64+16(4+2 3)-64( 3+1)× =96, 2 ∴b=4 6. b2+c2-a2 96+16( 3+1)2-64 2 法一:由 cos A= = = , 2bc 2 2×4 6×4( 3+1) ∵0°<A<180°, ∴A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. a b 法二:由正弦定理 = , sin A sin B ∴ 8 4 6 = , sin A sin 60° 2 , 2

∴sin A=

∵b>a,c>a,∴a 最小, 即 A 为锐角.因此 A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边, 其余角的求解有两种思路: 一是利用余弦定理的推论求出 其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0, π)上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好. ?练一练 1.在△ABC 中,已知 a=2 2,b=2 3,C=15°,解此三角形. 解:c2=a2+b2-2abcos C=(2 2)2+(2 3)2-2×2 2×2 3×cos(45° -30°)=8-4 3 =( 6- 2)2 ∴c= 6- 2. b2+c2-a2 法一:由余弦定理的推论得 cos A= 2bc (2 3)2+( 6- 2)2-(2 2)2 2 = = . 2 2×2 3×( 6- 2) ∵0°<A<180°, ∴A=45°,从而 B=120°. 法二:由正弦定理得 6- 2 2 2× 4 asin C 2 sin A= = = . c 2 6- 2 ∵a<b,∴A<B,又 0°<A<180°, ∴A 必为锐角, ∴A=45°, 从而得 B=120°.

[思考 1] 已知三角形的两边及其中一边的对角,解三角形的一般思路如何? 名师指津: 先利用正弦定理求出另一边所对的角, 然后利用三角形内角和定理求出第三 个角,最后再由正弦定理求出第三个边. [思考 2] 对于[思考 1]中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形? 名师指津:设三角形的第三边为 x,通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关 系式,利用方程的思想,通过解方程即可得到 x 的值. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

?讲一讲 2.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30°,求角 A、角 C 和边 a. [尝试解答] 法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°, ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6.当 a=3 时,A=30°, ∴C=120°.当 a=6 时,由正弦定理得 1 6× 2 asin B sin A= = =1. b 3 ∴A=90°,∴C=60°. 1 3 3 法二:由 b<c,B=30°,b>csin 30°=3 3× = 知本题有两解.由正弦定理得 sin 2 2 1 3 3× 2 csin B 3 C= = = , b 3 2 ∴C=60°或 120°, 当 C=60°时,A=90°,△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 a= b2+c2= 32+(3 3)2=6, 当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形,∴a=3.

已知两边及其中一边的对角解三角形 可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍),再利用正弦定理求其他的 两个角;也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍),再利用三角形内角和定理求出第 三个角,最后再利用正弦定理求出第三边. ?练一练 π 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 A= ,a= 3,b=1,则 3 c 等于( A.1 ) B.2 C. 3-1
2 2 2

D. 3

b +c -a 解析:选 B 由余弦定理得 cos A= , 2bc
2 1 1+c -3 ∴ = , 2 2×1×c

∴c2-2=c, ∴c=2 或 c=-1(舍). 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[思考] 在前面我们所解的三角形问题,已知条件中都至少含有一个角,若已知三角形 的三边,能否解此三角形?你能给出具体解决方法吗? b2+c2-a2 a2+c2-b2 名师指津:可利用余弦定理的推论 cos_A= 或 cos_B= 或 cos_C= 2bc 2ac a2+b2-c2 求解. 2ab ?讲一讲 3. (1)已知△ABC 的三边长为 a=2 3, b=2 2, c= 6+ 2, 求△ABC 的各角度数; (链 接教材 P7-例 4) (2)已知三角形 ABC 的三边长为 a=3,b=4,c= 37,求△ABC 的最大内角. b2+c2-a2 [尝试解答] (1)由余弦定理得,cos A= 2bc = (2 2)2+( 6+ 2)2-(2 3)2 1 = , 2 2×2 2×( 6+ 2)

∴A=60°. a2+c2-b2 cos B= 2ac = (2 3)2+( 6+ 2)2-(2 2)2 2 = , 2 2×2 3×( 6+ 2)

∴B=45°, ∴C=180°-A-B=75°. (2)∵c>a,c>b, ∴角 C 最大. 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C, 即 37=9+16-24cos C, 1 ∴cos C=- , 2 ∵0°<C<180°, ∴C=120°. ∴△ABC 的最大内角为 120°.

