当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修2学案第二章


2.1.1 平面
一、学习目标: 利用生活中的实物对平面进行描述; 掌握平面的表示法及水平放置的直观图; 掌握平面的基 本性质及作用;培养学生的空间想象能力。 二、学习重、难点 重点:1 平面的概念及表示;2 平面的基本性质,注意它们的条件、结论、作用、图形语言及 符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、知识链接:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平 面的印象,你们能举出更多例子吗? 四、学习过程: 问题 1、平面的画法、表示? 平面通常用希腊字母 等表示,如 等,也可以用表示平面 的平行四边形的 来表示,如 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成 问题 2、点与平面的关系:平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作: 点 B 在平面α 外,记作: 例 1、判断下列各题的说法正确与否,在正确的说法的题号后打 √ ,否则打 × : 1) 、一个平面长 4 米,宽 2 米; ( )2) 、平面有边界; ( ) 2 2 3) 、一个平面的面积是 25cm ; ( )4) 、菱形的面积是 4cm ; ( ) 5) 、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 问题 3 如果直线 l 与平面α 有一个公共点,直线 l 是否在平面α 内?如果直线 l 与平面α 有两个公共点呢? 公理 1: 符号表示为 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 公理 2: 符号表示为: 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 注意: (1)公理中“有且只有一个”的含义是: “有” ,是说图形存在, “只有一个” ,是说图 形惟一, “有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的, 而且只有一个” ,也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面. 公理 3: 符号表示为: 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 教材 P43 例 1

五、小结与反思 1.平面的概念,画法及表示方法.2.平面的性质及其作用 3.符号表示 六、1。 已知下列四个命题:

⑴ 铺得很平的一张白纸是一个平面;

(2) 一个平面的面积可以等于 6 cm2 ;

(3) 平面是矩形或平行四边形的形状; (4) 两个平面叠在一起比一个平面厚. 其中正确的有( )个。 3 C 2 A 0 B 1 D 2. 若点 M 在直线 a 上,a 在平面 ? 内。 M 、a 、 间的上述关系可记为( 则 ) ?

A
M ? a, a ? ?
五点(

M ? a, a ? ?

B

M ? a, a ? ?

C

M ? a, a ? ?

D

3. A 、 B 、 C 、 D 四点共面, B 、 C 、 D 、 E 四点共面,问 A 、 B 、 C 、 D 、 E ) 共面 C 共线 B 不共面 D 不确定 4. 下列哪种情况可确定一个平面( ) A 四边形 B 两两相交且不共点的四条直线 C 空间三点 D 三条直线交于一点 5。空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有

A

( 个

) A。2 个或 3 个 B。4 个或 3 个 C。1 个或 3 个 D。1 个或 4

6。三条直线两两相交,可确定平面的个数为 ( ) A。1 B。2 C。3 D。1 或 3 7。有以下三个命题: ①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②直线 l 在平面 ? 内,可以用符号表示为“ l ? ? ” ③若平面 ? 内的一条直线 a 与平面 ? 内的一条直线 b 相交,则 ? 与 ? 相交 请将所有正确命题的序号写出 . 8。四条直线最多可确定 个平面。 9。 已知三棱锥 S ? ABC 的侧棱 SA、 SC 与底边 AB、 BC 上各分别有一点 P 、T 、

Q 、 R 四点,且 PT 与 QR 交于一点 K .求证: 直线 PT 、 QR 、 AC 共点

2.1.2 空间直线与直线的位置关系 1
一、学习目标: 1.掌握空间两条直线的位置关系,理解异面直线的概念 。2.理解并掌握公理 4,并能运 用它解决一些简单的几何问题。 D1

C1 B1

A1 D

C

二、学习重、难点 学习重点:异面直线的概念、公理 4 三、知识链接:

学习难点:异面直线的概念

四、学习过程: 问题 1 空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢? 观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;升旗广场上旗杆所在的直线 与柏油路所在的直线,它们的共同特征是什么? 异面直线: 问题 2、空间中两条直线的位置关系有三种

m 问题 3、判断:下列各图中直线 l 与 m 是异面直线吗?
?

m

l

?

