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【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:1.1.3四种命题间的相互关系

1.1.3

四种命题间的相互关系

课时目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系. 2.会利用命题的等价性解决问题.

1.四种命题的相互关系

2.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 (2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性______________.

一、选择题 1.命题“若 p 不正确,则 q 不正确”的逆命题的等价命题是( ) A.若 q 不正确,则 p 不正确 B.若 q 不正确,则 p 正确 C.若 p 正确,则 q 不正确 D.若 p 正确,则 q 正确 2.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 C.“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 3.与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 2 整除”等价的命题是( ) A.能被 2 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 6 整除的整数,一定不能被 2 整除 C.不能被 6 整除的整数,不一定能被 2 整除 D.不能被 2 整除的整数,一定不能被 6 整除 4.命题:“若 a2+b2=0 (a,b∈R),则 a=b=0”的逆否命题是( ) 2 2 A.若 a≠b≠0 (a,b∈R),则 a +b ≠0 B.若 a=b≠0 (a,b∈R),则 a2+b2≠0 C.若 a≠0,且 b≠0 (a,b∈R),则 a2+b2≠0

D.若 a≠0,或 b≠0 (a,b∈R),则 a2+b2≠0 5.在命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、 否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 6.设 α、β 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l?α,m?β,有如下的两 个命题:①若 α∥β,则 l∥m;②若 l⊥m,则 α⊥β.那么( ) A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 1 2 3 4 5 6 题号 答案 二、填空题 7 . “ 已 知 a ∈ U(U 为 全 集 ) , 若 a ? ? UA , 则 a ∈ A” 的 逆 命 题 是 ______________________________________,它是______(填“真”“或”“假”)命题. 8.“若 x≠1,则 x2-1≠0”的逆否命题为________命题.(填“真”或“假”) 1 1 9.下列命题:①“若 k>0,则方程 x2+2x+k=0 有实根”的否命题;②“若 > , a b 则 a<b”的逆命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是假命题的是 ________. 三、解答题 10.已知命题:若 m>2,则方程 x2+2x+3m=0 无实根,写出该命题的逆命题、否命题 和逆否命题,并判断真假.

11. 已知奇函数 f(x)是定义域为 R 的增函数, a, b∈R, 若 f(a)+f(b)≥0, 求证: a+b≥0.

能力提升 12.给出下列三个命题: a b ①若 a≥b>-1,则 ≥ ; 1+a 1+b n ②若正整数 m 和 n 满足 m≤n,则 m?n-m?≤ ; 2 ③设 P(x1,y1)是圆 O1:x2+y2=9 上的任意一点,圆 O2 以 Q(a,b)为圆心,且半径为 1. 当(a-x1)2+(b-y1)2=1 时,圆 O1 与圆 O2 相切.其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 13.a、b、c 为三个人,命题 A:“如果 b 的年龄不是最大的,那么 a 的年龄最小”和 命题 B:“如果 c 的年龄不是最小的,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a、b、c 的年龄

的大小顺序是否能确定?请说明理由.

1.互为逆否的命题同真假,即原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假.四种命题 中真命题的个数只能是偶数个,即 0 个、2 个或 4 个. 2.当一个命题是否定形式的命题,且不易判断其真假时,可以通过判断与之等价的逆 否命题的真假来达到判断该命题真假的目的.

1.1.3
知识梳理

四种命题间的相互关系

答案

1.若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p 2.(2)①相同 ②没有关系 作业设计 1.D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,只需写出原命题的否命题即可.] 2.D 3.D 4.D [a=b=0 的否定为 a,b 至少有一个不为 0.] 5.D [原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题.] 6.D 7.已知 a∈U(U 为全集),若 a∈A,则 a??UA 真 解析 “已知 a∈U(U 为全集)”是大前提,条件是“a??UA”,结论是“a∈A”,所以 原命题的逆命题为“已知 a∈U(U 为全集),若 a∈A,则 a??UA”.它为真命题. 8.假 9.①② 10.解 逆命题:若方程 x2+2x+3m=0 无实根,则 m>2,假命题.否命题:若 m≤2, 则方程 x2+2x+3m=0 有实根, 假命题. 逆否命题: 若方程 x2+2x+3m=0 有实根, 则 m≤2, 真命题. 11.证明 假设 a+b<0,即 a<-b, ∵f(x)在 R 上是增函数,∴f(a)<f(-b). 又 f(x)为奇函数,∴f(-b)=-f(b), ∴f(a)<-f(b),即 f(a)+f(b)<0. 即原命题的逆否命题为真,故原命题为真. ∴a+b≥0. 12.B [①用“分部分式”判断,具体: a b 1 1 1 1 ≥ ?1- ≥1- ? ≤ ,又 a≥b>-1?a+1≥b+1>0 知本命题 1+a 1+b 1+a 1+b 1+a 1+b 为真命题. ②用基本不等式:2xy≤x2+y2 (x>0,y>0),取 x= m,y= n-m,知本命题为真. ③圆 O1 上存在两个点 A、B 满足弦 AB=1,所以 P、O2 可能都在圆 O1 上,当 O2 在圆 O1 上时,圆 O1 与圆 O2 相交.故本命题为假命题.] 13.解 能确定.理由如下: 显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑. ①由命题 A 为真可知,当 b 不是最大时,则 a 是最小的,即若 c 最大,则 a 最小,所 以 c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“a 不是最小,则 b 是最大”为真,所以 b>a>c.总之 由命题 A 为真可知:c>b>a 或 b>a>c. ②同理由命题 B 为真可知 a>c>b 或 b>a>c. 从而可知,b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为 b 最大,a 次之,c 最小.


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