已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得 的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角. ?练一练 3.已知 a=7,b=3,c=5,求△ABC 的最大角和 sin C. 解:∵a>c>b, ∴A 为最大角. 由余弦定理,得 b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= = =- , 2bc 2 2×3×5 又∵0°<A<180°, ∴A=120°. ∴sin A= 3 ,由正弦定理,得 2

c·sin A 5 3 5 3 sin C= = × = . a 7 2 14

?讲一讲 4.在△ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C.试判断△ABC 的形状. [思路点拨] 把已知条件中的正弦函数式化为余弦,再由余弦定理把式子化为边的关系 式. [尝试解答] 将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理, a +c -b a +b -c a +b -c ? 2 ?a +c -b ? 可得 b +c -b ·? ? 2ab ? -c ·? 2ac ? =2bc· 2ac · 2ab ,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[(a2+b2-c2)+(a2+c2-b2)]2 即 b2+c2= . 4a2 所以 b2+c2=a2. 所以△ABC 为直角三角形.

利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、 配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解. ?练一练 4.在△ABC 中,若(a-c· cos B)· sin B=(b-c· cos A)· sin A,判断△ABC 的形状. 解:结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

a +c -b ? b +c -a ? ?a-c· ·b=?b-c· ·a, 2ac ? 2bc ? ? ? 整理得,(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, 所以 a2+b2-c2=0 或 a2=b2, 所以 a2+b2=c2 或 a=b, 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.

2

2

2

2

2

2

——————————————[课堂归纳· 感悟提 升]———————————————

1.本节课的重点是余弦定理及其推论,并能用它们解三角形,难点是在解三角形时, 对两个定理的选择. 2.本节课要掌握的解题方法: (1)已知三角形的两边与一角,解三角形,如讲 1 和讲 2. (2)已知三边解三角形,如讲 3. (3)利用余弦定理判断三角形的形状,如讲 4. 3.本节课的易错点有两处: (1)正弦定理和余弦定理的选择: 已知两边及其中一边的对角,解三角形,一般情况下,利用正弦定理求出另一边所对的 角,再求其他的边或角,要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解,只需解一个一元二次方 程,即可求出边来,比较两种方法,采用余弦定理较简单. (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的 平方, 通常转化为一元二次方程求正实数. 因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足 的基本条件.

[即时达标对点练] 题组 1 利用余弦定理解三角形 1.已知在△ABC 中,a=1,b=2,C=60°,则 c 等于( A. 3 B. 2 C. 5 D.5 )

解析:选 A 由余弦定理,得 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

c2=12+22-2×1×2×cos 60°=3, ∴c= 3,故选 A. 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( π A. 3 π B. 6 π C. 4 π D. 12 )

解析:选 B ∵a>b>c, ∴C 为最小角,由余弦定理得 a2+b2-c2 72+(4 3)2-( 13)2 3 cos C= = = , 2ab 2 2×7×4 3 π ∴C= . 6 3.已知在△ABC 中,b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于( 1 A. 4 3 B. 4 C. 2 4 D. 2 3 )

解析:选 B ∵b2=ac,c=2a, ∴b2=2a2, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴cos B= = = . 2ac 4a2 4 4.已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C 的大小为 ( ) A.60° B.90° C.120° D.150°

解析:选 C ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, ∴a2+b2-c2=-ab, 即 a2+b2-c2 1 =- , 2ab 2

1 ∴cos C=- , 2 ∴C=120°. 5.已知在△ABC 中,a=2,b=4,C=60°,则 A=________. 1 解析:由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=22+42-2×2×4× =12, 2 ∴C=2 3. a c 由正弦定理 = 得, sin A sin C 3 2× 2 asin C 1 sin A= = = . C 2 2 3 ∵0°<A<120°, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴A=30°. 答案:30° 7 6.设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= .求 9 a,c 的值. 解:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B). 7 又 b=2,a+c=6,cos B= , 9 所以 ac=9, 解得 a=3,c=3. A 7.已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 +cos A 2 =0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. A 解:(1)∵cos A=2cos2 -1, 2 A ∴2cos2 =cos A+1. 2 A 又 2cos2 +cos A=0, 2 ∴2cos A+1=0, 1 ∴cos A=- , 2 ∴A=120°. (2)由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A, 1 又 a=2 3,b=2,cos A=- , 2 1 - ?, ∴(2 3)2=22+c2-2×2×c×? ? 2? 化简,得 c2+2c-8=0,解得 c=2 或 c=-4(舍去). 题组 2 利用余弦定理判断三角形的形状 8.在△ABC 中,若 B=60°,b2=ac,则△ABC 的形状是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 )

解析:选 D ∵b2=ac,B=60°,由余弦定理 b2=a2+c2-2ac· cos B, 得 a2+c2-ac=ac, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