?

m

?

m
?
l
?
l
?

m

m
?

l

l
?
?
l

问题 4.思考:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。 空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律? 观察:如图 2.1.2-2,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A1 D1 B1 D B C C1

AA1∥ BB1 , AA1∥ DD1 ,那么 BB1 与 DD1 平行吗?

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 A 符号表示为:设 a 、b、c 是三条直线 a ∥b => a ∥c b∥c 注:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间此性质都适用; 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 例 2:如图在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。

五、小结与反思

六、

1。在空间中,有下列说法:

(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形; (2)四边相等的四边形是菱形; (3)平行于同一条直线的两条直线平行; (4)有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等; 其中正确的是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2。 ⑴ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;

⑵ 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或 直角相等。 ⑶ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ⑷ 如果两条直线同平行与第三条直线,那么这两条直线互相平行; 其中正确的有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 3.若角α 与角β 两边分别平行,当α = 70 ,则β =( ) (A) 70 ? (B) 110
?
?

(C) 70 ? 或 110

?

(D) 以上都不对

4.已知空间四边形 ABCD 中,M,N 分别为 AB,CD 的中点,则下列判断正确的是( )

1 ( AC ? BD) 2 1 (C) MN ? ( AC ? BD) 2
(A) MN ? AC=4,则 EG +HF =
2 2

1 ( AC ? BD) 2 1 (D) MN ? ( AC ? BD) 2
(B) MN ?

5.设 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的四边 AB,BC,CD,DA 的中点,且 BD=2,

6.在空间四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,若 AC=BD, 且 AC ? BD,则四边形 EFGH 为 7.在正方形 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 AA1 ,CC1 的中点, 求证: BF ∥ ED1 且 BF = ED1

2.1.2 空间直线与直线的位置关系 2
一、学习目标 1.异面直线所成的角的定义 2.等角定理, 会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直 3 线所成的角,会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 二、学习重、难点 学习重点:异面直线所成的角 学习难点:找出或作出异面直线所成的角 三、知识链接: 1.异面直线: 2.空间中两条直线的位置关系有三种:

3 公理 4: 四、学习过程 A 问题 1 在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这 D 两个角相 A 1 等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢?
1

C B
1 1

观察:如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠ADC 与∠A1D1C1 ,∠ADC 与 ∠A1B1C1 两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 问题 2:异面直线所成的角的定义:

D A 1

C B

异面直线所成的角的范围: 注: 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角, 我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a ⊥ b 在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)哪些棱所在的直线与直线 BA1 成异面直线?(2)求直 线 BA1 和 CC1 所成的角的大小。 (3)哪些棱所在的直线与直线 A1B 垂直

问题 5 求异面直线所成的角的一般步骤是:①作辅助线找角;②指出角(或其补角) ;③求 角(解三角形) ;④结论。 五、小结与反思: 异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求 六、1.指出下列命题是否正确,并说明理由: (1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线; (2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,那些棱所在直线与直线 AA1 是异面直线且互相垂直. C1 D1

A1

D

B1 C

A B 3.在两个相交平面内各画一条直线,使它们成为: (1)平行直线;1.指出下列命题是否正确,并说明理由:

(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线; (2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,那些棱所在直线与直线 AA1 是异面直线且互相垂直. C1 D1

A1

D

B1 C

A B 3.在两个相交平面内各画一条直线,使它们成为: (1)平行直线;(2)相交直线;(3)异面直线.

