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2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中考试数学(理)试题


大庆铁人中学高一下学期期中考试 数学试题(理科) 时间:120 分钟 分值:150 分 出题人: 审核人: 日期:2016.5 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1、设 a , b , c , d ? R ,且 a ? b , c ? d ,则下列结论正确的是( ) A. a ? c ? b ? d B. a ? c ? b ? d C. ac ? bd a c D. ? d b 2、方程 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是( A.
5 2
?
3

) C. ? 5 ) C. 3 ? 1 D. 3 ) D.2

B. ?2
, a ? 3 , b ? 1 ,则 c ? (

3、在 ?ABC 中,已知 A ? A.1

B.2

4、在 ?ABC 中,a ? x, b ? 2, B ? 45? ,若三角形有两个解,则 x 的取值范围是( A. x ? 2 D. 2 ? x ? 2 2
1 5、各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a1 成等差数列,则 2

B. x ? 2

C. 2 ? x ? 2 2

a3 ? a4 a4 ? a5

的值为( ) 1? 5 A. 2 5 ?1 5 ?1 D. 或 2 2 6、在 ?ABC 中 , cos 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

B a?c ,则△ABC 的形状为( ? 2 2c



B. 直角三角形 D .等腰直角三角形 ? 1 ? 7、 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,a5 ? 5 S5 ? 15 , 则数列 ? ? 的前 100 ? an an ?1 ?
A .正三角形 C .等腰三角形或直角三角形

项 和为( 100 A. 101

) B.
99 101

C.

99 100

D.

101 100

8、若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值是( A.

) D.6 )

24 5

B.

28 5

C.5

9、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A、 3? B、 4? C、 3 3?

D 、

6?
10、已知 ?ABC 的面积为 ( ) A. 3 ? 3 D. 3
2 3

3 , AC ? 2

3, ?ABC ?

?
3

,则 ?ABC 的周长等于

B . 3 3

C . 2? 3

1? 1? 11、设数列{ an }各项均为正值,且前 n 项和 S n ? ? an ? ? ,则此数列的通项 2? an ? ) an 应为 (
A. an = n ? 1 ? n C. an = n ? 2 ? n ? 1 B. an = n ? n ? 1 D. an = 2 n ? 1

?1? 12、等差数列 ?an ?中, a2 ? 5 , a6 ? 21 ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 S n ,若 ? an ?
S 2 n ?1 ? S n ?
n ? N?

m 对 15

恒成立,则正整数 m 的最小值为( B.4

) C.3

A.5

D.2. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线 上。) 13、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体体积=________. 14、已知A船在灯塔C北偏东 80? 处,距离灯塔C为2km, B船在灯塔C北偏西 40? ,A、B两船的距离为 3km, 则 ?ABC 的余弦值_______. 15、已知 A、B 是单位圆(O 为圆心)上的两个定点,且 ?AOB ? 30? ,

若 C 为该圆上的动点,且 OC ? xOA ? yOB (x,y∈R),则 xy 的最大值为________. 16、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N ? , S n ? ? ?1? an ?
n

且 ? t ? an ?1 ?? t ? an ? ? 0 恒成立,则实数的取值范围是________.

1 ? n?3 2n

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 ) 17、(本题满分 10 分)解关于 x 的不等式: x 2 ? x ? a 2 ? a ? 0
18、 (本题满分12分)在?ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,B=

?

4 , cos A ? , b ? 3 3 5

?1? 求 sin C的值.