即(a-c)2=0, ∴a=c.又 B=60°, ∴△ABC 为等边三角形. A c-b 9. 在△ABC 中, sin2 = (a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边), 则△ABC 的形状为( 2 2c A.正三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形 )

A 1-cos A c-b 解析:选 B ∵sin2 = = , 2 2 2c
2 2 2 b b + c -a ∴cos A= = , c 2bc

化简,得 a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 10. 在△ABC 中, 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且 2cos A· sin B=sin C, 试判断△ABC 的形状. 解:法一:(角化边) sin C c 由正弦定理得 = , sin B b 由 2cos A·sin B=sin C, sin C c 得 cos A= = . 2sin B 2b 又由余弦定理的推论得 c2+b2-a2 cos A= , 2bc ∴
2 2 2 c c +b -a = , 2b 2bc

即 c2=b2+c2-a2, ∴a=b. 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, ∴(a+b)2-c2=3b2, ∴4b2-c2=3b2, ∴b=c. ∴a=b=c, ∴△ABC 为等边三角形. 法二:(边化角) ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B). 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

又∵2cos A·sin B=sin C, ∴2cos A·sin B=sin A·cos B+cos A·sin B, ∴sin(A-B)=0. 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角, ∴A=B. 又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得(a+b)2-c2=3ab, a2+b2-c2+2ab=3ab, 即 a2+b2-c2=ab, 1 由余弦定理得 cos C= ,而 0°<C<180°, 2 ∴C=60°. 又∵A=B, ∴△ABC 为等边三角形. [能力提升综合练] 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C=120°,c= 2a,则( A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 )

解析:选 A 在△ABC 中,c2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab. ∵c= 2a, ∴2a2=a2+b2+ab, ∴a2-b2=ab>0, ∴a2>b2,∴a>b. 2.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.由增加的长度确定 )

解析:选 A 设直角三角形的三边长分别为 a,b,c,且 a2+b2=c2,三边都增加 x, 则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)· x+x2>0,所 以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 3.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( A.45° B.60° C.75° D.90° )

解析:选 C 由题意可知 c<b<a, 或 a<b<c,不妨设 c=2x, 则 a=( 3+1)x, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

a2+c2-b2 ∴cos B= . 2ac
2 2 2 2 1 ( 3+1) x +4x -b 即 = . 2 2·( 3+1)x· 2x

∴b2=6x2. a2+b2-c2 ∴cosC= 2ab ( 3+1)2x2+6x2-4x2 2 = = , 2 2( 3+1)x· 6x ∴C=45°, ∴A=180°-60°-45°=75°. 4.在△ABC 中,已知 BC=7,AC=8,AB=9,则 AC 边上的中线长为________. 解析:由已知条件,得 AB2+AC2-BC2 92+82-72 2 cosA= = = . 2AB·AC 2×9×8 3 设 AC 边上的中线长为 x, 由余弦定理,得 AC?2 AC 2 x2=? ? 2 ? +AB -2× 2 ×ABcos A 2 =42+92-2×4×9× =49, 3 解得 x=7, 所以所求中线长为 7. 答案:7 5.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,那么 a 的取值范围是________. 解析:∵2a-1>0, 1 ∴a> , 2 ∴最大边的边长为 2a+1.设其所对的角为 A. ∵三角形为钝角三角形, a2+(2a-1)2-(2a+1)2 ∴cos A= <0, 2a(2a-1) ∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2, 解得 0<a<8,又 a+2a-1>2a+1, ∴a>2,综上得 2<a<8. 答案:(2,8)

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sin C 2 6.在△ABC 中,BC=3,AB=2,且 = ( 6+1),则角 A=________. sin B 5 解析:设△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由题意得 a=3,c=2, 且 sin C 2 c = ( 6+1)= , sin B 5 b

2 ∴b= = 6-1, 2 ( 6+1) 5 b2+c2-a2 1 ∴cos A= =- , 2bc 2 ∴A=120°. 答案:120° 7.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2, 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 故 cos B= 2 . 2

又 B 为三角形的内角, 因此 B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° = 2+ 6 . 4

2+ 6 bsin A 故 a= = =1+ 3, sin B 2 sin 60° bsin C c= =2× = 6. sin B sin 45° 1 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 解:(1)∵cos 2C=1-2sin2C=- ,0<C<π, 4

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∴sin C=

10 . 4

(2)当 a=2,2sin A=sin C 时, a c 由正弦定理 = ,得 c=4. sin A sin C 1 6 由 cos 2C=2cos2C-1=- 及 0<C<π,得 cos C=± . 4 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, 得 b2± 6b-12=0(b>0),解得 b= 6或 2 6,

?b= 6, ?b=2 6, ∴? 或? ?c=4 ?c=4.

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