4.在空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB、CD 中点, 且 EF=5 , 又 AD=6, BC=8. 求 AD 与 BC 所成角的大小. A E

D H

F C

B 解析:取 BD 的中点H,利用中位线性质,有 EH//AD,FH//BC, ∠EHF 或其补角为 AD 与 BC 所成角,可以求得∠EHF=90° 【学习延伸】

已知 A 是△BCD 所在平面一点,AB=AC=AD=BC=CD=DB,E 是 BC 的中点, (1)求证直线 AE 与 BD 异面 (2)求直线 AE 与 BD 所成角的余弦值
A

B C (1)反证法

D

(2)取CD的中点F, 连接EF, 可达到平移的目的. 直线 AE 与 BD 所成角的余弦值

3 6

2.1.3、2.1.4 直线与平面、平面与平面的位置关系
一、学习目标: 掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面、平面与平面的位置关系 二、学习重、难点 学习重点: 直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法 学习难点: 直线与平面、平面与平面的位置关系的判断 三、知识链接:1、空间两直线的位置关系(1)相交; (2)平行; (3)异面 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行.推理模式: a // b, b // c ? a // c . 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的锐角(或直角)相等 5 异面直线:我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 6 异面直线所成的角:已知两条异面直线 a, b ,经过空间任一点 O 作直线 a '// a , b '// b ,

a ', b '所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a ', b '所成的锐角(或直角)叫异面直线 a, b
所成的角 7.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直 线 a, b 垂直,记作 a ? b 四、学习过程: 问题 1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面, 可能有几种位置关系? 问题 2:如图,线段 A′B 所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? 结论:直线与平面的位置关系有且只有三种: 问题 3:如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?

问题 4:如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系? 例 1(见 P49)下列命题中正确的个数是( ) ⑴若直线 L 上有无数个点不在平面?内, L∥?, 则 (2)若直线 L 与平面?平行, L 与平面? 内 则 的任意一条直线都平行,(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与 这个平面平行,(4)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内任意一条直线都没有公共点 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 问题 5:围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种? 问题 6:平面与平面的位置有几种?分别用文字、图形、符号语言表示? 例 2 已知直线 a 在平面 α 外,则 ( ) (A) a ∥α, (B)直线 a 与平面 α 至少有一个公共点, (C) a ? ?

? A, (D)直线 a 与平面 α 至多有一个公共点

五、小结与反思

六、 1.已知 P ? 平面α ,P ? 直线 L,则 L 与α 的位置关系是 2.直线 L 与平面 α 有公共点,则有( ) A L∥ ? B

l ??

C

l与?相交 D

l ? ? 或 l与?相交


3.平面 ? 与平面 ? 有一个公共点,则平面 ? 与平面 ? ( A 平行 B 相交 C 异面 D 不确定

确的是() 4. 若直线l与平面?不平行,则下列结论正
A C

? 内的所有直线都与直线 l 异面
? 内的直线都与 l 相交

B D

? 内不存在与 l 平行的直线
直线 l 与平面 ? 有公共点

5.已知 a,b,c 为三条不重合的直线, ?,? 为两个不重合的平面。则正确的是 ①a∥b, b ∥c

?

a ∥b

② a∥β ,b∥β ④a∥β , a∥ ?

?

a∥b

③ a ∥c , ? ∥c ? a ∥ ?

? ? ∥β

2.2.1、2.2.2 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
一、学习目标: 理解并掌握直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的判定定理. 二、学习重、难点 学习重点:掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理. 学习难点:理解直线与平面平行的判定定理. 理解平面与平面平行的判定定理. 三、知识链接 1、直线与平面有哪几种位置关系? (1)直线与平面平行;(2)直线与平面相交;(3)直线在平面内。 2、判断两条直线平行有几种方法? (1)三角形中位线定理;(2)平行四边形的两边;(3)平行公理;(4)成比例线段。 3、平面与平面之间的位置关系: (1) 两个平面平行------没有公共点 若α 、β 平行,记作β ∥α (2) 两个平面相交------有一条公共直线 四、学习过程: 一、直线与平面平行的判定 实例探究: 1.门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,另一边与门框所在平面具有什么样的位 置关系? 2.课本的对边是平行的,将课本的一边紧贴桌面,沿着这条边转动课本,课本的上边缘与 桌面所在平面具有什么样的位置关系? a A 问题 1:如图,1 .直线 a 与直线 b 共面吗?

