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分类讨论在利用导数解题时的几个优先原则 Microsoft Word 文档 (2)

分类讨论在利用导数解题时的几个优先原则
433300 湖北省监利一中 利用导数解含参数的函数的单调区间或函数的最值问题,经常要考查分类讨论数学思 想,在解答过程中,讨论顾此失彼或者分类重复漏洞的现象屡屡发生,其实养成良好的做题 习惯,把握讨论中的几个优先原则,可有效的减少失误,大大提高准确率。 案例 1 分类讨论求函数的单调区间 例 1(2010 年高考山东省理科 22 题)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 时,讨论 f ? x ? 的单调性 解 函数定义域 ?x | x ? 0? ,

1? a x

? 1 ,当 a ?

1 2

f ?? x ? ?

1 x

?a?

a ?1 x2

??

ax 2 ? x ? 1 ? a ? 1? ? x ? 0, a ? ? 2 2? x ?
?x ? 0 ? f ?? x ? ? 0

先求函数的单调增区间,解不等式组 ?

即?

?x ? 0
2 ? h ? x ? ? ax ? x ? 1 ? a ? ? x ? 1??ax ? ?a ? 1?? ? 0

①当 a ? 0 时,不等式组为 ?

?x ? 0

? ? ? x ? 1? ? 0

? x ? 1 即 x ? ?1,?? ? ,函数 f ? x ? 单调增; x ? ?0,1? 时,函数 f ? x ? 单调减
?x ? 0 1? a ? ②当 a ? 0 时,不等式组变为 ? , ,而 a ? 0 时 ?0 1? a ? ? ? x ? 1?? x ? a ??0 ? a ? ? ?

?x ? 0 ? ?不等式组的解为 ? 1? a ? x ? 1或 x ? a ?

得x ?1

即 x ? ?1,?? ? ,函数 f ? x ? 单调增; x ? ?0,1? 时,函数 f ? x ? 单调减

?x ? 0 ? ③当 a ? 0 时,不等式组变为 ? 1? a ? ? ?? x ? 1?? x ? a ? ? 0 ? ? ?

1

而1 ?

1- a a
1 2

?

2a ? 1 a

? 0 ,1 ?

2a ? 1 a

,?0 ? a ?

? ?

1? ? 2?

当a ?

时不等式组变为 ?

?x ? 0 ?? x ? 1? ? 0
2

得 x ? ? ,即 x ? ?0,?? ? 函数 f(x)单调减

?x ? 1 ? 当 0 ? a ? 时,不等式组变为 ? 1? a 2 ?1 ? x ? a ?

1

?1 ? x ?

1? a a

即 f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减,

? 1? a ? ?1? a ? , ?? ? 上单调减 ?1, ? 上单调增; ? a ? ? ? a ?
综上所述 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减,在 ?1,?? ? 上单调增 当0 ? a ? 当a ?

1 2

时, f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减; ? 1,

? 1? a ? ?1? a ? , ?? ? 上单调减 ? 上单调增 ? a ? ? ? a ?

1 2

时, f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调减。

案例分析:分类讨论时的几个优先原则: ① 本题单调区间在定义域 ?0, ?? ? 上考虑,而分类时先求函数 f ? x ? 的增区间,其在 ?0, ?? ? 上的补集就是对应的减区间。 因此,在解题开始时,求出 f ?? x ? ?

1 x

?a?

a ?1 x2

??

ax 2 ? x ? 1 ? a x2

后,优先写出定

义域 ?0, ?? ? 和参数的范围 a ?

1 2

; 并采用解不等式组 ?

?x ? 0 来先求函数的单调增区间。 ? f ?? x ? ? 0

目的是一方面避免出现单调区间还有 ?? ? ,1? ,不考虑定义域的错误;另一方面,使参 数的讨论在 a ?

1 2

内进行,也为最后综合时对参数范围的讨论是否完整提供依据。

②解不等式组,涉及的二次项的系数 a ?

1 2

,要分 a ? 0; a ? 0; a ? 0 三种情况

一般而言,先讨论 a ? 0 ;讨论 a ? 0 和 a ? 0 时先将不等式中 x 的系数变为 1。 目的,做题时常常会注意到 a ? 0 和 a ? 0 时的相对复杂的情形,却恰好漏掉 a ? 0 的 简单情况; 越是明显的越容易漏掉; 另外将 x 的系数变为 1, 可先注意到不等号是否变方向, 避免 a ? 0 时,忘记变号,将单调区间的增减性刚好弄反。

2

③当 a ? 0 时,不等式中的两根 1 与

1? a a

比较大小,一般用比差法 1 ?

1? a a

?

2a ? 1 a

? 0,

1?

2a ? 1 a
一般而言, 两根大小比较用作差法, 要分成 1 ?

1? a

往往也是先考虑取等号,即 a ?

1 2

的情形,再讨论 1 ?

a 1? a

,1 ?

1? a a

,1 ?

1? a a

三种情形,

a
1 2
时,1 ?

目的:两个实数大小的比较,其分类按先等于,再大于,小于可避免漏掉等于情形。 另外,本题如果将条件改为 a ? R ,显然,还要考虑 a ?