? 2 ? 求?ABC的面积.
19、(本题满分 12 分)已知等差数列 {a n } 满足 a 2 ? 0, a 6 ? a8 ? ?10

(1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)求数列 {

an } 的前 n 项和. 2 n ?1

20、(本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c , 且 bc = 2b 2 + 2c 2 - 2a 2 , (1)求 sin A 的值,
10 ,求 b 的值。 2

(2)若 a = 1 , sin B + sin C =

21、(本题满分 12 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足:
an 2 ? 2 S n ? an (n ? N ? )

(1)证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ( 2 )设 bn ? 3n ? ( ?1) n ?1 ? ? 2 an ,是否存在整数 ? (? ? 0) ,使 bn ?1 ? bn 对一切

n ? N ? 恒成立?若存在,求出 ? ;若不存在 ,说明理由.
22、(本题满分 12 分)等差数列 ?a n ? 中,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,已知数列
ak1 , ak 2 ? ? ? ak n 成等比数列,其中 k1 ? 1, k 2 ? 2, k3 ? 5 .

(1)求数列 ?an ?, ?k n ? 的通项公式. (2)当 n ? N ? , n ? 2 时,求证:
a3 an a2 8 ? ? ??? ? 2k 2 ? 2 2k3 ? 2 2k n ? 2 3

答案 ABBC CBAC 13. 4

AABA 14.
6 3

15.2+ 3

? 3 11 ? 16. ? ? , ? ? 4 4?

1 17. a< 时,a<x<1-a 2

a=

1 时, ? 2 1 时,1-a<x<a 2

a>

18. (1) sin C ? sin ? A ? B ? ?

3? 4 3 10

(2)

a b 3 6 1 9 3 ? 36 ? ? ? 2, a ? , S ? ab sin C ? ? sin A sin B sin 60 5 2 50
n 2n ?1

19. (1) an ? 2 ? n (2) S n ?
1 15 20. (1) cos A ? ,sin A ? 4 4

(2)

a 1 4 a b c ? ? ? 2r , ? ? ? 2r , sin A sin B sin C sin A 15 15 4

r?

2 b 15 15 , sin B ? ? b, 同理 sin C ? c 2r 4 4 15
2 6 (1) a 2 ? b 2 +c 2 ? 2bc cos A 3

b?c ?

1 1 ? b 2 ? c 2 ? bc (2) 2

由(1) , (2)解出 b ? c ?

6 3

21. (1) an 2 ? 2 S n ? an , an ?12 ? 2S n ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ?

an 2 ? an ?12 ? ? an ? an ?1 ? ? 0 , ? an ? an ?1 ?? an ? an ?1 ? 1? ? 0
? an ? 0 ? an ? an ?1 ? 1
n

??an ? 是等差数列, an ? n
n ?1

(2)? bn ?1 ? bn ? 3n ?1 ? ? ?1? ? ?2n ?1 ? 3n ? ? ?1?
2 ? 3 ? ? ?1?
n n ?1

? ?2n

? ?3 ? 2

n

?3? ,? ? ?2?

n ?1

? ? ?1?

n ?1

?

?3? n奇数时,? ? ? ? ?2?

n ?1

, 单增? ? ? 1
n ?1

?3? n偶数时,? ? ? ? ? ?2?
??
2

单减 ? ? ? ?

3 2

3 ? ? ?1 2
2

? ? ? ?1

22. (1) a2 ? a1a5 ,? ?1 ? d ? ? 1? ?1 ? 4d ?

? d ? 2 ? an ? 2n ? 1? akn ? 2kn ? 1
在等比数列中,公比 q ?

a2 ? 3 ,? akn ? 3n ?1 a1

3n ?1 ? 1 2 an a2 2n ? 1 3 (2) ? n ?1 , n ? 2时, ? 2k n ? 2 3 ? 1 2k 2 ? 2 2 2n ? 1 2n n ? 3时, 3n ?1 ? 2n , n ?1 ? 3 ? 1 3n ?1 n ?1 6 8 2n 7 3 ? 2n ? 1 ? ? 7 S n ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 , S n ? ? ? n ? ? ? ? ? ? 3 3 3 6 2? ? 3 ?3? ? 6 a3 an a2 3 7 8 ? ? ??? ? ? + = 2 k 2 ? 2 2 k3 ? 2 2k n ? 2 2 6 3
? 2kn ? 1 ? 3n ?1

? kn ?

? n ? 3?


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