2.直线 a 与平面 ? 相交吗? A 问题 2: 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 判定定理告诉我们,判定直线与平面平行的条件有三个分别是 (1) a 在平面 ? 外,即 a ? ?(面外) (2) b 在平面 ? 内,即 b ? ?(面内) (3) a 与 b 平行,即 a ∥b(平行

?

b

A E B

F D

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

思想: 线线平行 ? 线面平行

C

例 1、求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。 已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点。 求证:EF∥平面 BCD

要证 EF∥平面 BCD,关键是在平面 BCD 中找到和 EF 平行的直线,将证明线面平行的问题转 化为证明直线的平行 二、平面与平面平行的判定 A问题3:(1)平面β 内有一条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? (2)平面β 内有两条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? A 问题 4: 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示:若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? P,且a//? ,b//? , 则? // ? 。 利用判定定理证明两个平面平行,必须具备两个条件: (1)有两条直线平行于另一个平面, (2)这两条直线必须相交。 思想:线线相交,线面平行 ? 面面平行。 A 判断对错: (1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) A 例 2、 已知正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 ,求证:平面 AB1 D1 //平面 C1 BD 。

证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中一个平面内找出两条相交

直线分别平行于另一个平面. 五、小结与反思: 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行 ? 线面平行 符号: 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 线线相交,线面平行 ? 面面平行 符号: 六、作业: 1。过直线 L 外两点作于直线平行的平面,可以做( )

A1个 B 1 个或无数个 C 0 个或无数个 D 0 个,1 个或无数个 2。直线与平面平行的条件是这条直线与平面的( ) A 一条直线不相交 B 两条直线不相交 C 任意一条直线不相交 D 无数条直线 不相交 3。下列命题正确的是( ) A 直线 L 平行与平面 ? 内的无数条直线 B 若直线 a ? ? ,则 a∥ ? C 若直线 a∥ ? ,b ? ? ,则 a∥ ? D 若直线 a∥b,b ? ? ,直线 a 平行与平面内的无数条直线 4。设 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系( ) A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、AC 在此平面内 5。点 M、N 各是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两棱 A1A 与 A1B1 的中点,P 是正方体 ABCD 的中心,则 MN 与平面 PCB1 的位置关系是( ) A、平行 B、相交 C、MN ? 平面 PCB1 D 以上三种情况都有可能 6。下面给出了四个命题: (1)如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; (2)如果直线 a 和平面 ? 满足 a∥ ? ,那么 a 与 ? 内的任何直线平行; (3)如果直线 a、b 满足 a∥ ? ,b∥ ? ,那么直线 a∥b; (4)如果直线 a、b 和平面 ? 满足 a∥b,a∥ ? ,b ? ? ,那么 b∥ ? 。 其中,正确的有( )个 A。0 B。1 C。2 D。3 7。正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E 为 DD 1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系 是 。 8。棱长为 a 的正方体 ABCD---

AB1C1 D1 中, M 、 N 分别是棱 A1 B1 、 B1C1 得中点,

P 是 棱 AD 上 一 点 , AP ?
PQ= 。

a , 过 P 、 M 、 N 的 平 面 与 棱 CD 交 于 Q, 则 3
2 a。 3

9。在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= (1) 求证:MN//平面 BB1C1C (2) 求 MN 的长

10。在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN (1) 、求证:MN//平面 BB1C1C; (2) 、求 MN 的长的最小值.

.

2.2.3、2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
一、学习目标: 理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题 二、学习重、难点 学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用 学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法, 三、知识链接: 1.空间直线与直线的位置关系 2.直线与平面的位置关系 3.平面与平面的位置关系 4.直线与平面平行的判定定理的符号表示 5.平面与平面平行的判定定理的符号表示 五、学习过程: A 问题 1:1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位 置关系?(观察长方体) 2)如果一条直线和一个平面平行,如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行?