1? a a

,从而不等式

?x ? 0 ?x ? 1 ? ? 组变为 ? 1 ? a , 即 x ? 1或 ? 1? a ? x ? 1或 x ? ?x ? a a ? ?
还需进一步比较 a ? 理如下:

1 2

时,

1? a a

与 0 大小,于是继续分 a ? 1,

1 2

? a ? 1, 和 a ? 1 ,处

?x ? 0 a ? 1 时,不等式组为 ? ? x ? 1 , 即 f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减, ? x ? 1或 x ? 0
在 ?1,?? ? 上单调增;

a ? 1 时,

1? a a

? 0 ,故不等式解为 x ? 1

即 f ? x ? 在 ?0,1? 上也是单调减, ?1,?? ? 上还是单调增;

1 2

? a ? 1 时, 0 ?
? ?

1? a a

? 1 故不等式组解为 x ? 1 或 0 ? x ?

1? a a

即 f ? x ? 在 ? 0,

1? a ? ?1? a ? ,1? 单调减, ?1,?? ? 单调增 ? 单调增, ? a ? ? a ?

很明显,在 a ?

1 2

时,因 ? 1 ?

1? a a

? 1 ,则需考虑

1? a a

与 0 的大小的三种情形。

④分类讨论结束,综合时,要检查参数的范围取并集是否恰好是 a ? 2 案例 2:分类讨论求函数的最值

1 2

,做到没有遗漏.

例 2(2011 年高考浙江文科 21 题)设函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? ax, a ? 0(1)求 f ? x ?
2 2

的单调区间; (2)求所有的实数 a ,使 e ? 1 ? f ? x ? ? e 对 x ? ?1, e? 恒成立
2

注 e 为自然对数的底数,

3

解 (1) f ?? x ? ? 减区间为 ?a , ?? ?

a2 x

? 2x ? a ? ?

? x ? a ??2 x ? a ?
x

? x ? 0, a ? 0 ? , 所以增区间为 ?0, a ? ,

( 2 x ? ?1, e? 时 , e ? 1 ? f ? x ? ? e 对 x ? ?1, e? 恒 成 立 , 即 f min ? x ? ? e ? 1 和
2

f max ? x ? ? e 2 要同时成立.由题意得, f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1 ,即 a ? e
由(1)知 f ? x ? 在 ?1, e ? 内单调递增。? ?

? f min ? x ? ? f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1
2 2 2 ? f max ? x ? ? f ?e ? ? a ? e ? ae ? e

得?

?a ? e ?? 2e ? a ? e

解得 a ? e

案例分析 ①含参数函数的最值求解的一般方法是: 先分析函数在整个定义域上的单调性, 再考虑 给定区间 ?1, e ? 的单调性来确定最值。如果用这样一般的思路, 则因为 a ? R ,首先对于 f ?? x ? ? ?

? x ? a ??2 x ? a ?
x

? x ? 0, a ? R ? 的单调性应分成三类

a ? 0 时,在 ?0, a ? 上单调增, ?a , ?? ? 单调减 a ? 0 时,在 ?0, ?? ? 上单调减
a? ? ? a ? a ? 0 时,在 ? 0,? ? 上单调增, ? ? , ?? ? 单调减 2? ? ? 2 ?
那么即便只考虑 a ? 0 时的情形,也要分三类考虑,即 ⑴ a ? e 时 f ? x ? 在 ?1, e ? 上单调增 求出 a ? e ?a ? e ? ? ? f max ? x ? ? f ?e ? ? e 2 ? f ? x ? ? f ?1? ? e ? 1 ? min ⑵1 ? a ? e 时, f ? x ? 在 ?1, a ? 上单调增, ?a, e ? 上单调减

?1 ? a ? e ? 2 ? f max ? x ? ? f ?a ? ? e ?? ? f ?1? ? e ? 1 ? f ?e ? ? e 2 ?
大小比较了.

a ??
此处因 f min ? x ? 只可能在 f ?1? 和 f ?e ? ,不再把两者进行

4

⑶ 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ?1, e ? 上单调减

?0 ? a ? 1 ? ? ? f max ? x ? ? f ?1? ? a ? 1 ? e 2 ? 2 2 ? f min ? x ? ? f ?e ? ? a ? e ? ae ? e ? 1
?0 ? a ? 1 ? ?? ? e ? 5e 2 ? 4 e ? 4 ? e ? 5e 2 ? 4 e ? 4 a? 或a? ? 2 2 ?


? e ? 5e ? 4 e ? 4 2

?1,

? e ? 5e ? 4 e ? 4 2

? 0 , 从而解集也为 ?

综合得, a ? 0 时,取 a ? e 同理,还需对 a ? 0 进行类似的分三种情况讨论,即 - 以及 a ? 0 的讨论 可见机械地沿用先整体分析 ?0, ? ? 上单调性,再局部分析 ?1, e ? 上的单调性,会产 ? 生三类七种不同情况的讨论,而且可以看到非常繁琐的计算,这虽然是通性、通法、通解 ②解答之所以能化繁为简,四两拔千斤,就是因为在分类讨论前,优先考虑参数 a 的范围, 不是简单的 a ? R ,而是用 f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1 缩小 a ? e ,从而三类七种不同情况的分类 只有一种情况 至此可见,分类讨论在导数解题时的几个优先原则有:先确定定义域;先缩小参数的范 围;当自变量最高次数的系数为参数,要考虑参数为零,为正、为负的三种可能;在比较两 根 ? 与 ? 大小时,要考虑 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 三种可能;而且一般先考虑等号,再考虑不 等情形

a 2

? e ;1 ? ?

a 2

? e ;?

a 2

? 1;

5