(可观察教室内灯管和地面) 由于直线 a 与平面α 内的任何直线无公共点,所以过直线 a 的某一平面,若与平面α 相交, 则直线 a 就平行于这条交线 B 自主探究 1:已知: a ∥α , a ? β ,α ∩β =b。求证: a ∥b。

直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 符号语言: 线面平行性质定理作用:证明两直线平行,思想:线面平行 ? 线线平行 例 1:有一块木料如图,已知棱 BC 平行于面 A′C′ (1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面 AC 有什么关系?
D'

A' P C' B' C A

D

B

例 2:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平 面。

问题 5:两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系? 自主探究 2:如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,求证:a∥b

平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言: 面面平行性质定理作用:证明两直线平行, 思想:面面平行 ? 线线平行 例 3 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等 已 知 : ? // ? , AB∥CD , A ?? , D ?? , B ? ? , C ? ? , 求 证 :

AB ? CD 。

五、小结与反思:

六、1。如果一个平面内有无数条直线平行与另一平面,那么这两个平面( ) A 一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 一定重合 2。经过平面外两点可作于该平面平行的平面个数为() A 0 B 1C 0 或 1 D 1 或 2 3。若一个平面内的两条直线分别平行与另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关 系() A 一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 以上都不对 4。与平面 ? 的距离都是 d 的点的轨迹是() A 无轨迹 B 2 条平行直线 C 一条直线 D 两个平面 5。已知一条直线和两个平行平面中的一个相交,则它必与另一个平面() A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 平行或在平面内 6.设 ? , ? 是两平面, l , m 是 ) B。 l ? ? , m ? 且 l ⊥ m

两条直线,那么 ? ∥ ? 的一个等价条件是( A。 l ? ? , m ? ? ,且 l ∥ ? , m ∥ ? 7。若直线 a//平面

? ,平面 ? //平面 ? ,直线 a 与平面 ? 的关系

8。已知平面 ? ? 平面 ? =c,a// ? ,a// ? ,则 a 与 c 的位置关系 9。过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三个顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线 为 l ,则 l 与 A1C1 的位置关系 10。正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点, 求证:平面 AMN//平面 EFDB

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、学习目标: 理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理, 并能运用判定定理证明一些 空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法; 二、学习重、难点 学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三知识链接: 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 平面与平面平行性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 五、学习过程: 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义 A 问题 1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改 变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? A 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 互相垂直,记作:

l⊥α . 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯

l α
P

一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言:

a是平面?内任一直线? ?? l ?? l?a ? 思想: 直线与平面垂直 ? 直线与平面垂直

图形语言:

A 思考: (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面 垂直? (2) 如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?即 若 l ? ? , a ? ? ,则 l ? a 2、直线与平面垂直的判定定理 A 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸 片,得到折痕 AD(如图 1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) A A (1)折痕 AD 与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? B C D D B A 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 C 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P ? ??l ?? l ? m, l ? n ? 图形语言: α m p n l

思想: 直线与直线垂直 ? 直线与平面垂直 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m , 它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子, 拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6m , 那么旗杆就和地面垂直,为什么?

A 问题 5、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些 直线有怎样的位置关系? D1 A1 D A B B1 C1

a
C

b

?

A 例 2:如图 5,已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗?请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法 (1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线 垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面即 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 3、直线与平面所成的角 问题 6: 斜线: 斜足: 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角. 例 3: 在正方体 ABCD _ A1 B1C1D1 中,求: (1)直线 A1 B 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 A1 B 和平面 A1 B1C D 所成的角
A A1 D1 B1 C1

D B

C

▲ 小结:直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角 五、总结评价: 直线与平面垂直的判定方法 1.定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线, 那么此直线垂直于这个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于 90°,则这条直线和平面垂直

六、作业: 1.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 2.已知平面 ? 及 ? 外一直线 l ,下列命题中:

①若 l 垂直 ? 内两直线,则 l ? ? ;②若 l 垂直 ? 内所有直线则 l ? ? ;③若 l 垂直 ? 内两条平行直线, l ? ? ; 则 ④若 l 垂直 ? 内无数条直线, l ? ? ; 则 ⑤若 l 垂直 ? 内任一条直线,则 l ? ? 。 其中不正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3。直线 a⊥b,b⊥平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系是 ( ) A。a⊥ ? B. a∥ ? C.a ? ? D. a ? ? 或 a∥ ? 4。下列命题中,正确的是 ( ) A。 ?

?a // b ? b // ? ?a ? ?

B。 ?

?a ? b ? b // a ?b ? ?

C。 ?

?a ? ? ? b // ? ?a ? b

D。 ?

?a // ? ?b ?? ?a ? b


5。 已知 ?ABC 在平面 ? 内, ∠A=90°, ? 平面 ? , CA 与 DB 的位置关系是 DA 则 6。Rt ?ABC 中,D 是斜边 AB 的中点,CA=6,BC=8,EC ? 平面 ABC,且 EC=12,则 ED= 。 7。如图所示,在四面体 ABCD 中,若 AB ? CD,AD ? BC,AO⊥平面 BCD 于 O 求证:AC ? BD。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、学习目标: 正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概 、 、 念;掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用;

二、学习重、难点 学习重点: 平面与平面垂直的判定;学习难点: 如何度量二面角的大小。 三、知识链接: 直线与平面垂直的定义: 直线与平面垂直的判定定理: 直线与平面所成的角: 四、学习过程: 问题 1: 二面角: 二面角的表示: 二面角的平面角: 直二面角: 二面角的平面角∠AOB 的特点: (1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在二面角的两个面上;(3)角的两边分别和棱垂直。 特别指出:①二面角的大小是用平面角来度量的,其范围是[0, 180 ) ; ②二面角的平面角的大小与棱上点(角的顶点)的选择无关,是有二面角的两个面的位置惟 一确定;③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 规律:求异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 二、两个平面互相垂直 定理: 符号语言: AB ? ?,AB ? ? =B,AB ? ? ? ? ? ? ;图形语言: 思想:线面垂直 ? 面面垂直 判断对错: 1.如果平面 ? 内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线,则 ? ⊥β .( ) 2.如果平面 ? 内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线,则 ? ⊥β .( ) 3.如果平面 ? 内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线, 则 ? ⊥β .( ) 例 2、已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,A 为垂足,AB 为圆 O 的直径,C 是圆周 上异于 A、B 的一点。 探究 1、 四面体 P-ABC 的四个面的形状是怎样的?探究 2、 有哪些直线和平面垂直?探 究 3、有哪些平面相互垂直?求证:平面 PAC?平面 PBC(关键:找与平面垂直的线.) 五、学后反思 六、作业; (1) 如果直线 l.m 与平面 ? .? .? 满足 : l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? , m ? ? , 那么必有 ( A. ? ? ? 和l ? m B. ? // ? 和m // ? )
0

C. m // ? , 且l ? m

D. ? // ? , 且? ? ?

(2)设 a、b 是两条不同的直线, ? .? 是两个不同的平面,则下列 4 个命题: ①若 a ? b, a ? ? , 则b // a; ③若 a ? ? ,? ? ? , 则a // ? ; ②若 a / /? ? ? ? 则a ? ? ; , , ④若 a ? b a?? , b?? 则 ? ? ? . , ,

其中正确的命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (3)如图 1—2—87 所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD= 90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四 面体 ABCD 中,下列命题正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 4。下面 4 个命题: ①三个平面两两互相垂直,则它们交线也两两互相垂直; ②三条共点的直线两两互相垂直,分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂 直; ③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直; ④分别经过两条互相垂真的直线的两个平面互相垂直。 其中正确命题的序号是 。 5。已知 ? .? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及? 之外的两条不同直线,给出 4 个 论断: ① m ? n; ②? ? ? ; ③ n ? ?; ④ m ?? 。



以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 。 6。如图 1—2—88 所示,四棱锥 V—ABCD 的底面为矩形,侧面 VAB⊥底面 ABCD, 又 VB⊥平面 VAD。 求证:平面 VBC⊥平面 VAC。

2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、学习目标: (1)培养学生的几何直观能力和知识的应用能力,使他们在直观感知的基础上进一步学会 证明. (2)掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 (3)掌握等 价转化思想在解决问题中的运用. 二学习重、难点 1.重点:直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 2.难点:直线和平面垂直的性质定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。 三知识链接: 直线与平面垂直的判定定理符号语言:

平面与平面垂直的判定定理符号语言:

线面角: 二面角: 四、学习过程: 问题 1:如图,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都 垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?

a
问题 2:已知: a ? ? ,b ? ? 。求证:b∥ a 直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号语言 作用:线面垂直 ? 线线平行 合作探究: 设直线 a ,b 分别在正方体 ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使 b∥ a , a 、b 应满足什么条件?

b

五、小结与反思 直线与平面、平面与平面垂直的性质定理 线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

六、作业: 1.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 2.已知平面 ? 及 ? 外一直线 l ,下列命题中: ①若 l 垂直 ? 内两直线,则 l ? ? ;②若 l 垂直 ? 内所有直线则 l ? ? ;③若 l 垂直 ? 内两条平行直线, l ? ? ; 则 ④若 l 垂直 ? 内无数条直线, l ? ? ; 则 ⑤若 l 垂直 ? 内任一条直线,则 l ? ? 。 其中不正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3。直线 a⊥b,b⊥平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系是 ( ) A。a⊥ ? B. a∥ ? C.a ? ? D. a ? ? 或 a∥ ? 4。下列命题中,正确的是 ( ) A。 ?

?a // b ? b // ? ?a ? ?

B。 ?

?a ? b ? b // a ?b ? ?

C。 ?

?a ? ? ? b // ? ?a ? b

D。 ?

?a // ? ?b ?? ?a ? b


5。 已知 ?ABC 在平面 ? 内, ∠A=90°, ? 平面 ? , CA 与 DB 的位置关系是 DA 则 6。Rt ?ABC 中,D 是斜边 AB 的中点,CA=6,BC=8,EC ? 平面 ABC,且 EC=12,则 ED= 。 7。如图所示,在四面体 ABCD 中,若 AB ? CD,AD ? BC,AO⊥平面 BCD 于 O 求证:AC ? BD。

2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、学习目标: 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;能运用性质定理解决一些简单问题;了 解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 二、学习重、难点 重点:平面与平面垂直的性质及其应用。难点:掌握两个平面垂直的性质及应用. 三、知识链接: 直线和平面垂直的性质定理: 两个平面垂直的判定定理: 二面角的定义: 四、学习过程:

问题 1:黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 问题 2:如图,长方体 ABCD-A'B'C'D'中,平面 A'ADD'与平面 ABCD 垂直,直 线 A'A 垂直于其交线 AD,平面 A'ADD’内的直线 A'A 与平面 ABCD 垂直吗?

探究 1:如图,设 α ⊥β ,α ∩β =CD,AB?α ,AB⊥CD,且 AB∩CD=B,我 们看直线 AB 与平面 β 的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理: 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 想一想:用符号语言如何表述这个定理? 探究 2:1.若两个平面垂直,过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线?这条直线与 这个平面有何关系?可作多少条这样的垂线? 问题 3:思考:设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与 平面α 具有什么位置关系? 例 1:如图,已知平面 α,β 满足 α⊥β,直线 a 满足 a ⊥β, a ?α,试判断直线 a 与平面α 的 位置关系。

探究 3:已知平面 α,β,直线 a ,且 α⊥β,α∩β=AB, a ∥α, a ⊥AB, 试判断直线 a 与平面β 的位置关系? 五、小结与反思 请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容是什么? 类比这两节课学过的两个性质定理,你发现它们之间有何联系 六、作业; (1) 如果直线 l.m 与平面 ? .? .? 满足 : l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? , m ? ? , 那么必有 ( A. ? ? ? 和l ? m C. m // ? , 且l ? m B. ? // ? 和m // ? D. ? // ? , 且? ? ? )

(2)设 a、b 是两条不同的直线, ? .? 是两个不同的平面,则下列 4 个命题: ①若 a ? b, a ? ? , 则b // a; ③若 a ? ? ,? ? ? , 则a // ? ; 其中正确的命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

, , ②若 a / /? ? ? ? 则a ? ? ; , , ④若 a ? b a?? , b?? 则 ? ? ? .

(3)如图 1—2—87 所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD= 90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四 面体 ABCD 中,下列命题正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 4。下面 4 个命题: ①三个平面两两互相垂直,则它们交线也两两互相垂直; ②三条共点的直线两两互相垂直,分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂 直; ③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直; ④分别经过两条互相垂真的直线的两个平面互相垂直。 其中正确命题的序号是 。 5。已知 ? .? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及? 之外的两条不同直线,给出 4 个 论断: ① m ? n; ②? ? ? ; ③ n ? ?; ④ m ?? 。



以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 。 6。如图 1—2—88 所示,四棱锥 V—ABCD 的底面为矩形,侧面 VAB⊥底面 ABCD, 又 VB⊥平面 VAD。 求证:平面 VBC⊥平面 VAC。


相关文章:
高中数学必修2第二章教案(整理版).doc
高中数学必修2第二章教案(整理版) - 2.1.1 平二、教学重点、难点 重点:
高中数学必修2第二章导学案.doc
高中数学必修2第二章导学案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 高中数学必修2第二章导学案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修...
高中数学必修2学案.doc
高中数学必修2学案 - § 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1
高中数学必修二学案_图文.doc
高中数学必修二学案 - § 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备
高中数学必修2学案第二章.doc
高中数学必修2学案第二章 - 2.1.1 平面 一、学习目标: 利用生活中的实物
人教版高中数学必修2全部精品导学案.doc
人教版高中数学必修2全部精品导学案 - 必修 2 第一章 §2-1 柱、锥、台体
新课标高中数学必修二导学案.doc
新课标高中数学必修二导学案_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学必修二题型...106 2 第一章 空间几何体 § 1.1 【学习目标】 1.认识组成我们的生活世界...
高中数学 必修二 第二章完整全部教案及导学案经典练习.doc
高中数学 必修第二章完整全部教案及导学案经典练习 - 第二章 2. 1 2.
高中数学必修2全册导学案全集.doc
高中数学必修2全册导学案全集 - 高中数学必修 2 全册导学案全集 1.1.1
数学必修2导学案(精品).doc
数学必修2导学案(精品)_数学_高中教育_教育专区。必修2导学案 §2-1 第一
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面.doc
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面 - 中小学精品资料 第二章第一节平
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节空间中平面与....doc
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节空间中平面与平面之间的位置关系 - 第二章 第一节 空间中平面与平面之间的位置关系 三维目标 1.结合图形正确理解空间...
高中数学必修二第二章复习导学案.doc
高中数学必修第二章复习导学案 - 三元整合导学模式数学学科导学稿(教师版) 主
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面.doc
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面 - 初中、高中、教案、习题、试卷 第二章第一节平面 三维目标 1.能够利用生活中的实物感知平面; 2.会用图形语言...
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与....doc
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与平面平行的性质》练习题(含答案) - 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其...
高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案:第二章 2.3 直....doc
高中数学人教A版(浙江专版)必修2学案:第二章 2.3 直线平面垂直的判定及其
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时点....doc
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时点斜式学案苏教版必修2 - 第 1 课时 点斜式 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程 .2...
人教A版数学必修二 第二章2.3 《直线、平面垂直的判定....doc
人教A版数学必修二 第二章2.3 《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修第二章《2.3 直线、平面...
高中数学新学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初....ppt
高中数学学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初步 1.1 - 第二章 §1 直线与直线的方程 1.1 直线的倾斜角和斜率 学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜...
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面.doc
人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节平面 - 第二章第一节平面 三维目标 1